第第頁(yè)浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合M=xx=sinnπA．{－1，0，1} B．{0，1}C．? D．{0}2．已知復(fù)數(shù)z=1?i（其中i是虛數(shù)單位），則zA．2 B．1 C．2 D．103．已知集合A=xx2+2x<3,A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在△ABC中，cos2B2=a+c2c（A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．已知m為正實(shí)數(shù)，且msin2x+tanA．1 B．4 C．8 D．96．設(shè)a=sinA．log2a<C．a(chǎn)2<log7．在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=23，∠C=90°，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將△A．43 B．4 C．838．已知fx=?x2+2A．m<?3 B．m≤?2C．m<?3或m>?2 D．m=?2或m<?3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9．在△ABC中，AB=2，AC=6，∠BAC=60o，D是邊A．ABB．△ABC外接圓的半徑是2C．若DC=2BDD．若AD是∠BAC的平分線，則AD=10．已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意a，b∈A．f(0)C．f(x)是奇函數(shù) D．若11．如圖1所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E、F、M分別為BC、CD、BE的中點(diǎn)，分別沿AE、AF及EF所在直線把△AEB、△AFD和△EFC折起，使B、C、D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到如圖2所示的三棱錐P?AEF，則下列結(jié)論中正確的有（）A．三棱錐M?AEF的體積為1B．異面直線AM與EF所成角的余弦值為34C．過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P?AEF的外接球，所得截面的面積的最小值為πD．過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P?AEF的外接球，所得截面的面積的最大值為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，OA=AB13．已知實(shí)數(shù)a，b∈[0，2]14．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=12AD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABE沿BE翻折到△A'BE，將△DCE沿CE翻折到△D'CE，使得二面角A'?BE?C等于60°四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．某住宅小區(qū)為了營(yíng)造一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個(gè)八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成面積為200m2的十字形區(qū)域，且計(jì)劃在正方形MNPK上建一座花壇，其造價(jià)為4200元/m2，在四個(gè)相同的矩形上(圖中的陰影部分)鋪花崗巖路面，其造價(jià)為210元/m2，并在四個(gè)三角形空地上鋪草坪，其造價(jià)為80（1）設(shè)AD的長(zhǎng)為x米，試寫(xiě)出總造價(jià)Q(單位：元)關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）問(wèn)：當(dāng)x取何值時(shí)，總造價(jià)最少？求出這個(gè)最小值.16．設(shè)角A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，已知向量m=(sinA+sinC,（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）若向量s=(0,?1),t=(17．已知函數(shù)f(x)=(（1）求fπ（2）求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.18．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA1=2，D為AC上的點(diǎn)，過(guò)（1）證明：DE/（2）若二面角B1?DE?B的大小為60°，求幾何體19．已知函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，判斷（2）在（1）的條件下，若m滿足f(3m)>f(5?2m)，試確定m的取值范圍.（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x?f(x)+|x2?1|+(k?a)x?a,k為常數(shù).若關(guān)于x的方程g(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)解x1,

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵M(jìn)＝{x|x＝sinnπ3，n∈Z}＝{-32，0，32}，

N＝{x|x＝cosnπ故答案為：D.【分析】利用三角函數(shù)的周期性，分別求出sinnπ3（n∈Z）和cosnπ2（n∈2．【答案】C【解析】【解答】解：已知z=1?i，則z所以z2故答案為：C.【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z23．【答案】A【解析】【解答】解：由x2+2x<3，可得?3<x<1，所以因?yàn)閒(x)=2x+x在R由2x+x<3，可得x<1，所以B=x所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件.故答案為：A.【分析】要判斷“x∈A”是“x∈B”的何種條件，需先分別求出集合A和集合B，再根據(jù)集合的包含關(guān)系來(lái)判斷條件類型.4．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閏os2B2=a+c2c，所以1+cosB2=a+c2c，整理得到cosB=ac，

又由正弦定理asinA=bsinB=csinC【分析】先利用二倍角公式對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到關(guān)于角B的余弦表達(dá)式，再結(jié)合正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，最后通過(guò)三角恒等變換推出角的大小，從而確定三角形形狀.5．【答案】D【解析】【解答】解：由msin2x可得m≥1515=17?16cos2x+1cos2x≤17?216cos【分析】先將不等式msin2x+tan2x≥156．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閍=sin7=sin7?2π，且π因?yàn)閥=2x在R上為增函數(shù)，所以因?yàn)閥=log2x在0,+所以log212<log2a【分析】先利用三角函數(shù)的周期性將sin7轉(zhuǎn)化為(0,π2)內(nèi)的角的正弦值，確定a的取值范圍；再分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法比較log27．【答案】D【解析】【解答】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，∴截面面積為：S△由圖可知，當(dāng)截面為圓錐軸截面時(shí)，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值為1，∵AB=AD=AC故截面面積最大為12故答案為：D．

【分析】圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，再利用三角形的面積公式得出截面面積為S△8．【答案】D【解析】【解答】解：fx當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x=1，則單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1,+∞當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x=?1，則單調(diào)增區(qū)間為(?∞,?1)，減區(qū)間為f(x)的圖象如圖所示，令t=f(x)，則fx2+mf要使方程fx則方程t2+mt+n=0m,n∈R有兩個(gè)不同的實(shí)根t1,t令g(t)=t當(dāng)t1=1,t2>2當(dāng)t1=t2=1綜上，m=?2或m<?3，

故答案為：D.【分析】先將函數(shù)f(x)寫(xiě)成分段形式，分析其單調(diào)性并畫(huà)出圖象；再通過(guò)換元法t=f(x)，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程.結(jié)合圖象，分析二次方程的根的情況（兩個(gè)不同實(shí)根或重根），從而確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，解題核心是函數(shù)圖象與方程根的轉(zhuǎn)化及分類討論.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：AB?AC=對(duì)于選項(xiàng)B：由余弦定理，得BC2=4+36?2×2×6×由正弦定理，得△ABC外接圓的半徑是12×對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镈C=2BD，所以BD=12對(duì)于選項(xiàng)D：由等面積法，得1即4AD=63，解得AD=33【分析】本題可分別從向量數(shù)量積、正弦定理、向量線性運(yùn)算、面積法四個(gè)角度對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析.先利用向量數(shù)量積公式判斷選項(xiàng)A；再通過(guò)余弦定理求邊長(zhǎng)，結(jié)合正弦定理判斷選項(xiàng)B；接著根據(jù)向量的線性關(guān)系推導(dǎo)選項(xiàng)C；最后用面積法求解選項(xiàng)D，解題時(shí)需逐一分析各選項(xiàng)的條件與對(duì)應(yīng)的定理或公式的匹配性.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】令a=b=0，則f(令a=b=1，則f(1)令a=b=?1，則f(1)又令a=?1，b=x，則所以f(令a=2，b=?1所以f(故答案為：ACD

【分析】對(duì)a，b取特殊值，代入已知表達(dá)式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，翻折后，則有PA⊥AE，PA⊥AF，因?yàn)锳E∩AF=A，AE、AF?平面AEF，則PA⊥平面AEF，因?yàn)镸為PE的中點(diǎn)，則VM?AEF對(duì)于B選項(xiàng)，在圖2中，取PF的中點(diǎn)H，連接MH、AH，因?yàn)镸、H分別為PE、PF的中點(diǎn)，則MH//EF且則異面直線AM與EF所成的角為∠AMH或其補(bǔ)角，又AM=AH=A由余弦定理可得cos∠AMH=所以，異面直線AM與EF所成角的余弦值為3434對(duì)于CD選項(xiàng)，因?yàn)镻A⊥平面AEF，PE⊥PF，可以把三棱錐P?AEF放到如圖所示的長(zhǎng)方體中，則三棱錐P?AEF的外接球即為長(zhǎng)方體APEH?JFGL的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體APEH?JFGL的體對(duì)角線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則O為長(zhǎng)方體APEH?JFGL外接球球心，長(zhǎng)方體APEH?JFGL的體對(duì)角線長(zhǎng)為2R=12+因?yàn)镺E=OP=12PL=62，且M且OM=O設(shè)O到過(guò)M的平面α的距離為d，則0≤d≤OM=5設(shè)平面α截三棱錐P?AEF的外接球O所得圓面的半徑為r，則r=R2?d2【分析】本題需分別從三棱錐體積、異面直線所成角、外接球截面面積三個(gè)角度分析各選項(xiàng).對(duì)于體積，利用線面垂直關(guān)系結(jié)合體積公式計(jì)算；對(duì)于異面直線所成角，通過(guò)取中點(diǎn)構(gòu)造平行線，再用余弦定理求解；對(duì)于外接球截面面積，先確定外接球的球心與半徑，再分析截面圓半徑的取值范圍，進(jìn)而得到面積范圍，解題時(shí)需逐一突破各選項(xiàng)的核心考點(diǎn).12．【答案】14【解析】【解答】解：由2AO=AB+AC，可得O為BC的中點(diǎn)，

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，BC=2r，則∠ABC=60°

所以向量BA在向量BC上的投影為BAcos60°故答案為：14【分析】第一步，由向量等式判斷O是BC中點(diǎn)；第二步，利用外接圓半徑和|OA|=|AB|確定三角形邊長(zhǎng)與角度；第三步，根據(jù)投影向量的公式計(jì)算13．【答案】2【解析】【解答】由8+4可知8=4則2b?∴2令x=2af(可知f(x)∴f(即2b故答案為：2。

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則和換元法，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求最值的方法，進(jìn)而得出2b14．【答案】37【解析】【解答】解：設(shè)AB=2a，取CE的中點(diǎn)K，連接BK,A'K由題知平面BCE⊥平面D'平面BCE∩平面D'又BK?平面BCE，BK⊥CE所以BK⊥平面D'則直線A'B與平面D'易求得BK=3cos∠又cos∠解得A'cos∠則sin∠所以直線A'B與平面D'故答案為：378.

【分析】設(shè)AB=2a，取CE的中點(diǎn)K，連接BK,A'K，利用面垂直的性質(zhì)定理可得BK⊥平面D'CE，結(jié)合直線15．【答案】（1）解：設(shè)AM=y,AD=x，則x2+4xy=200，所以y=200?x24x，

由x>0,y=200?x24x>0，可得（2）解：令t=x2，則Q=38000+4000(t+100t)，且0<t<200，

因?yàn)楹瘮?shù)y=t+100t≥2t?100t=20，當(dāng)且僅當(dāng)【解析】【分析】（1）先設(shè)出線段長(zhǎng)度，根據(jù)面積關(guān)系得到變量間的表達(dá)式，再分別計(jì)算各區(qū)域造價(jià)，進(jìn)而推導(dǎo)出總造價(jià)關(guān)于x的函數(shù)解析式及取值范圍.（2）通過(guò)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式的形式，進(jìn)而求出總造價(jià)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.（1）設(shè)AM=y,AD=x，則x2所以y=200?x24x，由所以總造價(jià)Q（單位：元）關(guān)于x的函數(shù)解析式為Q=4200x（2）令t=x2，則Q=38000+4000(t+100因?yàn)楹瘮?shù)y=t+100當(dāng)且僅當(dāng)t=100t時(shí)，即t=10時(shí)，即所以總造價(jià)Q的最小值為Qmin16．【答案】解：(Ⅰ)由題意得m?n=sin2A?sin2C+sin2B?sinAsin(Ⅱ)因?yàn)閟+t=(cosA,2cos2B2?1)=cosA,cosB

，s+t2【解析】【分析】（Ⅰ）利用向量垂直的數(shù)量積為0得到三角等式，再結(jié)合正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，最后用余弦定理求出角C.（Ⅱ）先求出s+17．【答案】（1）解：由函數(shù)的解析式可得：fπ（2）解：∵cosx≠0，得x≠kπ+π2，k∈Z，故fx的定義域?yàn)閤x≠kπ+π2,k∈Z．

因?yàn)閒x=3cosx?sinxsin2x2cosx+12=sinx【解析】【分析】（1）直接將x=π（2）先根據(jù)分母不為零確定定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.（1）由函數(shù)的解析式可得：fπ=（2）∵cosx≠0，得x≠kπ+故fx的定義域?yàn)閤因?yàn)閒x=3所以fx的最小正周期為T(mén)=由2kπ+π2≤2x+得kπ+π6≤x≤k所以，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+π618．【答案】（1）證明：由題：A1B1//AB，因?yàn)锳1B1?平面A1B1DE，AB?平面A1B1DE，所以（2）解：過(guò)B作DE的垂線，垂足為F，連接B1因?yàn)锽B1⊥平面ABC，DE?所以BB因?yàn)锽B1∩BF=B，B所以DE⊥平面BB因?yàn)锽1F?平面所以DE⊥所以∠BFB1就是二面角B又BB1=2底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取AB的中點(diǎn)G，連接CG，交AE于點(diǎn)H，則CG⊥AB，且CG=2sin60°=3，所以CECB=CHCG=因?yàn)镈E//A1B又A1D，B1E不平行，故A1所以幾何體CDE?A因?yàn)锳A1=2所以幾何體CDE?A1=1【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)證明平面與平面的交線平行來(lái)推導(dǎo)線線平行.（2）先作出二面角的平面角，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，確定幾何體的形狀為三棱臺(tái)，再根據(jù)三棱臺(tái)的體積公式計(jì)算體積.（1）由題：A1因?yàn)锳1B1?平面A1所以AB//平面A1又AB?平面ABC，且平面A1B1所以AB//DE.（2）過(guò)B作DE的垂線，垂足為F，連接B1因?yàn)锽B1⊥平面ABC，DE?所以BB因?yàn)锽B1∩BF=B，B所以DE⊥平面BB因?yàn)锽1F?平面所以DE⊥所以∠BFB1就是二面角B又BB1=2底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取AB的中點(diǎn)G，連接CG，交AE于點(diǎn)H，則CG⊥AB，且CG=2sin60°=3，所以CECB=CHCG=因?yàn)镈E//A1B又A1D，B1E不平行，故A1所以幾何體CDE?A因?yàn)锳A1=2所以幾何體CDE?A1=119．【答案】（1）解：由題得：f(x)=x+ax+a，設(shè)1≤x1<x2，則f(x1)?f(x2)=(x1+（2）解：由（1）得：f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，要滿足f(5?2m)<f(