第二章

幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)

冀教版2025·七年級(jí)上冊

2.7角的和與差（第二課時(shí)）掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。復(fù)習(xí)舊知1.計(jì)算：(1)

27°26′＋53°48′；(2)

90°－79°18′6″；(3)

18°13′×5；(4)

49°28′52″÷4.解：27°26′+53°48′=80°74′=81°14′.90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.18°13′×5=90°65′=91°5′.49°28′52″÷4=48°88′52″÷4=12°22′13″.情景導(dǎo)入1.若∠1+∠2=90°，∠1=58°25′，則∠2的度數(shù)是(

)A.31°75′B.31°35′C.41°75′D.41°25′B

兩角之和為90°，兩角之和為180°，那這兩個(gè)角的關(guān)系我們有專門的稱呼掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。劣弧與優(yōu)弧余角和補(bǔ)角1.余角?如果∠α+∠β=90°，那么我們就稱∠α

與∠β互為余角，簡稱互余.其中，∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的余角.數(shù)學(xué)語言：如圖，如果∠1+∠2=90°，就說∠1是∠2的余角，或∠1與∠2互為余角.劣弧與優(yōu)弧2.補(bǔ)角?如果∠α+∠β=180°，那么我們就稱∠α

與∠β互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ).其中，∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的補(bǔ)角.數(shù)學(xué)語言：如圖，如果∠3+∠4=180°，就說∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠3與∠4互為補(bǔ)角.余角和補(bǔ)角掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。劣弧與優(yōu)弧3.鄰補(bǔ)角?兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角.如圖，∠AOB與∠BOC

互為鄰補(bǔ)角.余角和補(bǔ)角知識(shí)建構(gòu)特別解讀1.互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對(duì)出現(xiàn)的.2.若兩個(gè)角互余，則兩個(gè)角都是銳角；若兩個(gè)角互補(bǔ)，則兩個(gè)角可能都是直角，也可能一個(gè)角是銳角，另一個(gè)角是鈍角.3.互余、互補(bǔ)只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān)，若將直角分成兩個(gè)角，則這兩個(gè)角互余，若將平角分成兩個(gè)角，則這兩個(gè)角互補(bǔ).掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。例題講解

例1圖中給出的各角，哪些互為余角？15o24o66o75o46.2o43.8o做一做1.如果∠α=46°,那么它的余角是多少度,它的補(bǔ)角是多少度?2.(1)在圖(1)中,∠AOB=90°.請(qǐng)寫出圖中互為余角的角.(2)在圖(2)中,∠DSE=180°.請(qǐng)寫出圖中互為補(bǔ)角的角.∠α的補(bǔ)角=90°－∠α=44°圖（1）中互余的角是∠AOC

和∠BOC，圖（2）中互補(bǔ)的角是∠DSF和∠ESF掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。例題講解

例2如圖，點(diǎn)O

為直線AB

上一點(diǎn)，∠AOC=∠DOE=90°.(1)圖中互余的角有幾對(duì)？各是哪些？(2)圖中互補(bǔ)的角有幾對(duì)？各是哪些？解：圖中互余的角有4對(duì)，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.圖中互補(bǔ)的角有7對(duì)，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.情境導(dǎo)入（2）量一量:用量角器量一下這兩角的度數(shù)；根據(jù)圖形:（1）猜一猜:∠1與∠2相等嗎？

∠1與∠COB互余，∠2與∠COB互余COBAD（3）議一議：把結(jié)論歸納一下：（4）試一試：你還能用什么方法來說明這個(gè)結(jié)論？相等同角的余角相等。12掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。情景導(dǎo)入解：∠1與∠2相等，理由如下：∵∠1+∠BOC=90°∠2+∠BOC=90°∴∠1=90°－∠BOC

∠2

=90°－∠BOC∴∠1=∠2如圖，∠1與∠COB互余，

∠2與∠COB互余則∠1與∠2相等嗎？AOBDC12

同角的余角相等情景導(dǎo)入如圖，∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎？為什么？1234解：∠2與∠4相等，理由如下：∵∠1﹢∠2=90°，∠3﹢∠4=90°∴∠2=90°─∠1，∠4=90°─∠3∵∠1=∠3

∴∠2=∠4等角的余角相等掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。劣弧與優(yōu)弧余角、補(bǔ)角的性質(zhì)1.余角的性質(zhì)?(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.情景導(dǎo)入如果把上面問題中的余角換成補(bǔ)角，相同的結(jié)論還成立嗎？如圖，∠1與∠BOC的補(bǔ)角，∠2是∠BOC的補(bǔ)角。那么∠1與∠2相等嗎?解：∠1與∠2相等，理由如下：∵∠1+∠BOC=180°∠2+∠BOC=180°∴∠1=180°－∠BOC∠2=180°－∠BOC∴∠1=∠2AOBDC12同角的補(bǔ)角相等掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。情景導(dǎo)入如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，如果∠1=∠3，那么∠2與∠4相等嗎？為什么？解：∠2與∠4相等，理由如下：∵∠1﹢∠2=180°，∠3﹢∠4=180°

∴∠2=180°─∠1，∠4=180°─∠3

∵∠1=∠3∴∠2=∠4等角的補(bǔ)角相等1243劣弧與優(yōu)弧2.補(bǔ)角的性質(zhì)(1)

同角的補(bǔ)角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)

等角的補(bǔ)角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.余角、補(bǔ)角的性質(zhì)特別提醒◆如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是直角.掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b/a，x?x?=c/a。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，坐標(biāo)系變換是一個(gè)核心概念，學(xué)生需要學(xué)會(huì)超越。數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，如對(duì)稱圖形的和諧美，黃金分割的比例美等。學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)不僅需要記憶公式，更需要掌握數(shù)字化的技巧。例題講解

例3如圖，直線AB

與∠COD

的兩邊OC，OD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1+∠2=180°.找出圖中與∠2相等的角，并說明理由.解：因?yàn)椤?+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因?yàn)椤?+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因?yàn)椤?+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.本課小結(jié)掌握對(duì)頂角性質(zhì)的關(guān)鍵在于理解如何探索，這是解決相關(guān)問題的基本功。在統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)身高時(shí)，可以計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來描述集中趨勢。教師講解圓內(nèi)接四邊形時(shí)，通常會(huì)強(qiáng)調(diào)模型化的重要性。韋達(dá)定理揭示了二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系：x?+x?=-b