湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級上冊第5章

直角三角形5.3直角三角形全等的判定如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但是每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.你能幫工作人員想個辦法嗎？（1）如果用直尺和量角器兩種工具，你能解決這個問題嗎？（2）如果只用直尺，你能解決這個問題嗎？思考：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等嗎？左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的長度BC與EF相等，想測量右邊滑梯的高DE，但是沒辦法直接測量它的高度，你有什么辦法？#5.3直角三角形全等的判定（七年級數(shù)學(xué)課件）##幻燈片1：封面-標(biāo)題：5.3直角三角形全等的判定-副標(biāo)題：七年級數(shù)學(xué)（下冊/上冊，根據(jù)教材版本調(diào)整）-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：目錄1.復(fù)習(xí)回顧：全等三角形的判定定理與直角三角形特性2.情境導(dǎo)入：直角三角形全等的特殊判定需求3.探究活動：直角三角形全等的“HL”判定定理4.“HL”定理的內(nèi)容與符號表示5.“HL”定理的推理證明6.直角三角形全等的判定方法匯總（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）7.例題解析（基礎(chǔ)應(yīng)用+綜合應(yīng)用）8.易錯點(diǎn)辨析9.課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題+提升題）10.課堂小結(jié)11.作業(yè)布置##幻燈片3：復(fù)習(xí)回顧-提問：1.判定一般三角形全等的方法有哪些？（SSS、SAS、ASA、AAS）2.這些方法適用于直角三角形嗎？（適用，直角三角形是特殊的三角形）3.直角三角形有什么特殊性質(zhì)？（①有一個角為90°；②兩銳角互余；③勾股定理：a2+b2=c2）-思考：

直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等時，能否判定兩個直角三角形全等？（普通三角形中“兩邊對應(yīng)相等”無法判定全等，但直角三角形可能有特殊判定方法）-過渡：今天我們將探究直角三角形全等的特殊判定方法——“斜邊、直角邊”定理（HL），結(jié)合已學(xué)判定方法，全面掌握直角三角形全等的判定技巧。##幻燈片4：情境導(dǎo)入——生活中的直角三角形全等-情境：

工人師傅要制作兩個完全相同的直角三角形零件，已知零件的斜邊長度為10cm，一條直角邊長度為6cm，師傅僅測量了這兩個數(shù)據(jù)，就確保能做出全等的零件。-提問：1.師傅的依據(jù)是什么？（斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等）2.為什么普通三角形中“兩邊對應(yīng)相等”不能判定全等，而直角三角形可以？（直角三角形的直角是固定的90°，相當(dāng)于隱含了一個角相等的條件）-引出課題：直角三角形的特殊性決定了它有專屬的全等判定方法，今天我們就來驗(yàn)證并學(xué)習(xí)“斜邊、直角邊”（HL）判定定理。##幻燈片5：探究活動——驗(yàn)證“斜邊、直角邊”判定定理###探究目標(biāo)：驗(yàn)證“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形是否全等”。###探究材料：直尺、圓規(guī)、白紙、量角器。###探究步驟：1.畫圖驗(yàn)證：-作Rt△ABC，使∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm（斜邊）；

①

用直尺畫射線CD，在CD上取AC=6cm；

②

過點(diǎn)A作AC的垂線，交射線CE于點(diǎn)B；

③

以A為圓心，10cm為半徑畫弧，交CE于點(diǎn)B，連接AB，得到Rt△ABC。-再作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=6cm，A'B'=10cm（與△ABC的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等）。2.驗(yàn)證全等：-用剪刀剪下兩個三角形，將△A'B'C'與△ABC重疊，觀察是否完全重合；-測量另一條直角邊的長度（BC和B'C'均為8cm，由勾股定理計(jì)算：√(102-62)=8），驗(yàn)證三邊對應(yīng)相等（SSS），進(jìn)而確認(rèn)全等。###探究結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。##幻燈片6：“HL”定理的內(nèi)容與符號表示###定理內(nèi)容：**斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等**（斜邊、直角邊或HL）。###符號表示：如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，$$\begin{cases}AB=A'B'\quad(\text{斜邊對應(yīng)相等})\\AC=A'C'\quad(\text{一條直角邊對應(yīng)相等})\end{cases}$$∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）。###核心要點(diǎn)：1.適用范圍：僅適用于直角三角形（必須注明“Rt△”）；2.條件要求：①斜邊對應(yīng)相等；②一條直角邊對應(yīng)相等（兩個條件缺一不可）；3.與普通三角形判定的區(qū)別：普通三角形中“兩邊對應(yīng)相等”需加“夾角相等”（SAS）才能判定全等，而直角三角形的直角隱含了“夾角相等”的條件，故可通過HL直接判定。##幻燈片7：“HL”定理的推理證明###已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'。###求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。###證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD；延長B'C'至D'，使C'D'=B'C'，連接A'D'?！摺螩=90°（已知），∴∠ACD=180°-∠C=90°（平角定義）。在△ABC和△ADC中：$$\begin{cases}AC=AC\quad(\text{公共邊})\\∠ACB=∠ACD=90°\\BC=CD\quad(\text{已作})\end{cases}$$∴△ABC≌△ADC（SAS）?！郃B=AD（全等三角形對應(yīng)邊相等）。同理可證：△A'B'C'≌△A'D'C'（SAS），∴A'B'=A'D'（全等三角形對應(yīng)邊相等）?！逜B=A'B'（已知），∴AD=A'D'（等量代換）。在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中：$$\begin{cases}AD=A'D'\quad(\text{已證})\\AC=A'C'\quad(\text{已知})\end{cases}$$∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL，此處可循環(huán)驗(yàn)證或用SSS）?！郈D=C'D'（全等三角形對應(yīng)邊相等）?！連C=CD，B'C'=C'D'，∴BC=B'C'（等量代換）。在△ABC和△A'B'C'中：$$\begin{cases}AC=A'C'\quad(\text{已知})\\∠C=∠C'=90°\\BC=B'C'\quad(\text{已證})\end{cases}$$∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）。###簡化證明（利用勾股定理）：∵在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2（勾股定理）；在Rt△A'B'C'中，B'C'2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）；又∵AB=A'B'，AC=A'C'（已知），∴BC2=B'C'2

→BC=B'C'（邊長為正）；∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）。##幻燈片8：直角三角形全等的判定方法匯總|判定方法|適用條件|注意事項(xiàng)||----------|----------|----------||SSS（邊邊邊）|三邊對應(yīng)相等|適用于所有三角形（包括直角三角形）||SAS（邊角邊）|兩邊及其夾角對應(yīng)相等|夾角必須是兩邊的夾角，直角三角形中夾角可為直角||ASA（角邊角）|兩角及其夾邊對應(yīng)相等|適用于所有三角形||AAS（角角邊）|兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等|適用于所有三角形||HL（斜邊、直角邊）|斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等|僅適用于直角三角形，需注明“Rt△”|###選擇技巧：1.已知兩邊對應(yīng)相等：-若為斜邊和直角邊→HL；-若為兩條直角邊→SAS；-若為普通三角形的兩邊→需加夾角相等（SAS）才能判定。2.已知一邊一角對應(yīng)相等：-若為直角和斜邊→HL或AAS；-若為直角和直角邊→ASA或AAS。3.已知三邊對應(yīng)相等→SSS（直角三角形和普通三角形均適用）。##幻燈片9：例題解析1——HL定理的基礎(chǔ)應(yīng)用-例題1：

如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，求證：△ABC≌△DEF。-解題思路：

直接利用HL定理，明確直角、斜邊和直角邊的對應(yīng)關(guān)系。-解答過程：

證明：∵△ABC和△DEF都是直角三角形（∠C=∠F=90°），

在Rt△ABC和Rt△DEF中：$$\begin{cases}AB=DE\quad(\text{已知})\\AC=DF\quad(\text{已知})\end{cases}$$∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。##幻燈片10：例題解析2——HL定理與性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用-例題2：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求證：CD=DE。-解題思路：

先證明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），再利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出CD=DE。-解答過程：

證明：∵DE⊥AB（已知），∴∠AED=90°（垂直定義）?！摺螦CB=90°（已知），∴△ACD和△AED都是直角三角形?！逜D平分∠BAC（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義）。

在Rt△ACD和Rt△AED中：$$\begin{cases}AD=AD\quad(\text{公共邊})\\∠CAD=∠EAD\quad(\text{已證})\end{cases}$$

（或用HL：AC=AE可通過AAS證明，此處直接用AAS更簡便，或補(bǔ)充AC=AE后用HL）

修正：∵AD是公共斜邊，∠ACD=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD=DE（全等三角形對應(yīng)邊相等）。

（或用HL：先證明AC=AE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，AC=AE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴CD=DE）。##幻燈片11：例題解析3——綜合應(yīng)用（HL+SAS）-例題3：

如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AE=DF，求證：△ABC≌△DCB。-解題思路：

先通過HL證明Rt△ABE≌Rt△DCF，得出BE=CF，進(jìn)而推出CE=BF，再用SAS證明△ABC≌△DCB。-解答過程：

證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC（已知），∴∠AEB=∠DFC=90°（垂直定義）。

在Rt△ABE和Rt△DCF中：$$\begin{cases}AB=CD\quad(\text{已知})\\AE=DF\quad(\text{已知})\end{cases}$$∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）?！郆E=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）?！連E+EF=CF+EF（等式性質(zhì)），∴BF=CE。

在△ABC和△DCB中：$$\begin{cases}AB=CD\quad(\text{已知})\\AE=DF\quad(\text{已知})\\BF=CE\quad(\text{已證})\end{cases}$$

修正：△ABC和△DCB的邊對應(yīng)為AB=CD，BC=CB（公共邊），AC=BD（需證明），或用SAS：∵AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，BC=CB，

正確步驟：∵△ABE≌△DCF，∴∠B=∠C，

在△ABC和△DCB中：$$\begin{cases}AB=CD\quad(\text{已知})\\∠B=∠C\quad(\text{已證})\\BC=CB\quad(\text{公共邊})\end{cases}$$∴△ABC≌△DCB（SAS）。##幻燈片12：易錯點(diǎn)辨析-易錯點(diǎn)1：將HL定理用于非直角三角形（如普通三角形中“兩邊對應(yīng)相等”誤用HL判定全等）；-糾正：HL定理僅適用于直角三角形，使用前需明確兩個三角形是直角三角形（標(biāo)注直角或說明垂直關(guān)系）。-易錯點(diǎn)2：HL定理?xiàng)l件遺漏（僅注明斜邊相等或僅注明一條直角邊相等，未同時滿足兩個條件）；-糾正：HL定理需同時滿足“斜邊對應(yīng)相等”和“一條直角邊對應(yīng)相等”，兩個條件缺一不可。-易錯點(diǎn)3：直角三角形全等判定時，忽略已學(xué)的SSS、SAS等方法（如兩條直角邊對應(yīng)相等時，可用SAS而非必須用HL）；-糾正：HL是直角三角形的特殊判定方法，并非唯一方法，需根據(jù)已知條件靈活選擇。-易錯點(diǎn)4：對應(yīng)關(guān)系錯誤（斜邊與直角邊對應(yīng)錯誤，如將甲三角形的斜邊與乙三角形的直角邊對應(yīng)）；-糾正：判定時需明確“斜邊對斜邊，直角邊對直角邊”，避免對應(yīng)關(guān)系混淆。##幻燈片13：課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題）1.填空：

（1）判定兩個直角三角形全等的特殊方法是______，它的條件是______；

（2）在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，若AB=A'B'，BC=B'C'，則Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（______）；

（3）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD=BD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足為E、F，若AE=3cm，則DF=______cm。

（答案：（1）HL，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等；（2）HL；（3）1.5）2.選擇：

下列不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是（

）A.AC=DF，BC=EF，∠C=∠F=90°B.AB=DE，AC=DF，∠C=∠F=90°C.∠A=∠D，AB=DE，∠C=∠F=90°D.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

（答案：D，D選項(xiàng)中∠A和∠D不是直角，且未明確直角邊和斜邊的對應(yīng)關(guān)系）##幻燈片14：課堂練習(xí)（提升題）1.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，點(diǎn)D在AC上，DF⊥AC交BC于E，交AB的延長線于F，求證：AD=BF。

（證明：∵∠B=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°；∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∠F=45°，∴AD=DF；又∵∠FBD=90°，∠C=45°，∴△BFE是等腰直角三角形，BF=BE；再證明Rt△ABD≌Rt△CBF（HL或SAS），得出AD=BF）2.如圖，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，AE=CF，AD=BC，求證：AB=CD。

（證明：先通過HL證明Rt△ADE≌Rt△CBF，得出DE=BF，進(jìn)而推出BE=DF，再用HL證明Rt△ABE≌Rt△CDF，得出AB=CD）##幻燈片15：課堂小結(jié)-本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容回顧：1.特殊判定方法：HL定理（斜邊、直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等）；2.適用范圍：僅適用于直角三角形；3.判定方法匯總：直角三角形全等可通過SSS、SAS、ASA、AAS、HL五種方法判定，需根據(jù)已知條件靈活選擇；4.核心技巧：-看到直角三角形全等，優(yōu)先考慮HL（若已知斜邊和直角邊）；-若已知兩條直角邊，用SAS更簡便；-注意對應(yīng)關(guān)系，避免斜邊與直角邊對應(yīng)錯誤；5.易錯點(diǎn)：HL定理的適用條件和對應(yīng)關(guān)系。##幻燈片16：作業(yè)布置1.基礎(chǔ)作業(yè)：-教材習(xí)題XX頁第12、13、14題；-如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，∠A=∠D，求證：△ABC≌△DEF（用兩種方法證明：AAS和HL）。2.提升作業(yè)：-如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BE⊥AC；-思考：如何利用直角三角形全等證明“角平分線的性質(zhì)”（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）？如圖，具有下列條件的Rt△ABC和Rt△DEF（其中∠C=∠F=90°）是否全等？若全等，請說明理由；若不全等，打“×”①AC=DF，∠A=

∠D; ()

②AC=DF，BC=EF; ()

③AB=DE，

∠B=∠E; ()

④

∠A=

∠D，

∠B=∠E;()⑤AC=DF，AB=DE. ()斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.1.文字語言：知識點(diǎn)．兩個直角三角形全等的判定方法——HL（重難點(diǎn)）2.幾何語言：注：“HL”是直角三角形獨(dú)有的判定三角形全等的方法．【題型一】用HL判定兩個直角三角形全等

例1：下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A.斜邊和一直角邊對應(yīng)相等B.兩個銳角對應(yīng)相等C.一銳角和斜邊對應(yīng)相等D.兩條直角邊對應(yīng)相等B變式：如圖，已知AB＝