字節(jié)精準(zhǔn)教育聯(lián)盟·CDS2023級(jí)高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.考試結(jié)束后，只交回答題卡.一、選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分.1.已知，則可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集、元素與集合的關(guān)系進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意，，所以，則可能為，不可能為.故選：B2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解，判斷選項(xiàng)【詳解】由，則.故選：B3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合函數(shù)值以及特殊值即可判斷出答案.【詳解】由題意知的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知C錯(cuò)誤，只有B中圖象符合題意，故選：B4.已知函數(shù)，則“為冪函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及充分必要條件的定義求解判斷即可.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，解得或，所以“為冪函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，分，討論即可．【詳解】由，得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，當(dāng)時(shí)，，如圖，當(dāng)時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，如圖，當(dāng)時(shí)，要與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，而，解得，綜上，正實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決的關(guān)鍵是作出二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解.6.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知三邊求角，利用余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理，又，所以.故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出和，建立方程后得到點(diǎn)的軌跡方程，由兩個(gè)圓存在公共點(diǎn)，得到圓與圓的位置關(guān)系，從而得到圓心距和半徑的關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，.因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.故選：B.8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且它的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由的圖象關(guān)于對(duì)稱，求得，，結(jié)合，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得，，則有，即.故選：D.二、多選題：共3小題，每小題6分，全選得滿分，漏選得部分分，錯(cuò)選得0分，滿分18分.9.在男子跳水10米臺(tái)比賽中，某運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮出色.在他的第一跳中，10位裁判給出的分?jǐn)?shù)為：9.0，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，10，10，10，對(duì)該組數(shù)據(jù)下列說法正確的有（）A.眾數(shù)為10 B.平均數(shù)為9.5 C.極差為9 D.中位數(shù)為9.6【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，極差和中位數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，10出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為10，A正確；B選項(xiàng)，平均數(shù)為，故平均數(shù)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，極差為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，從小到大排列，第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，D正確.故選：AD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則下列說正確的是（）A. B.為圖象的一條對(duì)稱軸C.可以等于8 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定的值，得，排除A項(xiàng)，代入檢驗(yàn)可判斷B項(xiàng)；根據(jù)題意求得，利用其單調(diào)性確定，結(jié)合，取值計(jì)算可判斷C，D兩項(xiàng).【詳解】由圖可知，函數(shù)的周期滿足，解得，則，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，又，方程無解，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，又，則，即，因時(shí)，，故A錯(cuò)誤，B正確；依題意，，當(dāng)時(shí)，，因在上單調(diào)遞減，可得，解得，因，當(dāng)時(shí)，，則取得最小值2；當(dāng)時(shí)，，則，故C，D均正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下面判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)后，分別在、、和的情況下，討論單調(diào)性，從而得到極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定；利用韋達(dá)定理可判斷A正確；根據(jù)單調(diào)性可知，得到B正確；利用可化簡(jiǎn)，結(jié)合可知C錯(cuò)誤；將化簡(jiǎn)成關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最值，知D正確.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則；①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)，即且時(shí)，令，解得：，；（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，滿足題意；對(duì)于A，是方程的兩根，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，B正確；對(duì)于C，，，，；，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，是方程的兩根，，，，令，，在上單調(diào)遞增，，，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，并判斷相關(guān)結(jié)論；解題關(guān)鍵是能夠采用討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的方法，討論得到函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定滿足題意的參數(shù)的取值范圍.三、填空題：共3小題，每小題5分，滿分15分.12.在等比數(shù)列中，已知，則______．【答案】6【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，分類討論求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由于，則，若，則矛盾，則，此時(shí)，符合．所以.故答案為：.13.某學(xué)校舉辦作文比賽，共設(shè)6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文．則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到的主題不相同的概率為____________．【答案】【解析】【分析】利用古典概型計(jì)算即可.【詳解】由題意可知甲乙兩人抽取主題的情況有種，不相同的情況有種，所以其概率為.故答案為：14.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由不等式變形為，通過換元根據(jù)不等式恒成立得出和之間的關(guān)系，從而把表示為關(guān)于的函數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】,即，令則有，設(shè)，則，令得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以又所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以可得，設(shè)則令得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以故的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題：共5小題，15題13分，16-17題每小題15分，18-19題每小題17分，共77分.15.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知___________（只需填序號(hào)）.（1）求角；（2）設(shè)是BC上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換結(jié)合正弦定理即可逐一化簡(jiǎn)求解；（2）分解向量得到，平方得條件等式，結(jié)合基本不等式以及三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】若選①，則，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，所以，即；若選②，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，而，所以，即；若選③，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；綜上所述，無論選擇①，②還③，都有；【小問2詳解】由題意，所以，即，所以，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，從而面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為.16.如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）取線段中點(diǎn)M，連接，證明：平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)E，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證出四邊形為平行四邊形，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由向量夾角公式即可求解；（3）求得平面的法向量以及，利用向量夾角公式即可求解．【小問1詳解】在四棱錐中，取中點(diǎn)N，連接，由為的中點(diǎn)，且，，得，，則四邊形為平行四邊形，所以，而平面，不在平面內(nèi)，所以平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)O，連接，由為等邊三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面.由，，得四邊形是平行四邊形，于是，而，則，直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】令，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，于是，化簡(jiǎn)得，又，解得，即，所以線段上存在點(diǎn)E，使得平面與平面夾角的余弦值為，.17.已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列的首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可進(jìn)行基本量的計(jì)算求解；（2）對(duì)數(shù)列進(jìn)行迭代相減，再累加計(jì)算，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以可解得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；【小問2詳解】①，當(dāng)時(shí)，，可得，可得②，由②式減①式，得，所以，且符合上式，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，為上兩點(diǎn)，為橢圓上三個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求橢圓內(nèi)接菱形的面積的最小值；（3）是否存點(diǎn)使為的重心？若存在，請(qǐng)?zhí)骄康拿娣e是否為定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）8（3）是定值，【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，代入可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立，可得，同理可得，從而，再由，結(jié)合均值不等式求解最值；（3）分直線的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，斜率不存在時(shí)取特殊點(diǎn)易得的面積為，斜率存在時(shí)聯(lián)立直線和橢圓方程，得到韋達(dá)定理，結(jié)合重心的性質(zhì)可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，由三角形面積公式表示出的面積并化簡(jiǎn)，可得的面積為定值，所以.【小問1詳解】設(shè)橢圓為，由題意得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由橢圓的對(duì)稱性，菱形中心為原點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立，所以，同理，所以（“”在時(shí)取得）.【小問3詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，取符合題意，故存在點(diǎn)，使為的重心，且此時(shí)的面積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立的方程消去得.設(shè)，則.由條件得，得，則，，綜上，的面積為定值，其值為，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍：（3）若，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）根據(jù)單調(diào)性可知在上恒成立，利用分離變量法可得，由可得結(jié)果；（3）設(shè)，則，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可