第二單元函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4講函數(shù)概念及其表示課前雙擊鞏固1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A,B設(shè)A,B是兩個(gè)

設(shè)A,B是兩個(gè)

對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)

按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的一個(gè)元素x,在集合B中都有的元素y與之對(duì)應(yīng)

名稱稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

稱對(duì)應(yīng)為從集合A到集合B的一個(gè)映射

記法y=f(x),x∈A對(duì)應(yīng)f:A→B2.函數(shù)的三要素函數(shù)由、和對(duì)應(yīng)關(guān)系三個(gè)要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的.與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的.

3.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法:、、.

4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).

常用結(jié)論1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.(5)y=tanx的定義域?yàn)閤|(6)函數(shù)f(x)=xα的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}.2.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)?ac-b24a,+∞(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.題組一常識(shí)題1.[教材改編]以下屬于函數(shù)的有.(填序號(hào))

①y=±x;②y2=x1;③y=x-2+1-x;④y=x22(x2.[教材改編]已知函數(shù)f(x)=lnx-2,x>0,x+a,x≤0,3.[教材改編]函數(shù)f(x)=8-xx4.[教材改編]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有種.

題組二常錯(cuò)題◆索引:對(duì)函數(shù)概念理解不透徹;對(duì)分段函數(shù)解不等式時(shí)忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對(duì)函數(shù)值域理解不透徹.5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是.(填序號(hào))

①f:x→y=12x;②f:x→y=13x;③f:x→y=23x;④f:x→6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2,x<1,4-x7.已知f(x)=x1,則f(x)=.

8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有個(gè).

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)的定義域考向1求給定函數(shù)解析式的定義域1(1)[2017·洛陽調(diào)研]下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=elnx的定義域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lnxC.y=1x D.y=10(2)[2017·揭陽二模]函數(shù)f(x)=x+1+lg(63x)的定義域?yàn)?(A.(∞,2) B.(2,+∞)C.[1,2) D.[1,2][總結(jié)反思]已知解析式的函數(shù),其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合,求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可.考向2求抽象函數(shù)的定義域2(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇1,1),則函數(shù)y=f(x23)的定義域?yàn)?

(2)已知f(2x)的定義域是[1,2],則f(log2x)的定義域?yàn)?

[總結(jié)反思](1)若f(x)的定義域?yàn)閇m,n],則在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,從中解得x的范圍即為f[g(x)]的定義域;(2)若f[g(x)]的定義域?yàn)閇m,n],則由m≤x≤n確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域.考向3已知定義域求參數(shù)范圍3(1)設(shè)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],要使函數(shù)f(xa)+f(x+a)有定義,則a的取值范圍為 ()A.-∞,-B.-C.1D.-∞,-12(2)已知函數(shù)y=mx2-6mx+9m+8[總結(jié)反思]根據(jù)函數(shù)的定義域,將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式(組),進(jìn)而求解參數(shù)范圍.強(qiáng)化演練1.【考向2】已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,3],則y=f(2x1)的定義域是 ()A.0,52 B.[1C.-12,2 D.[2.【考向2】若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=f(2x)xA.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)3.【考向1】[2017·江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考]函數(shù)y=ln1+1x+1-x2的定義域?yàn)?.【考向3】函數(shù)f(x)=1ax2+x+a的定義域?yàn)?.【考向3】記函數(shù)f(x)=2-x+3x+1的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(xa1)(2ax)](a<1)的定義域?yàn)锽.若B?A,探究點(diǎn)二函數(shù)的解析式4(1)已知f3x-1=lnx,則f(x)=(2)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)=5,f(x+1)f(x)=x1,則f(x)=.

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f(x)=3x·f1x+1,則f(x)=[總結(jié)反思]求函數(shù)解析式的常用方法:(1)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法.(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)構(gòu)造法:已知關(guān)于f(x)與f1x(或f(x))的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x)(4)配湊法:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.式題(1)已知f(x+1)=x+2x,則f(x)=.

(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1x),則當(dāng)1≤x<0時(shí),f(x)=.

(3)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)=lg(x+1),則f(x)=.

探究點(diǎn)三分段函數(shù)考向1分段函數(shù)的函數(shù)求值問題5(1)[2017·河南新鄉(xiāng)二模]已知函數(shù)f(x)=1-2x,x≤0,x12,(2)[2017·撫州七校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)=1+log6x,x≥4,f(x2[總結(jié)反思]求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外地依次求值.考向2分段函數(shù)的自變量求值問題6[2017·湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考]已知f(x)=2x-2,x≥0,-x2+3,x<0,A.2 B.1或2C.±1或2 D.1或2[總結(jié)反思]與分段函數(shù)有關(guān)的自變量的求值問題,求解關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.考向3分段函數(shù)與方程、不等式問題7(1)已知函數(shù)f(x)=log13x,x>0,2x,x≤0,若A.(1,0)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(1,0)∪3D.-(2)[2017·渭南二模]設(shè)f(x)=log4x-1,x>0,2x-x[總結(jié)反思]涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式與方程問題,主要表現(xiàn)為解不等式(或方程).若自變量取值不確定,則要分類討論求解;若自變量取值確定,則只需依據(jù)自變量的情況,直接代入相應(yīng)解析式求解.強(qiáng)化演練1.【考向1】[2017·桂林中學(xué)三模]已知函數(shù)f(x)=13x,x≥3,f(x+1),x<A.227 B.C.227 D.2.【考向1】已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=log13x,x>0,ax+b,x≤0滿足f(0)=2,f(1A.3 B.2C.3 D.23.【考向2】[2017·石家莊二中三模]已知函數(shù)f(x)=-log2(3-x),x<2,2xA.2 B.1C.1或12 D.4.【考向3】已知函數(shù)f(x)=2-2x,x≤-1,2x+2,xA.(∞,2)∪(0,+∞)B.(1,0)C.(2,0)D.(∞,1]∪[0,+∞)5.【考向3】設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1,x<1,2x,x≥1,則滿足f[f(aA.23,1 B.[0C.23,+∞ D.[第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值課前雙擊鞏固1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖像描述自左向右看圖像是

自左向右看圖像是

2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)對(duì)于任意x∈I,都有;

(2)存在x0∈I,使得

結(jié)論M為最大值M為最小值常用結(jié)論1.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=f(u),u=φ(x),在函數(shù)y=f[φ(x)]的定義域上,如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性相同,則y=f[φ(x)]單調(diào)遞增;如果y=f(u),u=φ(x)的單調(diào)性相反,則y=f[φ(x)]單調(diào)遞減.2.單調(diào)性定義的等價(jià)形式設(shè)任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0(2)若有(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<03.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同,若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=f(x),y=1f((4)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=f(x題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)f(x)=(2a1)x3是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是.

2.[教材改編]函數(shù)f(x)=(x2)2+5(x∈[3,3])的單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是.

3.[教材改編]函數(shù)f(x)=3x+1(x∈[2,5])的最大值與最小值之和等于4.函數(shù)f(x)=|xa|+1在[2,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題組二常錯(cuò)題◆索引:求單調(diào)區(qū)間忘記定義域?qū)е鲁鲥e(cuò);對(duì)于分段函數(shù),一般不能整體單調(diào),只能分段單調(diào);利用單調(diào)性解不等式忘記在單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解;混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”兩個(gè)概念.5.函數(shù)f(x)=ln(4+3xx2)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

6.已知函數(shù)f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-1,x<27.函數(shù)y=f(x)是定義在[2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

8.(1)若函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2在區(qū)間(∞,4]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(2)若函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為(∞,4],則a的值為.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1判斷函數(shù)f(x)=axx2-1(a>0),x∈(1,1)的單調(diào)性[總結(jié)反思](1)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)f(x2);③變形(通常是因式分解和配方);④定號(hào)(即判斷f(x1)f(x2)的正負(fù));⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法:若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡(jiǎn)稱“同增異減”.式題[2017·南陽一中月考]下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是 ()A.y=x2+1B.y=|x1|C.y=x3D.y=2x探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2(1)[2017·全國(guó)卷Ⅱ]函數(shù)f(x)=ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(∞,2) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)(2)設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g([總結(jié)反思]求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法:(1)定義法;(2)圖像法;(3)導(dǎo)數(shù)法.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般解題步驟為:①確定函數(shù)的定義域;②求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其依據(jù)是“同增異減”.式題(1)函數(shù)y=142x2-3A.(1,+∞) B.-∞,C.12,+∞(2)函數(shù)f(x)=(a1)x+2在R上單調(diào)遞增,則函數(shù)g(x)=a|x2|的單調(diào)遞減區(qū)間是.

探究點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小3(1)[2017·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模]設(shè)a=log52,b=3257,c=log73,則a,b,c的大小關(guān)系是 (A.b>a>c B.a>c>bC.b>c>a D.a>b>c(2)[2017·達(dá)州二診]已知f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意x∈(0,+∞),f[f(x)lnx]=e+1,設(shè)a=f1213,b=f1312,c=f(log2π),則a,b,c的大小關(guān)系是[總結(jié)反思]比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.考向2利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題4(1)已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x1<x2,都有fx1fx2<x1x2,且f-3=4,則不等式flog12|3x-1|>logA.2B.-∞,C.0,1D.-∞,0∪(2)[2017·云南師大附中月考]已知函數(shù)f(x)=ex+x3,若f(x2)<f(3x2),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

[總結(jié)反思]解函數(shù)不等式的理論依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義,具體步驟是:(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”,轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的常規(guī)不等式,從而得解.考向3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值問題5設(shè)函數(shù)f(x)=2017x+1+20162017x+1+2016sinx,x∈π2,π2的最大值為M,[總結(jié)反思]若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值;若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),則最小值為函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點(diǎn)值中最小的值,最大值為函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點(diǎn)值中最大的值.考向4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)6[2017·南充三模]已知f(x)=(3-a)x,x∈(-∞,1],ax,x∈(1A.(0,3) B.(1,3)C.(1,+∞) D.3[總結(jié)反思](1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式(組),即可求出參數(shù)的值或范圍;(2)若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則不僅要保證在各區(qū)間上單調(diào)性一致,還要確保在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的.強(qiáng)化演練1.【考向1】已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1x2)·[f(x1)f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),則a,b,c的大小關(guān)系是 ()A.c<b<a B.b<a<cC.b<c<a D.a<b<c2.【考向2】已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x24)<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

3.【考向3】[2017·青島一模]已知函數(shù)f(x)=log13x,x>14.【考向4】若函數(shù)f(x)=2|xa|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1x),且f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的最小值等于.

5.【考向4】[2017·武漢調(diào)研]若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

第6講函數(shù)的奇偶性與周期性課前雙擊鞏固1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

都有,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

圖像特征關(guān)于對(duì)稱

關(guān)于對(duì)稱

2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫作f(x)的最小正周期.

常用結(jié)論1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式(1)f(x)=f(x)?f(x)f(x)=0?f(-x)f(x)=1(2)f(x)=f(x)?f(x)+f(x)=0?f(-x)f(x)=12.對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,最小正周期為T(1)若f(x+a)=f(x),則T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),則(3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|ab|.3.函數(shù)圖像的對(duì)稱關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=f(bx),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=f(bx),則f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)f(x)=x21,f(x)=x3,f(x)=x2+cosx,f(x)=1x+|x|中,偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是2.[教材改編]若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是減函數(shù),則它在[b,a]上是函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則它在[b,a]上是函數(shù).

3.[教材改編]已知f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x1,則f(2)=.

4.[教材改編]已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=log4(x2+3),則f(2017)=.

題組二常錯(cuò)題◆索引:判定奇偶性時(shí),不化簡(jiǎn)解析式導(dǎo)致出錯(cuò);找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;性質(zhì)應(yīng)用不熟練,找不到解題方法;利用奇偶性求解析式時(shí)忽略定義域.5.函數(shù)f(x)=lg(1-x2)|6.具有性質(zhì)f1x=f(x)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).有下列函數(shù):①f(x)=x1x;②f(x)=x+1x;③f(x)=x,0<7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=fx+32,且f(1)=2,則f(2017)8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+4x3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷1(1)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)下列函數(shù)奇偶性的判斷,正確的是 ()①f(x)=2-x2+x2-2;②f③f(x)=xA.①是奇函數(shù),②是奇函數(shù),③是偶函數(shù)B.①是偶函數(shù),②是奇函數(shù),③是偶函數(shù)C.①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),②是奇函數(shù),③是奇函數(shù)D.①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),②是偶函數(shù),③是偶函數(shù)[總結(jié)反思]判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域.(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(x)=0(奇函數(shù))或f(x)f(x)=0(偶函數(shù))是否成立.式題(1)[2017·衡水中學(xué)三調(diào)]已知函數(shù)f(x)=x2x-1,g(x)=x2,則下列結(jié)論正確的是A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù)B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函數(shù)C.h(x)=f(x)g(x)是奇函數(shù)D.h(x)=f(x)g(x)是偶函數(shù)(2)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是 ()A.f(x)=x+sin2x B.f(x)=x2cosxC.f(x)=3x13x D.f(x)=x2+tan探究點(diǎn)二函數(shù)的周期性2(1)已知函數(shù)f(x)滿足fx34=fx+34,當(dāng)x∈0,32時(shí),f(x)=ln(x2x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A.3 B.4C.5 D.6(2)[2017·蕪湖二模]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)=23,且對(duì)任意的x都有f(x+2)=1-f(x),則f(2018)A.23 B.2+3C.23 D.2+3[總結(jié)反思](1)只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)整體的性質(zhì),函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合考查.(3)在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.式題已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù),當(dāng)x∈(1,4]時(shí),f(x)=3x1,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=.

探究點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1奇偶性的應(yīng)用3(1)[2017·福建四地六校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=log2x,則f(2)=()A.12 B.C.2 D.2(2)[2017·許昌二模]已知函數(shù)f(x)=2|x|+1+x3+22|x|A.0 B.2C.4 D.8[總結(jié)反思]利用函數(shù)的奇偶性可以解決以下問題:(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得出方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖像.(5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.考向2奇偶性與單調(diào)性4(1)已知f(x)是奇函數(shù),并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λx)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是 ()A.14 B.C.78 D.(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x4(x≥0),則滿足f(a2)>0的實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(∞,0)∪(4,+∞)[總結(jié)反思](1)利用偶函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,可以把函數(shù)不等式化為一般的不等式;(2)注意偶函數(shù)性質(zhì)f(x)=f(|x|)的應(yīng)用.考向3奇偶性與周期性5(1)[2017·廣州花都區(qū)二模]已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(2016)+f(2017)= ()A.2 B.1C.0 D.1(2)若偶函數(shù)y=f(x),x∈R滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x2,則方程f(x)=sin|x|在[10,10]內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為.

[總結(jié)反思]利用函數(shù)的奇偶性和周期性把所求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值,把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì).考向4奇偶性﹑周期性與單調(diào)性6(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x),且f(x)=f(x+6),當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則f(x)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減 ()A.[3,7] B.[4,5]C.[5,8] D.[6,10](2)[2017·哈爾濱六中二模]定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足fx+32=f(x),當(dāng)x∈0,12時(shí),f(x)=log12(1x),則f(x)在區(qū)間1,32內(nèi)是 ()A.減函數(shù)且f(x)>0B.減函數(shù)且f(x)<0C.增函數(shù)且f(x)>0D.增函數(shù)且f(x)<0[總結(jié)反思]解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.強(qiáng)化演練1.【考向1】[2018·濟(jì)南外國(guó)語學(xué)校月考]已知函數(shù)y=f(x),滿足y=f(x)和y=f(x+2)是偶函數(shù),且f(1)=π3,設(shè)F(x)=f(x)+f(x),則F(3)= (A.π3 B.C.π D.42.【考向2】[2017·大連二模]已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,若f(lnx)<f(2),則x的取值范圍是 ()A.(0,e2) B.(e2,+∞)C.(e2,+∞) D.(e2,e2)3.【考向4】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)=f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則()A.f(25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(25)C.f(11)<f(80)<f(25)D.f(25)<f(80)<f(11)4.【考向3】設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2x(1x),則f-52=5.【考向3】[2017·武漢模擬]設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件:①f(x)+f(x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2x1.則f12+f(1)+f32+f(2)+f52第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)課前雙擊鞏固1.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖像定義域RR值域

單調(diào)性在上單調(diào)遞減,在

-b在上單調(diào)遞增,在

-b頂點(diǎn)坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)

對(duì)稱軸方程x=b2.冪函數(shù)(1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較函數(shù)y=xy=x2y=x3y=xy=x1圖像性質(zhì)定義域RRR

值域R

R

奇偶性函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增

在R上單調(diào)遞增在

上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減

公共點(diǎn)

常用結(jié)論1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(xm)2+n(a≠0).(3)零點(diǎn)式:f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0且Δ<0”.題組一常識(shí)題1.[教材改編]若函數(shù)f(x)=4x2kx8在5,20上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是2.[教材改編]已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(2,2),則函數(shù)f(x)=.

3.[教材改編]已知f(x)=x22x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是.

4.[教材改編]若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則b=.

題組二常錯(cuò)題◆索引:圖像特征把握不準(zhǔn)出錯(cuò);二次函數(shù)的單調(diào)性理解不到位;冪函數(shù)的圖像掌握不到位.5.如圖271,若a<0,b>0,則函數(shù)y=ax2+bx的大致圖像是(填序號(hào)).

圖2716.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m1)(填“>”“<”或“=”)0.

7.若函數(shù)y=mx2+x+5在[2,+∞)上是增函數(shù),則m的取值范圍是.

8.已知當(dāng)x∈0,1時(shí),函數(shù)y=xp的圖像在直線y=x的上方,則p的取值范圍是課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1(1)若冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖像大致是 ()圖272(2)[2017·南陽一中月考]已知函數(shù)f(x)=(m2m1)x4m9-m5-1是冪函數(shù),對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,則f(a)+fA.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷[總結(jié)反思]冪函數(shù)的性質(zhì)因冪指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同,解題中要善于根據(jù)冪指數(shù)的符號(hào)和其他性質(zhì)確定冪函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等.式題冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)2,14,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(∞,+∞)D.(∞,0)探究點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式2(1)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=0,則f(x)=.

(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意x∈R,都有f(2x)=f(2+x),則f(x)=.

[總結(jié)反思]求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略:(1)已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),宜選用一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點(diǎn)式;(3)已知圖像與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用零點(diǎn)式.式題(1)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(2,0)且有最小值1,則f(x)=.

(2)若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函數(shù),且它的值域?yàn)?∞,4],則該函數(shù)的解析式為f(x)=.

探究點(diǎn)三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)考向1二次函數(shù)的單調(diào)性問題3(1)[2017·安徽江淮十校三模]函數(shù)f(x)=x2bx+c滿足f(x+1)=f(1x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 ()A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.與x有關(guān),不確定(2)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax22ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,且f(m)≤f(0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(∞,0]B.[2,+∞)C.(∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2][總結(jié)反思](1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解;(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小,一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較.考向2二次函數(shù)的最值問題4已知函數(shù)f(x)=ax22x(a>0),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.[總結(jié)反思](1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng).不論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論求解.考向3二次函數(shù)中的恒成立問題5(1)[2017·仙桃中學(xué)月考]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在區(qū)間[1,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

(2)函數(shù)f(x)=a2x+3ax2(a>1),若在區(qū)間[1,1]上f(x)≤8恒成立,則a的最大值為.

[總結(jié)反思]二次函數(shù)中恒成立問題的解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性等得出關(guān)于參數(shù)的不等式,進(jìn)而求得參數(shù)范圍.強(qiáng)化演練1.【考向1】函數(shù)f(x)=2x2mx+3,當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),當(dāng)x∈(∞,2]時(shí),f(x)是減函數(shù),則f(1)的值為 ()A.3 B.13C.7 D.52.【考向2】若函數(shù)f(x)=x22x+1在區(qū)間[a,a+2]上的最小值為4,則a的取值集合為 ()A.[3,3] B.[1,3]C.{3,3} D.{1,3,3}3.【考向2】[2017·皖北聯(lián)考]若函數(shù)f(x)=x2axa在區(qū)間[0,2]上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a的值為.

4.【考向3】已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(x1)2,若當(dāng)x∈2,12時(shí),n≤f(x)≤m恒成立,則mn的最小值為.

5.【考向3】已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x3在[1,1]上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

第8講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課前雙擊鞏固1.根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*

性質(zhì)當(dāng)n是時(shí),a的n次方根為x=

n當(dāng)n是時(shí),正數(shù)a的n次方根為x=±na負(fù)數(shù)的偶次方根

0的任何次方根都是0,記作n0=根式概念式子na叫作,其中n叫作,a叫作性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),nan2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*且②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam(a>0,m,③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras=(a>0,r,s∈Q);

②(ar)s=(a>0,r,s∈Q);

③(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).

3.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖像定義域R值域

性質(zhì)過定點(diǎn)

當(dāng)x>0時(shí),;當(dāng)x<0時(shí),

當(dāng)x>0時(shí),;當(dāng)x<0時(shí),

在R上是

在R上是

常用結(jié)論1.指數(shù)函數(shù)y=ax+b(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)(0,1+b).2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖像以x軸為漸近線.題組一常識(shí)題1.[教材改編]若x+x1=3,則x2x2=.

2.[教材改編]已知2x1<23x,則x的取值范圍是.

3.[教材改編]函數(shù)y=ax1+2(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn).

4.[教材改編]下列所給函數(shù)中值域?yàn)?0,+∞)的是.(填序號(hào))

①y=5x,②y=131-x,③y=1題組二常錯(cuò)題◆索引:忽略n的范圍導(dǎo)致式子nan(a∈R)化簡(jiǎn)出錯(cuò);不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò);指數(shù)函數(shù)問題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況;5.計(jì)算3(1+2)36.若函數(shù)f(x)=(a23)·ax為指數(shù)函數(shù),則a=.

7.若函數(shù)f(x)=ax在[1,1]上的最大值為2,則a=.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)滿足f(1x)=f(1+x),則f(2x)與f(3x)的大小關(guān)系是.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值1(1)[2017·蘭州鐵一中月考]已知a1a=3(a>0),則a2+a+a2+a1的值為 ()A.1311 B.1113C.13+11 D.11+13(2)計(jì)算0.02713+2560.7541727-[總結(jié)反思]指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則:(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).式題(1)計(jì)算:19-3×27-23+(2)已知a,b是方程x26x+4=0的兩根,且a>b>0,則a-ba探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用2(1)函數(shù)y=1e|x|的圖像大致是 ()圖281(2)[2017·天津河西區(qū)二模]已知f(x)=|2x1|,當(dāng)a<b<c時(shí),有f(a)>f(c)>f(b),則必有 ()A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0C.2a<2c D.1<2a+2c<2[總結(jié)反思](1)研究指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像要抓住三個(gè)特殊點(diǎn):(1,a),(0,1),1,1a.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像問題的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像,通過平移、對(duì)稱變換得到其圖像.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合求解.式題(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與y=(1a)x的圖像可能是()圖282(2)已知函數(shù)y=12a-4x的圖像與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則實(shí)數(shù)A.1 B.2C.4 D.8探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1比較指數(shù)式的大小3(1)[2017·遂寧三診]已知a=243,b=425,c=2513,A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若1<a<0,則3a,a13,a3的大小關(guān)系是(用“>”連接[總結(jié)反思]指數(shù)式的大小比較,靠的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)所比較的指數(shù)式的底數(shù)小于0時(shí),要先根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算法則把底數(shù)化為正數(shù),再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較其大小.考向2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式4(1)已知函數(shù)f(x)=2x-1,x>1,1,x(2)方程4x+|12x|=11的解為.

[總結(jié)反思](1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).考向3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題5(1)函數(shù)f(x)=a+bex+1(a,b∈R)是奇函數(shù),且圖像經(jīng)過點(diǎn)ln3,12,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?(A.(1,1) B.(2,2)C.(3,3) D.(4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈-∞,1時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[總結(jié)反思]指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是其單調(diào)性,解題中注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.強(qiáng)化演練1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=3525,b=2535,c=2A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<c<a2.【考向2】若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立,則a的取值范圍是 ()A.(∞,+∞) B.(2,+∞)C.(0,+∞) D.(1,+∞)3.【考向2】已知實(shí)數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f4.【考向2】若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x4(x≥0),則不等式f(x2)>0的解集為.

5.【考向3】已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常數(shù)且a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bxm≥0在x∈(∞,1]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)第9講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課前雙擊鞏固1.對(duì)數(shù)概念如果ax=N(a>0且a≠1),那么x叫作以a為底N的,記作x=logaN,其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫作真數(shù),logaN叫作對(duì)數(shù)式

性質(zhì)底數(shù)的限制:a>0且a≠1對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?

負(fù)數(shù)和零沒有

loga1=

logaa=1對(duì)數(shù)恒等式:alog運(yùn)算性質(zhì)loga(M·N)=

a>0且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(n∈R)

換底公式換底公式:logab=logcblogca(a>0且a≠1,c>0且推論:logambn=,loga2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)概念函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)叫作函數(shù)

底數(shù)a>10<a<1圖像定義域

值域

性質(zhì)過定點(diǎn),即x=1時(shí),y=0

在區(qū)間(0,+∞)上是函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞)上是函數(shù)

3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

常用結(jié)論1.指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)關(guān)系:ax=N?x=logaN.2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.3.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).題組一常識(shí)題1.[教材改編]化簡(jiǎn)logablogbclogca的結(jié)果是.

2.[教材改編]設(shè)a=212,b=313,c=log32,則a,b,3.[教材改編]若函數(shù)y=fx是函數(shù)y=2x的反函數(shù),則f2=.

4.[教材改編]函數(shù)y=log12(x24x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是題組二常錯(cuò)題◆索引:對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算掌握不到位;記混對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域;對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不能充分運(yùn)用;忽略對(duì)底數(shù)的討論致誤.5.有下列結(jié)論:①lglg10=0;②lglne=0;③若lgx=1,則x=10;④若log22=x,則x=1;⑤若logmn·log3m=2,則n=9.其中正確結(jié)論的序號(hào)是6.函數(shù)f(x)=log2(2x)的定義域是.

7.設(shè)a=14,b=log985,c=log83,則a,b,c的大小關(guān)系是8.函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a=.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值1(1)已知2loga(M2N)=logaM+logaN,則MN的值為.

(2)已知2a=5b=10,則2a+2b

32=[總結(jié)反思](1)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的,因此經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論.在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),必須保證恒等變形.(2)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.式題(1)求值:lg27+lg8-3lg10(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+9x,則f(log32)=.

探究點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用2(1)[2017·成都九校聯(lián)考]函數(shù)y=lncosxπ2<x<π2的大致圖像是()圖291(2)已知函數(shù)f(x)=x2logmx在0,12上恒有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

[總結(jié)反思](1)在研究對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí)一定要注意其定義域,注意根據(jù)基本的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像作出經(jīng)過平移、對(duì)稱變換得到的函數(shù)的圖像.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.式題(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的大致圖像為 ()圖292(2)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2C.3 D.4探究點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1比較大小3(1)[2017·鷹潭二模]已知a=log0.34,b=log43,c=0.32,則a,b,c的大小關(guān)系是 ()A.c<a<b B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c(2)[2017·德州二模]設(shè)a=log36,b=log48,c=log510,則 ()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c[總結(jié)反思]比較對(duì)數(shù)式的大小,一是將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的形式,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較,二是采用中間值0或1等進(jìn)行比較,三是將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,再將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式,通過巡回轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較.考向2解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式4(1)已知0<a<1,0<b<1,若alogb(x-3)<(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log2x,x>0,log12(-x[總結(jié)反思]對(duì)于形如logaf(x)>b的不等式,一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)>logaab,再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)>ab或0<f(x)<ab.而對(duì)于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解.考向3對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題5(1)若函數(shù)f(x)=log12(x2+4x+5)在區(qū)間(3m2,m+2)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(A.43,3 C.43,2 (2)[2017·宜春中學(xué)、新余四中聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+4-2a,x<1,1+A.(1,2] B.(∞,2]C.(0,2] D.[2,+∞)[總結(jié)反思]利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.強(qiáng)化演練1.【考向1】已知a=log23+log23,b=log29log23,c=log32,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a=b<c B.a=b>cC.a<b<c D.a>b>c2.【考向1】若實(shí)數(shù)a,b,c滿足loga2<logb2<logc2,則下列關(guān)系中不可能成立的是 ()A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<b3.【考向2】已知f(x)是偶函數(shù),且在[0,+∞)上是減函數(shù),若f(lgx)>f(2),則x的取值范圍是()A.1B.0,1100∪(1C.1D.(0,1)∪(100,+∞)4.【考向3】若函數(shù)f(x)=loga(ax3)在[1,3]上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 ()A.(1,+∞) B.(0,1)C.0,13 D.(35.【考向3】函數(shù)f(x)=log2x·log2(2x)的最小值為第10講函數(shù)的圖像課前雙擊鞏固1.描點(diǎn)法作圖其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線,具體為:首先:①確定函數(shù)的定義域;②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式;③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性).其次:列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)).最后:描點(diǎn),連線.2.圖像變換變換類型變換前變換方法變換后平移變換y=f(x)的圖像a>0,右移a個(gè)單位;a<0,左移|a|個(gè)單位y=的圖像

b>0,上移b個(gè)單位;b<0,下移|b|個(gè)單位y=的圖像

對(duì)稱變換y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱y=的圖像

關(guān)于y軸對(duì)稱y=的圖像

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=的圖像

y=ax(a>0且a≠1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱y=

的圖像伸縮變換y=f(x)的圖像a>1,橫坐標(biāo)縮短為原來的1a,縱坐標(biāo)不變0<a<1,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的1a倍,y=的圖像

a>1,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍,橫坐標(biāo)不變;0<a<1,縱坐標(biāo)縮短為原來的a,橫坐標(biāo)不變y=的圖像

翻折變換y=f(x)的圖像x軸下方部分翻折到上方,x軸及上方部分不變的圖像

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè),原y軸左側(cè)部分去掉、右側(cè)不變的圖像

題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)y=logax與函數(shù)y=log1ax的圖像關(guān)于直線2.[教材改編]函數(shù)y=ax與y=1ax的圖像關(guān)于直線3.[教材改編]函數(shù)y=log2x與函數(shù)y=2x的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

4.[教材改編]函數(shù)y=|1-x2|的大致圖像是圖2101題組二常錯(cuò)題◆索引:函數(shù)圖像的幾種變換記混;分段函數(shù)的圖像問題.5.將函數(shù)f(x)=(2x+1)2的圖像向左平移一個(gè)單位后,得到的圖像的函數(shù)解析式為.

6.把函數(shù)f(x)=lnx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,得到的圖像的函數(shù)解析式是.

7.設(shè)f(x)=2x,g(x)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,h(x)的圖像由g(x)的圖像向右平移1個(gè)單位得到,則h(x)=.

8.函數(shù)y=elnx+x-1的圖像是課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一作函數(shù)的圖像1分別畫出下列函數(shù)的圖像:(1)y=|lg(x1)|;(2)y=2x+11;(3)y=x2|x|2.

[總結(jié)反思]為了正確地作出函數(shù)的圖像,除了掌握“列表、描點(diǎn)、連線”的方法之外,還要做到以下兩點(diǎn):(1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖像,以及形如y=x+1x的函數(shù)圖像(2)掌握常用的圖像變換方法,如平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等,利用這些方法來幫助我們簡(jiǎn)化作圖過程.式題分別畫出下列函數(shù)的圖像:(1)y=|x24x+3|;(2)y=2x+1x+1;(3)y=10|

探究點(diǎn)二識(shí)圖與辨圖考向1特殊點(diǎn)法2[2017·揭陽二模]函數(shù)f(x)=x212x的大致圖像是 (圖2102[總結(jié)反思]使用特殊點(diǎn)法排除一些不符合要求的錯(cuò)誤選項(xiàng),主要注意兩點(diǎn):一是選取的點(diǎn)要具備特殊性和代表性,能排除一些選項(xiàng);二是可能要選取多個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行排除才能得到正確答案.考向2性質(zhì)檢驗(yàn)法3[2017·太原五中一模]函數(shù)y=1ln|ex-e圖2103[總結(jié)反思]利用性質(zhì)識(shí)別函數(shù)圖像是辨圖中的主要方法,采用的性質(zhì)主要是定義域、值域,函數(shù)整體的奇偶性,函數(shù)局部的單調(diào)性等.當(dāng)然,對(duì)于一些更為復(fù)雜的函數(shù)圖像的判斷,還可能同特殊點(diǎn)法結(jié)合起來使用.考向3圖像變換法4設(shè)函數(shù)f(x)=2x,則如圖2104所示的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 ()圖2104A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(|x|) D.y=f(|x|)[總結(jié)反思]通過圖像變換識(shí)別函數(shù)圖像要掌握兩點(diǎn):一是熟悉基本初等函數(shù)的圖像(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖像);二是了解一些常見的變換形式,如平移變換、翻折變換.強(qiáng)化演練1.【考向1】[2017·漢中二模]函數(shù)y=x1xsinx的圖像大致是 ()圖21052.【考向1】[2017·寧夏大學(xué)附中一模]函數(shù)y=x22x-2圖21063.【考向2】函數(shù)y=lnex-e-x圖21074.【考向3】[2017·山東平陰第一中學(xué)一模]已知函數(shù)f(x)=logax(0<a<1),則函數(shù)y=f(|x|+1)的圖像大致為 ()圖2108探究點(diǎn)三函數(shù)圖像的應(yīng)用考向1研究函數(shù)的性質(zhì)5[2017·太原五中一模]函數(shù)f(x)的部分圖像如圖2109所示,則f(x)的解析式可以是()圖2109A.f(x)=x+sinxB.f(x)=cosC.f(x)=xxD.f(x)=xcosx[總結(jié)反思]一般根據(jù)圖像觀察函數(shù)性質(zhì)有以下幾方面:一是觀察函數(shù)圖像是否連續(xù)以及最高點(diǎn)和最低點(diǎn),確定定義域、值域;二是函數(shù)圖像是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱,確定函數(shù)是否具有奇偶性;三是根據(jù)圖像上升與下降的情況,確定單調(diào)性.考向2求參數(shù)的取值范圍6(1)[2017·重慶二診]設(shè)函數(shù)f(x)=log2-x2,x≤-1,-13x2+43x+23(2)[2017·溫州二模]已知函數(shù)y=|x2-1|x-1的圖像與函數(shù)y=kx[總結(jié)反思]當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí),可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù),再根據(jù)題設(shè)條件和圖像的變化確定參數(shù)的取值范圍.考向3求不等式的解集7不等式3sinπ2xlog12x<0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 (A.2 B.3 C.4 D.5[總結(jié)反思]f(x),g(x)之間的不等關(guān)系表現(xiàn)在函數(shù)圖像上即為圖像的上下位置關(guān)系,通過畫出函數(shù)圖像可以直觀地求解不等式.考向4確定方程根的個(gè)數(shù)8[2017·宣城二模]已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=2x1,則方程f(x)=log7|x2|的解的個(gè)數(shù)是 ()A.8 B.7 C.6 D.5[總結(jié)反思]根據(jù)方程合理構(gòu)造函數(shù).若構(gòu)造的是一個(gè)函數(shù),則方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù);若構(gòu)造的是兩個(gè)函數(shù),則方程根的個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).強(qiáng)化演練1.【考向1】已知函數(shù)f(x)=x|x|2x,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)B.f(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,1)C.f(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,1)D.f(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,0)2.【考向4】已知f(x)=|lgx|,x>0,2|x|,x≤0,則函數(shù)y=2[圖210103.【考向3】函數(shù)f(x)是定義在[4,4]上的偶函數(shù),其在[0,4]上的圖像如圖21010所示,那么不等式f(x)cosx4.【考向2】直線y=1與曲線y=x2|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是.

第11講函數(shù)與方程課前雙擊鞏固1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).

(2)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有.

(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得,這個(gè)也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與x軸的交點(diǎn)

無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

常用結(jié)論1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).2.周期函數(shù)如果存在零點(diǎn),則必有無窮個(gè)零點(diǎn).題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

2.[教材改編]如果函數(shù)f(x)=ex1+4x4的零點(diǎn)在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內(nèi),則n=.

3.[教材改編]函數(shù)f(x)=x32x2+x的零點(diǎn)是.

4.[教材改編]若函數(shù)f(x)=x24x+a存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題組二常錯(cuò)題◆索引:錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理;誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無零點(diǎn)的充要條件(判別式小于零).5.函數(shù)f(x)=x+1x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是6.函數(shù)y=x27x+6的零點(diǎn)是.

7.若二次函數(shù)f(x)=x22x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷1(1)[2017·渭南二模]函數(shù)f(x)=lnx2x-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 (A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)(2)[2017·廣州花都區(qū)二模]已知函數(shù)f(x)=logax+xb(a>0且a≠1).當(dāng)2<a<3<b<4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=.

[總結(jié)反思]判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的基本依據(jù)是零點(diǎn)存在性定理.對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間問題,往往要結(jié)合圖像進(jìn)行分析,一般是轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn),分析其橫坐標(biāo)的情況進(jìn)行求解.式題[2017·溫州二模]在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能為()A.-14,0C.14,12探究點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論2(1)已知函數(shù)f(x)=|lnx|1,g(x)=x2+2x+3,用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)},則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2C.3 D.4(2)[2017·廣元三診]已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),且x∈[0,2]時(shí),f(x)=sinπx+2|sinπx|,則方程f(x)|lgx|=0在區(qū)間[0,10]上根的個(gè)數(shù)是 ()A.17 B.18C.19 D.20[總結(jié)反思]函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,基本思路是數(shù)形結(jié)合,即把函數(shù)分拆為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)于不易直接求解的方程的根的個(gè)數(shù)的討論,也是根據(jù)方程構(gòu)建兩個(gè)函數(shù),利用兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù).式題(1)[2017·長(zhǎng)春十一中期中]函數(shù)f(x)=|x3|ln(x+1)在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>探究點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用3(1)[2017·天津八校聯(lián)考]已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=(x1)2,若g(x)=f(x)log5|x1|,則函數(shù)g(x)的所有零點(diǎn)之和為 ()A.8 B.6C.4 D.10(2)[2017·南充三模]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意的x∈R,都有f(x2)=f(x+2),且當(dāng)x∈[2,0]時(shí),f(x)=12x1,若函數(shù)g(x)=f(x)loga(x+2)(a>1)在區(qū)間[2,6]內(nèi)恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[總結(jié)反思]函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問題:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點(diǎn)又不易直接求出,考查各零點(diǎn)的和或范圍問題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點(diǎn)情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點(diǎn)的范圍問題.這三類問題最終都是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)進(jìn)行解決.式題(1)[2017·河南豫南九校質(zhì)檢]若函數(shù)f(x)=|logax|2x(a>0且a≠1)的兩個(gè)零點(diǎn)是m,n,則 ()A.mn=1 B.mn>1C.mn<1 D.以上都不對(duì)(2)若函數(shù)f(x)=|2x2|b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

第12講函數(shù)模型及其應(yīng)用課前雙擊鞏固1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)

單調(diào)

單調(diào)

增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k≠0指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)常用結(jié)論1.函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0,x>0)在區(qū)間(0,ab]內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[ab,+∞)2.直線上升、對(duì)數(shù)緩慢、指數(shù)爆炸.題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)模型y1=0.25x,y2=log2x+1,y3=1.002x,隨著x的增大,增長(zhǎng)速度的大小關(guān)系是.(填關(guān)于y1,y2,y3的不等式)

2.[教材改編]一輛汽車在某路段的行駛速率v(單位:km·h1)與時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系如圖2121所示,則直線t=t0(0≤t0≤5)左側(cè)陰影部分的面積的實(shí)際意義是.

圖21213.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.把平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和S表示為x的函數(shù)是4.已知某物體的溫度Q(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律為Q=m·2t+21t(t≥0,且m>0).若物體的溫度總不低于2攝氏度,則m的取值范圍是.

題組二常錯(cuò)題◆索引:審題不清致錯(cuò);忽視限制條件致錯(cuò);忽視應(yīng)用題中函數(shù)的定義域的實(shí)際意義致錯(cuò);分段函數(shù)模型的分界把握不到位致錯(cuò).5.某商場(chǎng)在國(guó)慶促銷期間規(guī)定商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售,同時(shí),當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后,按如下方案可以再獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券.消費(fèi)金額(元)的范圍[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…獲得獎(jiǎng)券的金額(元)3060100130…根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠,例如,購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品,則消費(fèi)金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為400×0.2+30=110(元).若顧客購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品,則所能獲得的優(yōu)惠額為.

6.某物體一天中的溫度T是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù):T(t)=t33t+60,時(shí)間單位是小時(shí),溫度單位是℃,當(dāng)t=0時(shí)表示中午12:00,其后t值為正,則上午8時(shí)該物體的溫度是.

7.一枚炮彈被發(fā)射后,其升空高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為h=130t5t2,則該函數(shù)的定義域是.

8.已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地,在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地,則汽車離開A地的距離S(千米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式是.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一一次、二次函數(shù)模型1某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比(如圖①),B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖②).(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬元)圖2122(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)f(x),g(x)表示為關(guān)于投資額x的函數(shù).(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬元資金,并打算全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬元時(shí),生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?

[總結(jié)反思](1)函數(shù)建模的關(guān)鍵是找到一個(gè)影響求解目標(biāo)的變量,以其為自變量表示其他需要的量,綜合各種條件建立函數(shù)模型.(2)在實(shí)際問題的函數(shù)模型中要特別注意函數(shù)的定義域,它是由實(shí)際問題決定的,不是由建立的函數(shù)解析式?jīng)Q定的.式題[2017·連云港模擬]如圖2123,在∠ABC=60°,∠C=90°,BC=40米的直角三角形地塊中劃出一塊矩形CDEF地塊進(jìn)行綠化.(1)若要使矩形地塊的面積不小于3003平方米,求CF長(zhǎng)度的取值范圍;(2)當(dāng)矩形地塊面積最大時(shí),現(xiàn)欲修建一條道路MN,把矩形地塊分成面積為1∶3的兩部分,且點(diǎn)M在邊CF上,點(diǎn)N在邊CD上,求MN的最小值.圖2123

探究點(diǎn)二指數(shù)﹑對(duì)數(shù)函數(shù)模型2牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同.假定保鮮時(shí)間y(單位:h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)y=k·ax(k≠0).若牛奶在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間約是192h,而在22℃的廚房中,保鮮時(shí)間約是42h.(1)寫出保鮮時(shí)間y關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x的函數(shù)解析式.(2)如果把牛奶分別儲(chǔ)藏在10℃和5℃的兩臺(tái)冰箱中,哪一臺(tái)冰箱儲(chǔ)藏牛奶保鮮時(shí)間較長(zhǎng)?為什么?參考數(shù)據(jù):22732≈0.93

[總結(jié)反思]應(yīng)用已知函數(shù)模型解題有兩種題型:(1)直接依據(jù)題中的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題;(2)若函數(shù)解析式中含有參數(shù),將題中相應(yīng)數(shù)據(jù)代入解析式,求得參數(shù),從而確定函數(shù)解析式,并解決問題.式題(1)[2017·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)二模]某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金的投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) ()A.2017年 B.2018年C.2019年 D.2020年(2)地震震級(jí)計(jì)算中,里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為M=lgAlgA0.其中A是測(cè)量?jī)x記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅,則8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的倍.

探究點(diǎn)三分段函數(shù)模型3[2017·南京月考]某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本C(x)(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x,當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x1450.每件商品售價(jià)為0.05萬元,通過市場(chǎng)分析(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?

[總結(jié)反思](1)實(shí)際問題的情況是復(fù)雜的,許多實(shí)際問題要使用分段函數(shù)模型求解.(2)解分段函數(shù)模型要注意定義域區(qū)間的分界點(diǎn).(3)含有參數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題要注意分類討論.式題[2018·湖北孝感八校聯(lián)考]共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式,對(duì)于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價(jià)格低廉,各色共享單車受到人們的熱捧.某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車,已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元.根據(jù)初步測(cè)算,自行車廠的總收益(單位:元)滿足分段函數(shù)h(x)=400x-12x2,0<x≤400,80(1)試將自行車廠的利潤(rùn)y(單位:元)表示為關(guān)于月產(chǎn)量x的函數(shù).(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少輛時(shí)自行車廠的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

第13講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算課前雙擊鞏固1.變化率與導(dǎo)數(shù)(1)平均變化率:概念對(duì)于函數(shù)y=f