數學大單元規(guī)范訓練5三角形的小綜合【限時通關】?答案P521.

（10分）如下圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝

∠COB.

求證：AB＝CD.

第1題圖證明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.

∴△AOB≌△COD（SAS）.∴AB＝CD.

（10分）2345612.

（10分）如下圖，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，

DF⊥AE，垂足為點F.

（1）求證：△ABE∽△DFA；（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠AEB＝∠DAF.

∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∴△ABE∽△DFA.

（4分）第2題圖（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠AEB＝∠DAF.

∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∴△ABE∽△DFA.

（4分）234561第2題圖（2）解：∵E是BC的中點，BC＝4，∴BE＝2.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.

2.

（10分）如下圖，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，

DF⊥AE，垂足為點F.

（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的長.2345613.

（10分）如下圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝

AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE.

（1）求證：△ABD≌△ACE；第3題圖（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

在△ABD與△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.（4分）234561（2）若∠BCE－∠ABC＝15°，求∠ABD的度數.（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠BCE－∠ABC＝15°，∴∠BCE－

∠ACB＝15°，即∠ACE＝15°.∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝15°.（10分）第3題圖（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠BCE－∠ABC＝15°，∴∠BCE－∠ACB＝15°，即∠ACE＝15°.∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝15°.（10分）（10分）如下圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE.

2345614.

（10分）如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點F，E分

別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.

（1）求證：DE＝AF；第4題圖證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC.

∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA）.∴DE＝AF.

（3分）234561（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF·CE.

第4題圖證明：（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA.

∴∠AFB＝∠DEC.

∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE.

∵AF＝DE，∴AF2＝BF·CE.

（10分）（10分）如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.

2345615.

（15分）（2025·蘇州）【綜合與實踐】小明同學用一副三角板進行自主探究.如下圖，△ABC中，

∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝

30°，AB＝CE＝12cm.【觀察感知】（1）如下圖①，將這副三角板的直角頂點和兩條直角邊分別

重合，AB，DE交于點F，求∠AFD的度數和線段AD的長.

（結果保留根號）【探索發(fā)現】第5題圖234561解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.

∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°.∴∠AFD＝∠CDE－∠A＝60°－45°＝15°.

第5題圖234561（2）在下圖①的基礎上，保持△CDE不動，把△ABC繞點C

按逆時針方向旋轉一定的角度，使得點A落在邊DE上（如下

圖②）.①求線段AD的長；（結果保留根號）②判斷AB與DE的位置關系，并說明理由.第5題圖解：（2）①如圖②，過點C作

CG⊥DE，垂足為G.

234561

②AB⊥DE，理由如下：∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°.第5題圖又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.

∴AB⊥DE.

（15分）2345616.

（15分）（2023·常德）如下圖，在△ABC中，AB＝AC，

點D是BC的中點，延長DA至點E，連接EB，EC.

（1）求證：△BAE≌△CAE.

第6題圖證明：（1）∵AB＝AC，點D是BC的中點，

∴AD是BC的垂直平分線.又∵E在AD上，∴EB＝EC.

∴△BAE≌△CAE（SSS）.（5分）234561（2）在下圖①中，若AE＝AD，其他條件不變得到圖②，在

圖②中過點D作DF⊥AB于點F，設點H是EC的中點，過點H

作HG∥AB交FD于點G，交DE于點M.

求證：①AF·MH＝AM·AE；證明：（2）①如圖②，連接AH.

第6題圖證明：（2）①如圖②，連接AH.

∵點A，H分別是ED和EC的中點，∴AH為△EDC的中位線.∴AH∥DC.

∴∠EAH＝∠EDC＝90°.又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°.又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH.

∴AF·MH＝AM·AD.

∵AE＝AD，∴AF·MH＝AM·AE.

（10分）234561②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB