第二十二章一元二次方程重難點(diǎn)檢測(cè)卷（滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，共23題）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效；3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效；4.測(cè)試范圍：九年級(jí)上冊(cè)第二十二章；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·階段練習(xí)）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義；形如，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A.，是分式方程，不符合題意；B.，若，則該方程不是一元二次方程，故不符合題意；C.，為一元二次方程，故符合題意；D.，含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意．故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·四川簡(jiǎn)陽(yáng)·期末）把一元二次方程化成一般式，則的值分別是（

）A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本題的關(guān)鍵．將方程整理成一元二次方程的一般形式，確定各項(xiàng)系數(shù)、、的值．【詳解】解：原方程為，展開(kāi)左邊得，移項(xiàng)，得，方程化簡(jiǎn)為，可得，，，故選：B．3．（24-25九年級(jí)上·四川巴中·期末）如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，則輸入的的值為（

）A．2或?2 B．3或?3 C．3或?1 D．?3或1【答案】C【分析】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于列出一元二次方程．根據(jù)運(yùn)算程序可知，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意可知∴解得，．故選C．4．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為，設(shè)，則M與方程根的判別式△之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根據(jù)題意可以先對(duì)M化簡(jiǎn)，從而可以得到M和的關(guān)系，本題得以解決．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，∴，，∴，∴，故選：A．5．（24-25九年級(jí)上·四川簡(jiǎn)陽(yáng)·階段練習(xí)）小虎同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題：①若，則；②方程的解為；③若，令，則或-1；④經(jīng)計(jì)算整式與的積為，則一元二次方程的所有根是，．則其中答案完全正確的是（

）A．①③④ B．②③④ C．③④ D．④【答案】D【分析】對(duì)各個(gè)方程一一計(jì)算看是否是所給答案，由此判斷即可．【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②，即，或，故②錯(cuò)誤；③若，令或，故③錯(cuò)誤；④=（）（）=0或，故④正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．6．（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）如圖，背面圖案，形狀大小都相同的四張卡片的正面分別寫(xiě)有關(guān)于的方程的四個(gè)說(shuō)法．現(xiàn)將卡片背面朝上，隨機(jī)抽取一張，則抽到卡片上的說(shuō)法正確的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查根的判別式，根與系數(shù)之間的關(guān)系，求概率，先根據(jù)判別式判斷根的個(gè)數(shù)，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系判斷說(shuō)法正確的卡片的數(shù)量，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若是原方程的兩個(gè)根，則：，∴說(shuō)法正確的卡片有2張，∴隨機(jī)抽取一張，則抽到卡片上的說(shuō)法正確的概率是；故選B．7．（24-25九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）在橋梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析中，工程師們用到一元二次方程來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)的受力情況．對(duì)于這個(gè)方程，有下列說(shuō)法：①若，則方程必有一個(gè)根為；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若r是方程的一個(gè)根，則一定有成立．這些說(shuō)法對(duì)于準(zhǔn)確評(píng)估橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性至關(guān)重要，其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．按照方程的解的含義、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)等知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)分別討論，可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，所以方程必有一個(gè)根為，故①正確．②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，那么，故方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故②正確．③由是方程的一個(gè)根，得．當(dāng)，則；當(dāng)，則不一定等于，故③不一定正確．綜上所述：正確的有2個(gè)；故選：C．8．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）關(guān)于的方程，下列解法完全正確的是（

）甲乙丙丁兩邊同時(shí)除以（x-1）得到3．移項(xiàng)得1）=0，，或，．整理得，，，，，．整理得，配方得，，，．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解題關(guān)鍵是熟練掌握各方法的規(guī)則：因式分解法需保證因式分解的準(zhǔn)確性，避免除以含未知數(shù)的式子；公式法需準(zhǔn)確識(shí)別a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”的規(guī)則．本題需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的解法，判斷其是否符合一元二次方程的解題規(guī)則（如因式分解時(shí)不能隨意除以含未知數(shù)的式子、公式法中系數(shù)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)確、配方法步驟正確等），從而確定完全正確的解法．【詳解】解：甲的解法是“兩邊同時(shí)除以得到”，由于當(dāng)時(shí)，，而0不能作為除數(shù)，這種操作會(huì)丟失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法錯(cuò)誤；原方程移項(xiàng)應(yīng)為，而非，因此乙的解法錯(cuò)誤；原方程整理為，，，而非28；且代入求根公式后結(jié)果也不匹配，因此丙的解法錯(cuò)誤；原方程整理得，配方得，，，，丁的解法正確。綜上，只有丁的解法完全正確，故選：D．9．（24-25九年級(jí)上·福建漳州·期中）某商品的進(jìn)價(jià)為每件元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件元，每星期可賣出件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)元，每星期要少賣出件．若某星期該商城銷售該商品獲利元，則該星期每件商品的定價(jià)為多少元？小明根據(jù)題意，設(shè)某個(gè)量為未知數(shù)，列出方程，則下列對(duì)該方程理解錯(cuò)誤的是（

）A．代數(shù)式的意義是每件商品的利潤(rùn)B．代數(shù)式的意義是銷售的數(shù)量C．代數(shù)式的意義是銷售的所有商品的總進(jìn)價(jià)D．未知數(shù)的意義是每件商品漲了元【答案】A【分析】根據(jù)題意，每漲價(jià)元，每星期要少賣出件，設(shè)某個(gè)量為未知數(shù)，根據(jù)得出的方程，結(jié)合代數(shù)式的意義，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴未知數(shù)的意義是每件商品漲了元，A、代數(shù)式的意義是每件商品的售價(jià)，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；B、代數(shù)式的意義是銷售的數(shù)量，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、代數(shù)式的意義是銷售的所有商品的總進(jìn)價(jià)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、未知數(shù)的意義是每件商品漲了元，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．10．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出個(gè)位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)圖表可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)最小數(shù)為，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）11．（24-25九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）把方程配方后，可變形為．【答案】【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．（24-25九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）若是一元二次方程的一個(gè)根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．把代入已知方程，通過(guò)解關(guān)于a的新方程來(lái)求a的值．【詳解】解：把代入方程得，解得．故答案為：．13．（2025九年級(jí)上·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）用公式法解一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】【詳解】本題考查了公式法解一元二次方程，根據(jù)求根公式確定出方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，則該一元二次方程是，故答案為：．14．（24-25九年級(jí)上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為．（1）用含的式子表示，則．（2）若是一元二次方程的另一個(gè)根，則．【答案】/【分析】本題考查一元二次方程根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，（1）根據(jù)一元二次方程根的定義將代入方程即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，再結(jié)合（1）結(jié)論即可得解；解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．【詳解】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，故答案為：；（2）由題意知：關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)根為和，∴，即，由（1）知：，∴，∴，∴，故答案為：．15．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·隨堂練習(xí)）某皮衣專賣店銷售某款皮衣，其進(jìn)價(jià)為每件750元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降價(jià)50元，平均每天的銷售量可增加10件，皮衣專賣店想要平均每天獲利12000元，則每件皮衣定價(jià)為多少元？(1)以下是小明和小紅的兩種不同設(shè)法，請(qǐng)幫忙填完整；小明：設(shè)每件皮衣降價(jià)x元，由題意，可列方程為_(kāi)_______________．小紅：設(shè)每件皮衣定價(jià)為y元，由題意，可列方程為_(kāi)_______________．(2)每件皮衣定價(jià)為_(kāi)_______元時(shí)，皮衣專賣店平均每天獲得12000元．【答案】(1)；(2)1050或950【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利潤(rùn)單件利潤(rùn)件數(shù)列出一元二次方程即可；（2）根據(jù)（1）中列出的一元二次方程計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：小明：設(shè)每件皮衣降價(jià)x元，則平均每天的銷售量為件，依題意，得；小紅：設(shè)每件皮衣定價(jià)為y元，則平均每天的銷售量為件，依題意，得．（2）解：選擇小明的設(shè)法，則，整理，得，解得，，則定價(jià)為元或元，答：每件皮衣定價(jià)為1050元或950元；選擇小紅的設(shè)法，則，整理，得，解得，．答：每件皮衣定價(jià)為1050元或950元．三、解答題（8小題，共75分）16．（24-25九年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）解方程．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握各自解法是解本題的關(guān)鍵．（1）利用直接開(kāi)平方法即可解答；（2）方程左邊利用十字相乘法分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解；（3）方程整理后，利用提公因式分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．【詳解】（1）解：，，解得，；（2）解：，因式分解得，可得或，解得：，；（3）解：，整理得，因式分解得，可得或，解得：，．17．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·隨堂練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義可得，則，再根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．18．（24-25九年級(jí)上·四川內(nèi)江·隨堂練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)若此方程是一元二次方程，將方程化為一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)及二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．【答案】(1)，方程的二次項(xiàng)為，一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為3，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為(2)2【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定義．（1）首先將該方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的定義即可解答本題；（2）根據(jù)一元一次方程的定義求解即可．【詳解】（1）解：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，∴方程的二次項(xiàng)為，一次項(xiàng)為，常數(shù)項(xiàng)為3，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為；（2）解：若方程是一元一次方程，則，，解得．19．（24-25九年級(jí)上·陜西漢中·期中）小韋在解方程時(shí)突發(fā)奇想，按照如下步驟進(jìn)行：①將原方程中一次項(xiàng)系數(shù)除以10，常數(shù)項(xiàng)除以100，得到新方程；②解得新方程的兩個(gè)根分別是m和n；③將m和n分別乘以10，得到原方程的兩個(gè)根，．(1)直接寫(xiě)出m和n的值；(2)請(qǐng)你說(shuō)明其中的道理．【答案】(1)，；(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：解方程，因式分解得，解得，，∴，；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，設(shè)，，∴，，解得，，∴m和n是方程的兩個(gè)根．20．（24-25九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下列例題的解答過(guò)程：解方程：3（x－2）2＋7（x－2）＋4＝0解：設(shè)x－2＝y(tǒng)，則原方程化為：3y2＋7y＋4＝0∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1∴y＝．∴y1＝－1，y2＝－．當(dāng)y＝－1時(shí)，x－2＝－1，∴x＝1；②當(dāng)y＝－時(shí)，x－2＝－，∴x＝．∴原方程的解為：x1＝1，x2＝．(1)請(qǐng)仿照上面的例題解一元二次方程：（x－3）2－5（x－3）－6＝0；(2)若，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則原方程為，然后根據(jù)因式分解法進(jìn)行求解方程即可；（2）令，則原方程可化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)因式分解法進(jìn)行求解方程即可．【詳解】（1）解：令，則原方程為，∴或，∴，當(dāng)時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，則，解得：；∴原方程的解為；（2）解：令，則原方程可化簡(jiǎn)為，∴或，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)不符合題意，∴，即；∴原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用換元法求解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2025九年級(jí)上·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】（1）數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】（2）已知，則；（3）已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說(shuō)明理由；【拓展結(jié)論】（4）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值．【答案】（1）是；（2）1；（3），理由見(jiàn)解析；（4）2【分析】（1）把53分為兩個(gè)整數(shù)的平方和，即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可；拓展結(jié)論：（4）由已知等式表示出y，代入中，配方后再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：．故答案為：是．（2）已知等式變形得：，即，∵，∴，解得：，則：．故答案為：1．（3）當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：，∵S是完美數(shù)，∴是完全平方式，∴．（4）∵，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．22．（2025·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）某小區(qū)有一個(gè)長(zhǎng)為米，寬為米的矩形停車場(chǎng)，布局如圖所示．陰影部分為停車位，其余部分是等寬的通道通道與停車場(chǎng)的邊平行或垂直，小區(qū)打算對(duì)所有停車位的地面進(jìn)行重新噴漆，已知噴漆面積為平方米．(1)求通道的寬是多少米？(2)據(jù)調(diào)查分析，小區(qū)停車場(chǎng)多余個(gè)車位可以對(duì)外出租，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每個(gè)車位的月租金每上漲元，就會(huì)