極限與集合課件XX有限公司匯報(bào)人：XX目錄集合的基本概念01數(shù)列的極限03極限的性質(zhì)與計(jì)算05集合的運(yùn)算02函數(shù)的極限04集合與極限的應(yīng)用06集合的基本概念01集合的定義集合是由一些確定的、不同的對象所組成的整體，這些對象稱為集合的元素。元素構(gòu)成集合中的元素?zé)o順序之分，且每個(gè)元素都是獨(dú)一無二的，不重復(fù)出現(xiàn)。無序性與互異性元素與集合的關(guān)系元素是集合中的個(gè)體成員，用符號(hào)“∈”表示元素屬于集合。元素屬于集合若元素不在集合中，則稱元素不屬于該集合，用符號(hào)“?”表示。元素不屬于集合集合的表示方法列舉法將集合中的元素一一列舉出來，用花括號(hào){}括起。描述法用確定的條件描述集合中的元素特征，表示集合。集合的運(yùn)算02并集、交集與差集從一個(gè)集合中去除另一個(gè)集合中存在的元素。差集運(yùn)算找出兩個(gè)集合中共有的元素，組成新的集合。交集運(yùn)算將兩個(gè)集合中所有元素合并，去除重復(fù)部分。并集運(yùn)算補(bǔ)集的概念與性質(zhì)補(bǔ)集指在全集內(nèi)，但不在某特定子集內(nèi)的所有元素組成的集合。補(bǔ)集定義01補(bǔ)集與原集合無交集，且二者并集為全集。補(bǔ)集性質(zhì)02集合運(yùn)算的應(yīng)用實(shí)例01交集應(yīng)用求兩個(gè)班級共同參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生名單。02并集應(yīng)用合并兩個(gè)興趣小組的成員，得到全體成員列表。03差集應(yīng)用從全體員工中排除已參加培訓(xùn)的員工，找出未培訓(xùn)者。數(shù)列的極限03極限的定義數(shù)列極限概念數(shù)列極限描述數(shù)列項(xiàng)隨序號(hào)增大無限接近某固定值的過程。ε-N定義法對任意正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，數(shù)列項(xiàng)與極限值之差小于ε。極限存在的條件01收斂性條件數(shù)列需滿足收斂性，即存在一個(gè)實(shí)數(shù)作為其極限值。02有界性條件數(shù)列必須有界，即存在一個(gè)正數(shù)M，使得數(shù)列所有項(xiàng)絕對值小于M。極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則數(shù)列若存在極限，則該極限值唯一，不隨條件改變。極限的唯一性數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，包括加、減、乘、除的極限運(yùn)算規(guī)則。極限的運(yùn)算法則函數(shù)的極限04函數(shù)極限的定義描述性定義ε-δ定義01當(dāng)自變量趨近某值時(shí)，函數(shù)值趨近的固定數(shù)稱為該點(diǎn)的極限。02對任意正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使自變量距某點(diǎn)小于δ時(shí)，函數(shù)值與極限值差小于ε。左極限與右極限函數(shù)在某點(diǎn)左側(cè)逼近時(shí)的極限值，反映函數(shù)在該點(diǎn)左側(cè)的趨向性。左極限定義函數(shù)在某點(diǎn)右側(cè)逼近時(shí)的極限值，體現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)右側(cè)的變化趨勢。右極限定義極限存在的準(zhǔn)則若函數(shù)在某點(diǎn)被兩函數(shù)夾逼且極限相同，則該點(diǎn)極限存在。夾逼準(zhǔn)則單調(diào)遞增且有上界或單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列，其極限必存在。單調(diào)有界準(zhǔn)則極限的性質(zhì)與計(jì)算05極限的唯一性、有界性若極限存在，則必唯一，即函數(shù)在某點(diǎn)的極限值不會(huì)因計(jì)算方式不同而改變。01極限的唯一性在極限點(diǎn)附近，函數(shù)值被限制在某一確定范圍內(nèi)，不會(huì)無限增大或減小。02極限的有界性極限的四則運(yùn)算法則兩函數(shù)和的極限，等于各函數(shù)極限的和。加法運(yùn)算法則兩函數(shù)積的極限，等于各函數(shù)極限的積。乘法運(yùn)算法則極限的夾逼定理若g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，則limf(x)=A。夾逼定理定義01適用于求解無法直接用極限運(yùn)算法則的函數(shù)或數(shù)列極限。夾逼定理應(yīng)用02集合與極限的應(yīng)用06極限在分析中的應(yīng)用利用極限可判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否連續(xù)，是分析函數(shù)性質(zhì)的重要手段。函數(shù)連續(xù)性判斷導(dǎo)數(shù)本質(zhì)是函數(shù)變化率的極限，極限理論為導(dǎo)數(shù)定義提供堅(jiān)實(shí)支撐。導(dǎo)數(shù)定義基礎(chǔ)集合論在數(shù)學(xué)證明中的作用基礎(chǔ)構(gòu)建作用集合論提供數(shù)學(xué)對象描述語言，是數(shù)學(xué)證明的基礎(chǔ)框架。邏輯推導(dǎo)支撐集合論公理與定理作為證明前提，支撐數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)。統(tǒng)一數(shù)學(xué)理論集合論將數(shù)學(xué)各分支統(tǒng)一，促進(jìn)跨領(lǐng)域證明與理論整合。實(shí)