永春一中2025年11月高二年期中考數(shù)學(xué)科試卷（2025.11）考試時(shí)間長(zhǎng)度：120分鐘，總分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．已知，則（

）A．11 B． C．45 D．32．若直線的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．若直線與直線平行，則（

）A．0 B．或0 C． D．或14．若平面的法向量為，平面的法向量為，直線的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5.已知直線：，“或”是“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件6．若兩定點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓，直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并交橢圓于兩點(diǎn)（P在第一象限），點(diǎn)A是x軸正半軸上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是點(diǎn)P橫坐標(biāo)的2倍，直線交橢圓于點(diǎn)B，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若線段上存在點(diǎn)（不含端點(diǎn)），使得異面直線與成的角，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）

A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．“直線與直線互相垂直”是“”的充分不必要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是D．過(guò)點(diǎn)且在軸，軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，是橢圓上與、不重合的點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（

）A．若（其中），則橢圓的離心率B．若，則的最大值為C．若，，則D．若，直線、的斜率之積為，則11．在正方體中，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、P、C的截面面積的取值范圍為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是．13．2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓，其中是橢圓的左頂點(diǎn)，則；過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，交橢圓于兩點(diǎn)，則的面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．(13分)已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.16．(15分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線距離的比是常數(shù).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；(2)過(guò)且斜率為1的直線交動(dòng)點(diǎn)的軌跡于，兩點(diǎn)，求.17．(15分)如圖，三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，底面于點(diǎn)，，且.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．(17分)已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，橢圓上有兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線分別交橢圓于點(diǎn)，滿(mǎn)足，.(1)求橢圓的方程；(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線（與坐標(biāo)軸不垂直），試探究?jī)汕芯€斜率乘積是否為定值？19．(17分)空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成（其中均為常數(shù)，），為該平面的一個(gè)法向量.已知球的半徑為4，點(diǎn)均在球的球面上，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.平面內(nèi)的點(diǎn)在球面上，點(diǎn)在軸上的投影在軸的正半軸上，，過(guò)直線作球的截面，使得平面平面，設(shè)截面與球球面的交線為圓（為線段的中點(diǎn)）.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若平面，證明