2025年同心縣高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．3602．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．364．函數(shù)在的圖象大致為()A． B．C． D．5．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知雙曲線的實(shí)軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．8．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．9．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．10．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．11．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．12．已知正四面體外接球的體積為，則這個(gè)四面體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，若是的共軛復(fù)數(shù)，則____________．14．在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則__________，________.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上任一點(diǎn)，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.16．已知函數(shù)的最小值為2，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè)．第一次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．18．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”.（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望和方差；（3）某商場(chǎng)為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)的概率同為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價(jià)值1200元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.20．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)N到平面CDM的距離．21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點(diǎn)，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個(gè)，其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè)，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B．2．B【解析】

可設(shè)，將化簡，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題3．D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.4．C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，所以排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)；綜上可知，C為正確選項(xiàng)，故選：C.本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.6．A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.7．A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.9．D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】

算出集合A、B及，再求補(bǔ)集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.12．B【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a，如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球，則有，∴．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對(duì)角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個(gè)正四面體的表面積為．故選：B．本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由于，則．14．2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以故答案為：；.本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，即可求得的值，進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，則，即，∵，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，∴，∴.故答案為：.本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.16．【解析】

首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式，對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值，從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點(diǎn)，故，解得，故答案是.本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測(cè)后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過兩次檢測(cè)后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測(cè)后合格的概率分別為，，，由題意，，.本題考查相關(guān)系數(shù)的求解，考查二項(xiàng)分布的期望，是中檔題.18．（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，知服從二項(xiàng)分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，求出實(shí)際付款的期望，再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【詳解】（1）由已知得出聯(lián)列表：，所以，有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，，；（3）若選方案一，則需付款元若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，，，，選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，代入，求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)無極值；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴；③當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴，綜上，函數(shù)的極大值恒大于0.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因?yàn)槠矫鍭BMN，平面ABMN，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BMN中，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以平面．?）如圖，取BM的中點(diǎn)E，則，又BM∥AN，所以四邊形ABEN是平行四邊形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因?yàn)槠矫鍯DM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離與點(diǎn)E到平面CDM的距離相等，設(shè)點(diǎn)N到平面CDM的距離為h，由可得點(diǎn)B到平面CDM的距離為2h，由題易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離為．21．（1）（2）【解析】

（1）求出及其導(dǎo)函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍．（2）令，題意說明時(shí)，恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出