上海中學(xué)東校2025學(xué)年度第一學(xué)期中期素質(zhì)評(píng)估高一數(shù)學(xué)2025.11（滿分：110分時(shí)間：90分鐘）一、填空題（每題3分，共42分）1.已知集合，則______．2.不等式的解集是________.3.函數(shù)（且）無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為________.4.若非空集合不是單元素集，則其中所有元素之和________.5.已知一元二次方程有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.6.關(guān)于的方程的解集為______．7.已知，則__________.8.若，且函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的不同集合有______個(gè)．9.設(shè)，則的最小值為______.10.已知二次函數(shù)，甲同學(xué)：的解集為；乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：此二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè).在這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)論述是錯(cuò)誤的，則a的取值范圍是________.11.已知為實(shí)數(shù)，用表示有限集合的元素個(gè)數(shù)，則所有可能的值是_________.12.已知集合點(diǎn)不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.13.設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)使得對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為________．14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素滿足，則符合要求的集合有______個(gè)．二、單選題（每題3分，共12分）15.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件16.下列結(jié)論中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.17.數(shù)學(xué)上將形如（p為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，試估計(jì)“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為（）．A.607 B.608 C.609 D.61018.在上海中學(xué)東?？萍脊?jié)中，李明同學(xué)定義了可分比集合：若集合滿足對(duì)任意，都有，則稱是可分比集合．若集合均為可分比集合，且（為正整數(shù)），則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9三、解答題（共56分）19.已知常數(shù)，集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．21.對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使成立，則稱為該二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．（1）已知函數(shù)，求該函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)于任意的，二次函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單價(jià)為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．（其中）（1）試問哪種購買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說明理由；（2）若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購買方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．23.桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果．這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”．抽屜原理的一般含義為：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，共中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素．應(yīng)用抽屜原理，解答下列問題：設(shè)n為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合A中的任意元素和，記.（1）當(dāng)時(shí)，巖，，求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素，，證明：.（3）給定不小于2的正整數(shù)n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素，，.寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明由.上海中學(xué)東校2025學(xué)年度第一學(xué)期中期素質(zhì)評(píng)估高一數(shù)學(xué)2025.11（滿分：110分時(shí)間：90分鐘）一、填空題（每題3分，共42分）1.已知集合，則______．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用集合的交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】.故答案為：2.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】將分式不等式等價(jià)變形為，解此不等式即可.【詳解】不等式等價(jià)于，解得，因此，不等式的解集是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)（且）無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，令，求得和，即可求解.【詳解】由函數(shù)（且），令，解得，則，所以函數(shù)恒經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：.4.若非空集合不是單元素集，則其中所有元素之和________.【答案】2【解析】【分析】由題意可知：集合有兩個(gè)元素，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：集合有兩個(gè)元素，設(shè)為，即，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，所以.故答案為：2.5.已知一元二次方程有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷求解．【詳解】令函數(shù)，則其圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是，若二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有一個(gè)零點(diǎn)小于0，即小于1，要使另一個(gè)零點(diǎn)比1大，則需滿足，解得，即時(shí)，二次方程有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小.所以滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．6.關(guān)于的方程的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式可得，結(jié)合等號(hào)成立條件分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即或，所以由，可得或，所以的方程的解集為.故答案為：.7.已知，則__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式求解.【詳解】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故答案為：48.若，且函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的不同集合有______個(gè)．【答案】4【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得集合A.【詳解】分別作出函數(shù)、、和的圖象，如圖所示，可知與、、的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為1、1、2；與、的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為2、2；與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；可知集合或或或，所以滿足條件的不同集合有4個(gè).故答案為：4.9.設(shè)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)成立，故所求的最小值為．【點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立．10.已知二次函數(shù)，甲同學(xué)：的解集為；乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：此二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè).在這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)論述是錯(cuò)誤的，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】先由三人各自的論述入手分別化簡求解的范圍，再按范圍分類判斷即可得.【詳解】由題意，.若甲正確，則且，即，則；若乙正確，則且，即，則；若丙正確，則由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，得，所以.若，則乙丙兩人論述錯(cuò)誤，不滿足題意；若，則甲乙兩人論述錯(cuò)誤；若，則乙丙兩人論述正確，只有甲一人論述錯(cuò)誤，滿足題意.綜上所述，，即a的取值范圍是.故答案為：.11.已知為實(shí)數(shù)，用表示有限集合的元素個(gè)數(shù)，則所有可能的值是_________.【答案】【解析】【分析】令，由時(shí)，，的零點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)求解.【詳解】解：令，設(shè)，顯然，則，所以除外，的零點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，又存在，，，使得，所以或，則或，故答案為：或12.已知集合點(diǎn)不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由必要條件得，進(jìn)而有A可能為，，，結(jié)合集合A的描述列不等式組求對(duì)應(yīng)x范圍，根據(jù)可能集合情況確定參數(shù)范圍即可.【詳解】由“”是“”的必要條件，即，由A中元素為整數(shù)，故A只可能為，，，由點(diǎn)不在第一、三象限，得：或，即①或②，當(dāng)時(shí)，①無解，由②得，此時(shí)，故，有；當(dāng)時(shí)，由①②得，此時(shí)，因，只須，有；綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由必要條件確定集合A的可能情況，根據(jù)其描述求集合A中元素的范圍，再綜合所得考慮參數(shù)范圍.13.設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)使得對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為________．【答案】【解析】【分析】分析可知在上單調(diào)遞減，可得出，求得，根據(jù)已知條件得出，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由可得，可得，即，因?yàn)?，故函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)滿足題意，則，解得.故答案為：.14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素滿足，則符合要求的集合有______個(gè)．【答案】1012【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用表示出，得到，再由求出范圍即可.【詳解】由，得，即，整理得，而，則，，因此，由，得，又，，所以符合要求的集合的個(gè)數(shù)為.故答案為：1012二、單選題（每題3分，共12分）15.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及充分條件和必要條件的定義判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，成立，故充分性滿足，當(dāng)時(shí)，如，則，故必要性不滿足，因此“”是“”的充分不必要條件.故選：A．16.下列結(jié)論中，正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算化簡判斷AC；利用根式運(yùn)算化簡判斷BD.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知，則，因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：C17.數(shù)學(xué)上將形如（p為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，試估計(jì)“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為（）．A.607 B.608 C.609 D.610【答案】B【解析】【分析】由題意求出的近似值，可將寫成的形式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，所以的位數(shù)為.故選：B.18.在上海中學(xué)東校科技節(jié)中，李明同學(xué)定義了可分比集合：若集合滿足對(duì)任意，都有，則稱是可分比集合．若集合均為可分比集合，且（為正整數(shù)），則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可分比集合定義，驗(yàn)證時(shí)成立，證明時(shí)不成立得到正整數(shù)的最大值為7.【詳解】取，，滿足題意，此時(shí)；若，若，因?yàn)楹?，故，因?yàn)?，故，此時(shí)考慮元素8：因?yàn)榍?，故；因?yàn)榍?，故，所?無法劃分，與矛盾，當(dāng)時(shí)，類似推導(dǎo)可得矛盾，例如：若，則，進(jìn)而，元素?zé)o法劃分，矛盾；故正整數(shù)n的最大值為7．故選：B.三、解答題（共56分）19.已知常數(shù)，集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化簡集合后，再利用交集的定義求解.（2）根據(jù)給定條件，利用集合包含關(guān)系分類求解．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，而，所以.【小問2詳解】集合，由，得，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，則；當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．20.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由，得在區(qū)間上為減函數(shù)，結(jié)合及函數(shù)圖象對(duì)稱性求出的值.（2）由（1）求出，再利用單調(diào)性及偶函數(shù)性質(zhì)求解不等式.【小問1詳解】由，得冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，又，則m的值為，由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶數(shù)，所以.【小問2詳解】由（1）得函數(shù)定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上為單調(diào)遞減，不等式，則，解得或，所以的取值范圍是.21.對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使成立，則稱為該二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．（1）已知函數(shù)，求該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)于任意的，二次函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），3；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義列出方程并求解即得.（2）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，結(jié)合一元二次方程的判別式列式，再利用基本不等式求解.【小問1詳解】設(shè)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則，即，解得或，所以所求不動(dòng)點(diǎn)為，3.【小問2詳解】由，二次函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，得，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，，且，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此，且，即且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單價(jià)為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．（其中）（1）試問哪種購買方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說明理由；（2）若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購買方案花費(fèi)差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．【答案】（1）采用方案二；理由見解析（2）24【解析】【分析】（1）列出兩種方案的總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：方案一的總費(fèi)用為（元）；方案二總費(fèi)用為（元），由，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.【小問2詳解】解：由（1）可知，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以差的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以兩種方案花費(fèi)的差值最小為24元.23.桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果．這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”．抽屜原理的一般含義為：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，共中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素．應(yīng)用抽屜原理，解答下列問題：設(shè)n為正整數(shù)，集合.對(duì)于集合A中的任意元素和，記.（1）當(dāng)時(shí)，巖，，求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素，，證明：.（3）給定不小于2正整數(shù)n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素，，.寫出一個(gè)