第4章相交線和平行線一、相交線1、鄰補(bǔ)角與對頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線?！?+∠4=180°注意點(diǎn)：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對頂角只有一個(gè)。2、垂線⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。⑵垂線性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。3、垂線的畫法：⑴過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。PABO如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點(diǎn)PPABO現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別⑴垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。⑶線段與距離距離是線段的長度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。二、平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理――平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，∵∥，∥∴∥注意符號(hào)語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角1212345678如圖，直線被直線所截①∠1與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）③∠5與∠4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。如圖，判斷下列各對角的位置關(guān)系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯(cuò)角；∠5與∠8對頂角。ABABC17ABF21ABABCD26ADBF1BBAFE58C7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行ABABCDEF1234幾何符號(hào)語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。三、平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ABCDABCDEF1234幾何符號(hào)語言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、平行線的性質(zhì)與判定①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。易錯(cuò)點(diǎn)1：對頂角與鄰補(bǔ)角識(shí)別混淆典型錯(cuò)誤：在復(fù)雜相交線圖形中，誤將有公共邊但不互補(bǔ)的角當(dāng)作鄰補(bǔ)角；把不滿足兩邊反向延長線關(guān)系的角錯(cuò)認(rèn)成對頂角。例如，在三條直線相交形成多個(gè)角的圖形中，將僅相鄰但角度和不為180°的兩個(gè)角判定為鄰補(bǔ)角。注意事項(xiàng)：對頂角需同時(shí)滿足“有公共頂點(diǎn)”和“兩邊互為反向延長線”，二者缺一不可；鄰補(bǔ)角必須同時(shí)具備“有公共頂點(diǎn)”?“有一條公共邊”?“另一邊互為反向延長線”且兩角之和為180°。識(shí)別時(shí)要仔細(xì)觀察角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)2：垂線性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤典型錯(cuò)誤：誤以為在空間中過一點(diǎn)也只有一條直線與已知直線垂直；在計(jì)算點(diǎn)到直線距離時(shí)，未選取垂線段長度，而是隨意選取斜線段長度。比如在長方體模型中，錯(cuò)誤認(rèn)為過頂點(diǎn)與棱垂直的直線唯一（忽略空間中不同平面的垂線）。注意事項(xiàng)：“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”的性質(zhì)限定在同一平面內(nèi)；點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，找距離時(shí)需先確定垂足位置，不能用斜線段代替。易錯(cuò)點(diǎn)3：三線八角判斷失誤典型錯(cuò)誤：在非“三線八角”標(biāo)準(zhǔn)圖形中，強(qiáng)行套用同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義。例如，當(dāng)兩條直線未被第三條直線所截形成封閉圖形時(shí)，錯(cuò)誤認(rèn)定某些角為同位角；混淆同位角和同旁內(nèi)角的位置特征，將形如“U”的同旁內(nèi)角錯(cuò)看成同位角。注意事項(xiàng)：識(shí)別三類角的前提是兩條直線被第三條直線所截；同位角在截線同側(cè)且在被截直線同一方（“F”型），內(nèi)錯(cuò)角在截線兩側(cè)且在被截直線之間（“Z”型），同旁內(nèi)角在截線同側(cè)且在被截直線之間（“U”型），要結(jié)合圖形形狀輔助判斷。易錯(cuò)點(diǎn)4：平行線定義理解偏差典型錯(cuò)誤：忽略“在同一平面內(nèi)”的前提條件，認(rèn)為空間中不相交的直線就是平行線；將重合的兩條直線錯(cuò)誤判斷為平行線。比如在正方體中，認(rèn)為不在同一平面的兩條不相交棱是平行關(guān)系。注意事項(xiàng)：平行線定義明確限定于同一平面，在立體空間中不相交的直線可能既不平行也不相交（異面直線）；重合的直線是同一條直線，不屬于平行關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)5：平行線判定與性質(zhì)混淆典型錯(cuò)誤：已知兩直線平行，用判定定理推導(dǎo)角的關(guān)系（如由AB∥CD，錯(cuò)誤通過“同位角相等”證明∠1=∠5，實(shí)際應(yīng)使用性質(zhì)定理）；或已知角的關(guān)系，錯(cuò)誤使用性質(zhì)定理證明直線平行（如由∠1=∠5，用“兩直線平行，同位角相等”得出AB∥CD）。注意事項(xiàng)：判定定理是通過角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）推出直線的位置關(guān)系（平行）；性質(zhì)定理是在已知直線平行的前提下，推導(dǎo)角的數(shù)量關(guān)系。使用時(shí)需先明確已知條件是線的關(guān)系還是角的關(guān)系，再選擇對應(yīng)定理。易錯(cuò)點(diǎn)6：平行公理推論使用不當(dāng)?shù)湫湾e(cuò)誤：在未明確直線是否在同一平面的情況下，直接運(yùn)用“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”。例如在三棱柱中，三條棱分別平行于不同方向，錯(cuò)誤應(yīng)用該推論得出棱與棱平行的結(jié)論。注意事項(xiàng)：平行公理推論成立的條件是所有直線在同一平面內(nèi)，在立體圖形或未明確平面條件時(shí)，不能隨意使用該推論判斷直線平行關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)7：復(fù)雜圖形中的線角關(guān)系混亂典型錯(cuò)誤：在多個(gè)相交線和平行線組合的復(fù)雜圖形中，無法準(zhǔn)確分離出基本模型（如“三線八角”）；在計(jì)算角度時(shí)，混淆不同直線形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角，導(dǎo)致角度推導(dǎo)錯(cuò)誤。注意事項(xiàng)：面對復(fù)雜圖形，可通過標(biāo)記關(guān)鍵角和線、分離基本圖形的方法簡化問題；計(jì)算角度時(shí)要明確角是由哪兩條直線被哪條直線所截形成，避免跨模型錯(cuò)誤推導(dǎo)。易錯(cuò)點(diǎn)8：實(shí)際問題建模錯(cuò)誤典型錯(cuò)誤：在應(yīng)用平行線知識(shí)解決實(shí)際問題（如測量、建筑設(shè)計(jì)）時(shí)，忽略實(shí)際場景限制，直接套用定理。例如在不規(guī)則地形測量中，未考慮地面不平對平行線判定的影響，錯(cuò)誤使用平行線性質(zhì)計(jì)算距離。注意事項(xiàng)：將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題時(shí)，需結(jié)合具體情境分析，驗(yàn)證定理使用的前提條件是否滿足，必要時(shí)對實(shí)際情況進(jìn)行合理抽象和簡化。題型01對頂角與鄰補(bǔ)角識(shí)別混淆1．（21-22七年級下·河北秦皇島·期中）下列各圖中，與是對頂角的是（

）A． B．C． D．2．（24-25七年級下·廣西南寧·期中）如圖，直線、相交形成四個(gè)角，已知，則的度數(shù)是．3．（24-25七年級下·陜西安康·期中）如圖，已知直線，，相交于點(diǎn)O，，，則．4．（2025·河南·中考真題）如圖所示，有一個(gè)六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內(nèi)角的度數(shù)，則所量內(nèi)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級下·甘肅定西·期中）如圖，直線、相交于點(diǎn)，把分成兩部分．(1)圖中的對頂角為______，的鄰補(bǔ)角為______；(2)若平分，，求和的度數(shù)．6．（24-25七年級下·陜西漢中·期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．題型02垂線性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤7．（天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，直線和相交于點(diǎn)，，若，則的大小為（

）A．42° B．32° C．22° D．18°8．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，，，，…，其中，這些線段，，，，…中，最短的線段是（

）A． B． C． D．9．（云南省臨滄地區(qū)中學(xué)等學(xué)校2024—2025學(xué)年下學(xué)期5月大聯(lián)考七年級數(shù)學(xué)試題）如圖，直線，相交于點(diǎn)，，垂足為，平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（24-25七年級下·浙江溫州·期中）如圖，是斜拉橋結(jié)構(gòu)示意圖，其中索塔頂端距橋梁的高度為米，拉索長度都為480米．為提升橋梁的穩(wěn)定性，需在橋梁上A，B兩點(diǎn)間（不含點(diǎn)A，B，C）的位置與索塔頂端間添加拉索，增加的拉索長度可以是（

）米A．280 B．288 C．420 D．50011．（陜西省陜西多校期末檢測2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，且平分，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．12．（24-25七年級下·陜西渭南·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，求的度數(shù)．題型03根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系13．（24-25七年級下·浙江寧波·期中）如圖，已知，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）①若，則；②若，則；③；④．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④14．（24-25八年級下·河南許昌·期中）某同學(xué)結(jié)合角平分線的知識(shí)將問題進(jìn)行深入探究，如圖所示，已知，點(diǎn)E的位置移到上方，點(diǎn)F在延長線上，與的平分線相交于點(diǎn)G，則與之間的數(shù)量關(guān)系是．15．（24-25七年級下·廣西南寧·期中）如圖，若則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．16．（24-25七年級下·江蘇南京·期末）如圖，若，，則與的關(guān)系為（）A． B．C． D．題型04根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)17．（24-25七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，若，則，，之間的關(guān)系式為．18．（24-25六年級下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，，思考解決下列問題：試探究．19．（24-25七年級下·全國·期中）如圖所示，平分，且，若，則等于（）A． B． C． D．20．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，直線，一副三角板按如圖1擺放，其中，，．保持三角板不動(dòng)，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且，則經(jīng)過秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．21．（24-25七年級下·浙江紹興·期末）如圖，已知，，，則．22．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，一塊三角板的頂點(diǎn)在直線上，邊、分別交直線于、兩點(diǎn)．，，．點(diǎn)在的平分線上，連接，且，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．23．（24-25七年級下·重慶云陽·期末）如圖，，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，若，，則．24．（22-23七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，，連接，若平分，，，則的度數(shù)是．題型05平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用25．（2025·河北·中考真題）榫卯結(jié)構(gòu)是兩個(gè)構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個(gè)構(gòu)件的截面圖，其中，，則（

）A． B． C． D．26．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐27．（2025·浙江·二模）如圖，水平放置的長方體容器，容器里裝有某溶液，光線射向容器液面，折射后光線由方向變成方向．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．28．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）如圖①，“二八大杠”傳統(tǒng)老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖．已知，，當(dāng)，時(shí)，的度數(shù)為．29．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點(diǎn)照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定30．（21-22七年級下·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)，再左轉(zhuǎn) B．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)C．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn) D．先右轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)題型06根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度31．（24-25七年級下·浙江紹興·期末）如圖，已知．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．32．（24-25七年級下·陜西渭南·期末）如圖，已知分別交、于點(diǎn)、，，，過點(diǎn)作，，求的度數(shù)．33．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在中，，垂足為D，點(diǎn)E在上，，垂足為F．(1)求證：．(2)如果，且，求的度數(shù)．34．（24-25七年級下·上海嘉定·期中）如圖，已知，與交于點(diǎn)，，，則的度數(shù)為多少？35．（24-25七年級下·浙江寧波·期中）如圖，已知，為直線上的一點(diǎn)，為直線上的一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作的垂線分別交、的平分線于點(diǎn)、，在點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，則．36．（24-25七年級下·甘肅張掖·期中）如圖，已知，，則=．題型07根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明37．（24-25七年級下·江蘇南通·期末）如圖，已知，．(1)求證：；(2)利用此圖形，試證明“三角形內(nèi)角和為°”，即求證：．38．（24-25七年級下·安徽亳州·期末）如圖，，點(diǎn)E在上，若是的角平分線，且，試說明，請補(bǔ)全證明過程，即在橫線處填上結(jié)論或理由．證明：（已知），________（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．是的角平分線（已知），________（角平分線定義），________（等式的基本事實(shí)）．（已知），（________）________（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．．39．（24-25七年級下·浙江溫州·期中）如圖，．(1)請說明的理由，完成下面的填空．解：因?yàn)?，根?jù)“”，得．所以．又因?yàn)椋?，即．根?jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，得．再根據(jù)“”，得．(2)設(shè)，若，求的值．40．（24-25七年級下·天津和平·期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)F在線段上，，．(1)求證：；(2)已知于點(diǎn)A．①若，求的度數(shù)；②若，則______（用表示）．41．（24-25七年級下·江西贛州·期末）課本再現(xiàn)如圖1，點(diǎn)，，分別是三角形的邊，，上的點(diǎn)，，，求證：．（1）請完成下列證明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上推理的根據(jù)．證明：，（

）．，（

）．．類比探究（2）如圖2，若，，平分，，求．42．（24-25七年級下·甘肅張掖·期中）已知，，求證：．題型08平行線四大模型綜合43．（24-25六年級下·山東淄博·期末）如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，是直線、之間的一點(diǎn)，連結(jié)，，且滿足．(1)求證：；(2)如圖，作，直線與的角平分線交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)；(3)如圖，平分，平分，，已知，求的度數(shù)．44．（24-25七年級下·河南省直轄縣級單位·期中）【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個(gè)重要的“基本圖形”，與平行線有關(guān)的角都存在著這個(gè)“基本圖形”，當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時(shí)要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其補(bǔ)充完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．(1)【建立模型】如圖①②已知，點(diǎn)E在直線、之間，請分別寫出與、之間的關(guān)系，并對圖②中的結(jié)論進(jìn)行證明．(2)【解決問題】如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，如圖③為示意圖．固定支撐桿底座于點(diǎn)與是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺(tái)燈燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線、組成的始終保持不變．現(xiàn)調(diào)節(jié)臺(tái)燈，使外側(cè)光線，求的度數(shù)．(3)【拓展應(yīng)用】如圖④，已知和分別平分和，若，請直接寫出的度數(shù)．45．（24-25七年級下·河南商丘·期末）綜合與探究：【知識(shí)儲(chǔ)備】構(gòu)造平行線是初中數(shù)學(xué)常見