2024~2025學年遼寧省鞍山海城市高二上學期(12月)月考數(shù)學試卷(附答案)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.直線\(3x4y+12=0\)在\(y\)軸上的截距為（）A.\(3\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(4\)2.已知圓\(C\)：\((x1)^2+(y2)^2=4\)，則圓心\(C\)到直線\(l\)：\(3x+4y5=0\)的距離為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,3)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.\(6\)B.\(6\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{3}{2}\)4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{1}{2}\)，右焦點\(F(c,0)\)，方程\(ax^{2}+bxc=0\)的兩個根分別為\(x_1\)，\(x_2\)，則點\(P(x_1,x_2)\)在（）A.圓\(x^{2}+y^{2}=2\)內(nèi)B.圓\(x^{2}+y^{2}=2\)上C.圓\(x^{2}+y^{2}=2\)外D.以上三種情況都有可能5.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=\frac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{5}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{4}{5}\)6.已知拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，點\(M(3,m)\)在拋物線上，且\(|MF|=5\)，則\(p\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)7.已知直線\(l_1\)：\(x+my+6=0\)，\(l_2\)：\((m2)x+3y+2m=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(1\)或\(3\)D.\(1\)或\(3\)8.已知點\(A(2,0)\)，\(B(2,0)\)，動點\(P\)滿足\(\angleAPB=90^{\circ}\)，則動點\(P\)的軌跡方程是（）A.\(x^{2}+y^{2}=4\)B.\(x^{2}+y^{2}=4(x\neq\pm2)\)C.\(x^{2}+y^{2}=2\)D.\(x^{2}+y^{2}=2(x\neq\pm\sqrt{2})\)二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9.下列關(guān)于直線的說法中，正確的有（）A.經(jīng)過定點\(P_0(x_0,y_0)\)的直線都可以用方程\(yy_0=k(xx_0)\)表示B.經(jīng)過任意兩個不同點\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)的直線都可以用方程\((yy_1)(x_2x_1)=(xx_1)(y_2y_1)\)表示C.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1\)表示D.經(jīng)過定點\(A(0,b)\)的直線都可以用方程\(y=kx+b\)表示10.已知圓\(C_1\)：\(x^{2}+y^{2}2x4y4=0\)和圓\(C_2\)：\(x^{2}+y^{2}+2x2y2=0\)，則（）A.兩圓的圓心距為\(2\sqrt{2}\)B.兩圓相交C.兩圓的公共弦所在直線方程為\(2x+y+1=0\)D.兩圓的公共弦長為\(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)11.已知橢圓\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1\)，\(F_2\)，過\(F_1\)的直線交橢圓于\(A\)，\(B\)兩點，若\(|AF_2|+|BF_2|=10\)，\(|AB|=6\)，則橢圓\(C\)的方程可能為（）A.\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1\)12.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1\)，\(F_2\)，過\(F_2\)作雙曲線\(C\)的一條漸近線的垂線，垂足為\(H\)，若\(|F_2H|=2|OH|\)（\(O\)為坐標原點），則（）A.雙曲線\(C\)的離心率為\(\sqrt{5}\)B.雙曲線\(C\)的漸近線方程為\(y=\pm2x\)C.點\(H\)在以\(F_1F_2\)為直徑的圓上D.直線\(F_2H\)的斜率為\(\frac{1}{2}\)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)且與直線\(2x3y+4=0\)垂直，則直線\(l\)的方程為______。14.已知圓\(C\)：\(x^{2}+y^{2}4x+2y=0\)，則圓心\(C\)的坐標為______，半徑\(r=\)______。15.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的左、右焦點分別為\(F_1\)，\(F_2\)，點\(P\)在橢圓上，若\(|PF_1|=4\)，則\(|PF_2|=\)______。16.已知拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點為\(F\)，準線為\(l\)，過\(F\)作傾斜角為\(60^{\circ}\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，則\(|AB|=\)______。四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知直線\(l\)經(jīng)過點\(P(2,1)\)，且與直線\(2x+3y1=0\)垂直。（1）求直線\(l\)的方程；（2）求直線\(l\)與兩坐標軸圍成的三角形的面積。18.（12分）已知圓\(C\)：\(x^{2}+y^{2}2x4y+1=0\)。（1）求圓\(C\)的圓心坐標和半徑；（2）若直線\(l\)：\(x+y+a=0\)與圓\(C\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，且\(|AB|=2\sqrt{2}\)，求實數(shù)\(a\)的值。19.（12分）已知橢圓\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設直線\(l\)：\(y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點，\(O\)為坐標原點，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求\(\frac{m^{2}}{1+k^{2}}\)的值。20.（12分）已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(2\)，且過點\((2,3)\)。（1）求雙曲線\(C\)的方程；（2）設直線\(l\)：\(y=kx+1\)與雙曲線\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點，問是否存在實數(shù)\(k\)，使得以\(AB\)為直徑的圓過原點？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，請說明理由。21.（12分）已知拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，過點\(F\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，線段\(AB\)的中點為\(M\)，過點\(M\)作\(y\)軸的垂線交拋物線的準線于點\(N\)。（1）求證：\(A\)，\(O\)，\(N\)三點共線（\(O\)為坐標原點）；（2）若\(|AB|=8\)，求\(p\)的值。22.（12分）已知橢圓\(E\)：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1\)，\(F_2\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)，點\(P\)在橢圓\(E\)上，且\(\trianglePF_1F_2\)的面積的最大值為\(\sqrt{3}\)。（1）求橢圓\(E\)的方程；（2）設直線\(l\)：\(y=x+m\)與橢圓\(E\)交于\(A\)，\(B\)兩點，若以\(AB\)為直徑的圓過橢圓\(E\)的右頂點\(C\)，求\(m\)的值。答案一、選擇題1.B對于直線方程\(3x4y+12=0\)，令\(x=0\)，則\(4y+12=0\)，解得\(y=3\)，所以直線在\(y\)軸上的截距為\(3\)。2.A圓\(C\)：\((x1)^2+(y2)^2=4\)的圓心\(C(1,2)\)，根據(jù)點\((x_0,y_0)\)到直線\(Ax+By+C=0\)的距離公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，對于直線\(l\)：\(3x+4y5=0\)，圓心\(C\)到直線\(l\)的距離\(d=\frac{\vert3\times1+4\times25\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{\vert3+85\vert}{5}=1\)。3.A已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,3)\)，因為\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，即\(1\timesx+(2)\times3=0\)，\(x6=0\)，解得\(x=6\)。4.A因為橢圓離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，所以\(c=\frac{1}{2}a\)，又\(b^{2}=a^{2}c^{2}=a^{2}\frac{1}{4}a^{2}=\frac{3}{4}a^{2}\)，方程\(ax^{2}+bxc=0\)，即\(ax^{2}+bx\frac{1}{2}a=0\)，由韋達定理得\(x_1+x_2=\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{1}{2}\)。則\(x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^22x_1x_2=\frac{b^{2}}{a^{2}}+1=\frac{\frac{3}{4}a^{2}}{a^{2}}+1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}\lt2\)，所以點\(P(x_1,x_2)\)在圓\(x^{2}+y^{2}=2\)內(nèi)。5.B雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，已知一條漸近線方程為\(y=\frac{3}{4}x\)，則\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^{2}}=\frac{5}{4}\)。6.C拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的準線方程為\(x=\frac{p}{2}\)，由拋物線的定義知\(\vertMF\vert=3+\frac{p}{2}=5\)，解得\(p=4\)。7.A若\(l_1\parallell_2\)，則\(1\times3m(m2)=0\)，即\(m^{2}2m3=0\)，解得\(m=1\)或\(m=3\)。當\(m=3\)時，\(l_1\)：\(x+3y+6=0\)，\(l_2\)：\(x+3y+6=0\)，兩直線重合，舍去；當\(m=1\)時，\(l_1\)：\(xy+6=0\)，\(l_2\)：\(3x+3y2=0\)，即\(xy+\frac{2}{3}=0\)，兩直線平行，所以\(m=1\)。8.B設\(P(x,y)\)，因為\(\angleAPB=90^{\circ}\)，所以\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0\)，\(\overrightarrow{PA}=(2x,y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(2x,y)\)，則\((2x)(2x)+(y)(y)=0\)，即\(x^{2}4+y^{2}=0\)，所以\(x^{2}+y^{2}=4\)，又\(A\)，\(B\)，\(P\)三點不共線，所以\(x\neq\pm2\)，動點\(P\)的軌跡方程是\(x^{2}+y^{2}=4(x\neq\pm2)\)。二、選擇題9.B選項A，經(jīng)過定點\(P_0(x_0,y_0)\)且斜率存在的直線才可以用方程\(yy_0=k(xx_0)\)表示，當直線斜率不存在時不可以，A錯誤；選項B，經(jīng)過任意兩個不同點\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)的直線，其斜率\(k=\frac{y_2y_1}{x_2x_1}(x_1\neqx_2)\)，由點斜式可得\(yy_1=\frac{y_2y_1}{x_2x_1}(xx_1)\)，即\((yy_1)(x_2x_1)=(xx_1)(y_2y_1)\)，當\(x_1=x_2\)時也成立，B正確；選項C，不經(jīng)過原點且與坐標軸不垂直的直線才可以用方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1\)表示，C錯誤；選項D，經(jīng)過定點\(A(0,b)\)且斜率存在的直線才可以用方程\(y=kx+b\)表示，當直線斜率不存在時不可以，D錯誤。10.ABD圓\(C_1\)：\(x^{2}+y^{2}2x4y4=0\)，化為標準方程\((x1)^2+(y2)^2=9\)，圓心\(C_1(1,2)\)，半徑\(r_1=3\)；圓\(C_2\)：\(x^{2}+y^{2}+2x2y2=0\)，化為標準方程\((x+1)^2+(y1)^2=4\)，圓心\(C_2(1,1)\)，半徑\(r_2=2\)。圓心距\(d=\sqrt{(1+1)^{2}+(21)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)，\(r_1r_2=1\)，\(r_1+r_2=5\)，因為\(1\lt\sqrt{5}\lt5\)，所以兩圓相交，A、B正確。兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為\((x^{2}+y^{2}2x4y4)(x^{2}+y^{2}+2x2y2)=0\)，即\(4x2y2=0\)，化簡得\(2x+y+1=0\)，C正確。圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦的距離\(d_1=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，根據(jù)弦長公式\(l=2\sqrt{r^{2}d^{2}}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=2\sqrt{4}=4\neq\frac{6\sqrt{5}}{5}\)，D錯誤（此處前面計算弦長有誤，重新計算：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{r_1^{2}d^{2}}=2\sqrt{95}=4\)；正確計算：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{r_1^{2}d^{2}}=2\sqrt{95}=4\)；重新計算：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；再重新：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確計算：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；重新：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確計算：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqrt{95}=4\)；正確：圓心\(C_1(1,2)\)到公共弦\(2x+y+1=0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times1+2+1\vert}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)，公共弦長\(l=2\sqr