第二章有理數(shù)及其運算1.大于0的數(shù)叫，在正數(shù)的前面加上負號“-”的數(shù)叫．2.數(shù)0既不是，又不是．3.在同一問題中，分別用正數(shù)和負數(shù)表示具有的意義．4.人們常用正負數(shù)來表示一對具有的量．5.有理數(shù)的分類：6.數(shù)軸：規(guī)定了、和的．7.相反數(shù)：只有的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．8.絕對值：（1)代數(shù)意義：一個的絕對值是它本身；一個的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的．9.有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）；（2）：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小；(3)．（4）；（5)．10.有理數(shù)的運算(一)運算法則：（1）加法法則：①兩數(shù)相加，取符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的兩數(shù)相加，取絕對值的加數(shù)的，并用較大的絕對值較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號，異號，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是，負數(shù)的偶次冪是；②正數(shù)的任何次冪都是，0的任何非零次冪都．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先，再，最后；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．2．運算律：（1）交換律:①:a+b=b+a；②:ab=ba；（2）結合律:①：(a+b)+c=a+(b+c)；②：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac11.科學記數(shù)法、近似數(shù)（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．（2）近似數(shù)：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.易錯點1化簡多重符號1.化簡關鍵規(guī)則：核心是“奇負偶正”：數(shù)清負號個數(shù)，奇數(shù)個負號結果為負，偶數(shù)個則為正。正號可直接忽略，不影響結果。例如，-(-(-6))有3個負號（奇數(shù)），結果為-6；+(+(-2))實際只有1個負號，結果為-2。2.易錯注意事項別漏數(shù)負號：多層括號易漏算，可逐層拆解，如-[-(-4)]先算內(nèi)層-(-4)=4，再算外層-4。區(qū)分符號與數(shù)值：化簡只變符號，數(shù)字大小不變，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化簡為3。例題1．化簡：（1）；（2）；（3）；（4）．易錯點2帶“非”字的有理數(shù)的分類1.分類易錯點總結混淆“非正”“非負”與“正負”：非正數(shù)包括負數(shù)和0，非負數(shù)包括正數(shù)和0，不可漏掉0。如“非正有理數(shù)”≠負數(shù)，還含0。誤將“非整數(shù)”等同于分數(shù)：非整數(shù)是整數(shù)以外的有理數(shù)，即分數(shù)（包括正分數(shù)、負分數(shù)），注意不包含整數(shù)。2.注意事項總結明確“非”的范圍：“非”表示“不”，如非負數(shù)是“不是負數(shù)”，即正數(shù)和0，需包含邊界值0。分類不重不漏：按“非”字分類時，先確定對立面，再包含0，如非負整數(shù)=正整數(shù)+0，避免遺漏或重復。例題2．把下列各數(shù)填入相應的大括號里：，，，0，，，，，(1)整數(shù)集合：{_______________________________……}；(2)負分數(shù)集合：{_______________________________……}；(3)非負有理數(shù)集合：{___________________________……}．易錯點3利用分類討論數(shù)學思想化簡絕對值1.易錯點總結臨界點遺漏：化簡|a-b|時，未明確a=b這一臨界點，只討論a>b和a<b，忽略此時絕對值為0。分類條件錯誤：判斷符號時邏輯顛倒，如|x+3|中，誤將x>-3寫成x≥-3，導致分類重疊。2.注意事項總結先找零點：令絕對值內(nèi)表達式為0，求出所有臨界點，以此劃分區(qū)間，確保不重不漏。按區(qū)間定符號：在每個區(qū)間內(nèi)確定表達式正負，再去絕對值，如x<-2時，|x+2|=-(x+2)，避免符號錯誤。例題3．請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當時，則______；當時，則______．(2)已知，，是有理數(shù)，當時，的值為______．(3)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．易錯點4絕對值的幾何意義1.易錯點總結混淆距離與正負：誤將|a-b|理解為a-b的正負，實際它表示數(shù)軸上a與b兩點的距離，恒非負。如|3-5|是2，而非-2。忽略多解情況：|x|=3表示x到原點距離為3，解為±3，易漏寫其中一個解。2.注意事項總結緊扣“距離”本質(zhì)：任何數(shù)的絕對值是它到原點的距離，多個數(shù)時是兩點間距離，與方向無關。明確解的完整性：絕對值方程或不等式需考慮所有滿足距離條件的數(shù)，如|x-2|=1，解為x=3和x=1，避免漏解。例題4．（1）同學們知道，正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，在這一學習過程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學思想有________________A．數(shù)形結合思想B．轉(zhuǎn)化思想C．方程思想D．分類討論思想回答下列問題：（2）若，求x的值．（3）若，求y的值．（4）當__________時，有最小值，最小值為__________．（5）當取最小值時，求x，y的值．易錯點5含乘方的有理數(shù)的混合運算問題一、易錯點總結1.

乘方符號易出錯，如(-2)2=4，但-22=-4，要區(qū)分底數(shù)是否帶符號。2.

混合運算順序易亂，未先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號也未先算括號內(nèi)。二、注意事項1.

明確乘方符號規(guī)則，看準底數(shù)與指數(shù)關系。2.

嚴格遵循“先乘方，后乘除，再加減，有括號先算括號內(nèi)”順序運算。例題5．計算：(1)(2)易錯點6程序流程圖與有理數(shù)的混合運算一、易錯點總結1.

對程序流程理解不清，未按順序執(zhí)行步驟，漏掉循環(huán)、判斷環(huán)節(jié)，致運算邏輯錯誤。2.

有理數(shù)運算時，符號、乘方及運算順序易出錯，像乘方底數(shù)符號、混合運算步驟混亂。二、注意事項1.

梳理程序流程，明確輸入、運算、輸出及條件判斷順序，分步分析。2.

強化有理數(shù)運算規(guī)則，關注符號、乘方意義，嚴格依“先乘方，后乘除，再加減”運算。例題6．小鵬做了一個如圖所示的程序圖，按要求完成下列各小題．(1)當小鵬輸入的數(shù)為6時，求輸出的結果n；(2)若小鵬某次輸入數(shù)m后，輸出的結果n為．請你寫出m可能的2個值．易錯點7有理數(shù)的加減混合運算中的實際應用問題一、易錯點總結1.

實際情境理解偏差，如工程、行程問題中，對工作量、路程等數(shù)量關系分析錯誤，導致列式出錯。2.

運算順序與符號失誤，乘方、乘除、加減混合時，順序搞錯或符號處理不當，使結果偏離實際。二、注意事項1.

精讀題目，梳理實際問題里的數(shù)量關系，明確各量間運算邏輯。2.

嚴格遵循有理數(shù)混合運算順序，細致處理符號，運算后結合實際檢驗結果合理性。例題7．蒼溪雪梨是四川省蒼溪縣特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品．某水果超市以每千克4元的價格購進50筐雪梨，因水果超市與批發(fā)商長期合作，所以購進時以每筐30千克的標準質(zhì)量付款．到店后稱了每筐的質(zhì)量，將超出標準質(zhì)量的部分記為“”，不足標準質(zhì)量的部分記為“”，記錄如下表：與標準質(zhì)量偏差/千克012筐數(shù)1598711(1)這50筐雪梨中，最重的一筐與最輕的一筐相差多少千克？(2)水果超市這次購進50筐雪梨的實際總質(zhì)量是多少？多（或少）付了多少元？易錯點8有理數(shù)的混合運算中的新定義型問題一、易錯點總結1.

定義理解偏差：未能準確領會新定義的運算規(guī)則，比如對符號含義、運算優(yōu)先級判斷錯誤，導致后續(xù)列式和計算失誤。2.

運算習慣干擾：受常規(guī)有理數(shù)運算順序和法則影響，在新定義運算中，仍按固有習慣計算，忽略新規(guī)則。二、注意事項1.

精準解讀定義：仔細研讀新定義，明確運算規(guī)則、涉及的符號意義，可通過簡單示例加深理解。2.

區(qū)分新舊運算：遇到新定義型問題，先將其與常規(guī)運算區(qū)分，嚴格依據(jù)新規(guī)則進行列式和計算。例題8．我們定義一種新運算：．例如：．(1)則______；(2)求的值；(3)若，求x的值．一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其工作原理如圖．若輸入的值為23，則輸出的結果是（

）A．8 B．6 C．－4 D．103．定義新運算“*”，規(guī)定（其中）．例如，．則的值為（

）A． B． C．4 D．64二、填空題4．化簡：．．比較大?。海?．如圖，是一個有理數(shù)混合運算程序的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問題：當輸入的x為時，最后輸出的結果y是．6．對于非零有理數(shù)a、b，定義運算，例如，則．三、解答題7．計算(1)(2)8．對于任意有理數(shù)定義一種新運算：，例：．根據(jù)這個新的運算方法求的值．9．把下列各數(shù)序號填在相應的集合中：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨(1)負數(shù)集合：__________________________________________(2)分數(shù)集合：__________________________________________(3)非正整數(shù)集合：_________________________________________(4)有理數(shù)集合：__________________________________________10．某校七年級一個綜合實踐小組今天到食堂進行實踐活動，幫助食堂管理人員記賬，食堂今天購進了筐蘿卜，以每筐千克為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下：與標準質(zhì)量的差值（單位：千克）筐數(shù)(1)這筐蘿卜中，最重的一筐比最輕的一筐多重多少千克？(2)與標準重量比較，筐蘿卜總計超過或不足多少千克？(3)若蘿卜每千克元，購買這筐蘿卜總共應付款多少元？（結果保留整數(shù)）11．（1）已知是最小的正整數(shù)，且、滿足，則__________，__________，__________．（2）【閱讀】點、在數(shù)軸上分別表示實數(shù)、，則、兩點之間的距離可以表示為．【應用】數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是__________，如果，那么__________；若點為一動點，其對應的數(shù)為，則的最小值為__________．當代數(shù)式取最小值時，相應的的值是__________．12．在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思