概率分布列期望專題

一、答題與有獎(jiǎng)競猜問題

例：甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，每人答復(fù)一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，

222I

答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人答復(fù)

3332

正確與否相互之間沒有影響。用￡表示甲隊(duì)的總得分。

(I)求隨機(jī)變量￡分布列和數(shù)學(xué)期望；

UI)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用8表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”

這一事件，求P(AB).

(I)解法一：由題意知，￡的可能取值為0,1,2,3,且

所以￡的分布列為

￡0123

1248

P

279927

￡的數(shù)學(xué)期望為

EE=0X—4-lx—+2x—+3x—=2.

279927

2

解法二：根據(jù)題設(shè)可知一3(3,§)

因此￡的分布列為

(II)解法一：用。表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用。表示“甲得3分乙得0分”這一事件,

所以AB=CU。,且C、D互斥，乂

由互斥事件的概率公式得

解法二：用Ak表示“甲隊(duì)得A分”這一事件，用所表示“已隊(duì)得左分”這一事件，D,1,2,3由于事件

A或),4S為互斥事件，故事

P(AB)=P(A3BQUA2BI)=P(A3BO)+P(A2BI).

練習(xí)：1某學(xué)校舉行知識(shí)競賽，第一輪選拔共設(shè)有4aCO四個(gè)問題，規(guī)則如下：

①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問題A8,C,。分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)

任一題減2分；

②每答復(fù)一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大

于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍缺乏14分時(shí)，答題結(jié)束，淘

汰出局，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍缺乏

14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；

③每位參加者按問題A,反C,。順序作答，直至答題結(jié)束.

3111

假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問題A答復(fù)正確的概率依次為巳,一,一,一，且各題答復(fù)正確與否相互之間沒有影

4234

響.

(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；

(II)用€表示中同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)的石久

r：設(shè)A,3,C',O%(i=l,2,3,4)表不甲同學(xué)第i個(gè)問題答復(fù)止確，用M(i=l,2,3,4)表不甲同學(xué)第i個(gè)

問題答復(fù)錯(cuò)誤，那么M1與乂是對(duì)立事件(j=1,2,3,4).由題意得

所以

(I)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一?輪”為事件Q,

那么

(II)由題意，隨機(jī)變量J的可能取值為：2,3,4.

由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，所以

因此隨機(jī)變量J的分布列為

234

P131

882

所以，E^=2x-^3x-+4x-=—.

8828

2投到某雜志的稿件，先向兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審.假設(shè)能通過兩位初審專家的評(píng)審，

那么予以錄用；假設(shè)兩位初審專家都未予通過，那么不予錄用：假設(shè)恰能通過?位初審專家的評(píng)

審，那么再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，假設(shè)能通過復(fù)審專家的評(píng)審，那么予以錄用，否則不予錄

用.設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為0.5,復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為0.3.

各專家獨(dú)立評(píng)審.

(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(II)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望

解：(I)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評(píng)審；

B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評(píng)審；

C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評(píng)審；

D表示事件：稿件被錄用.

那么D=A+BC,

=P(A)+P(B?C)

=P(A)+P(B)P(C)

=0.40.

(II)X?8(4,0.4),其分布列為：

期望￡￥=4x0.4=1.6.

二、有關(guān)保險(xiǎn)問題

例：根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購置甲種保險(xiǎn)的概率為0.5.購置乙種保險(xiǎn)但不購置甲種保險(xiǎn)的概率

為0.3,設(shè)各車主購置保險(xiǎn)相互獨(dú)立。

(【)求該地1位車主至少購置甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；；

(II)求該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購置的車主數(shù)，求X的期望。

解：(1)設(shè)該車主購置乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知：〃x(l—S5)=0?3,解得〃二。6。

設(shè)所求概率為PI,那么

故該地1位車主至少購置甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8。

(2)對(duì)每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購置的概率為0一0,5)'(1一。6)二0-2。

所以X的期望是20人。

練習(xí)；I購置某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)[元，假設(shè)投保人在購置保險(xiǎn)的一年度

內(nèi)出險(xiǎn)，那么可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購置了這種保險(xiǎn)，且各投保人

是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999".

(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率〃；

(II)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的本錢為50030元，為保證盈利的期望不小于0,求每

位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)1單位：元).

解：各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是〃，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為

那么J?3(10、p).

[I)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，那么^發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)4=0,2

分

=1-(1-P)叫

又尸(A)=1—0.999”，

故〃=0.001..........................................................................................................................5分

(II)該險(xiǎn)種總收入為10000。元，支出是賠償金總額與本錢的和.

支出100004+50000,

盈利〃=10000〃一(10000J+50000),

盈利的期望為￡>7=10000〃-10000酸-50000,....................................................9分

4-3

由J?例10,10-3)知，E<J=10000xl0,

=1046/-104xl04xl(r3-5xl04.

(元).

故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元.

2某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年

81

P--

99

故石芻=9()()0x,=1()00.

同理得E&2=9(X)()x±=90(),E^=9000x—?818.18.

綜上有七4=七。+七$+七&引000+900+818.18=2718.18〔元：I.

三、有關(guān)比賽問題

例：紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A,8,C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)8、丙對(duì)C各一盤甲勝A、

乙勝B、丙勝。的概率分別為0.6,().5,()5假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(I)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；

(II)用〈表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望

解(1)設(shè)甲勝A的事件為力，乙勝B的事件為E,丙勝的C事件為產(chǎn)，

那么尸分別表示甲不勝4、乙不勝8、丙不勝C的事件.

因?yàn)镻(D)=0.6,P\E)=0.5,P(F)=0.5

由對(duì)立事件的概率公式知「(0=0.4,P(E)=0,5fP(F)=0.5,

紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有："EE應(yīng)F,DEF;DEF,

由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，

因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為

(2)由題意知片可能的取值為0,1,2,3.

又由(1)知DEF,DEF'DEF是兩兩互斥時(shí)間，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,

因此

由對(duì)立事件的概率公式得

所以4的分布列為

0123

因此

P

心=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6

練習(xí)：1甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局

中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，前2局中，甲、乙各勝1局。

(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率；

(II)設(shè)0表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求0得分布列及數(shù)學(xué)期望。

解：記A,表小事件：第i局中獲勝，i=3,4,5

%表示事件：第j局乙獲勝，j=3,4

（I）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利

因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局,

從而

由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故

=P（4）P（44）+P（5M（A4）P（A）+P（A）P（B4）P（a）

XXXXX

（IDJ的可能取值為2,3

由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以

=P（4?A）+P叫?山）

=P（A”P（A）+P（紜）?p（H）

xx

PC=3）=1-PC=2）=

J的分布列為

23

p

=2X0.52+3X

2乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依

次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為0.6,

各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立,.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.

（1）求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；

⑵J表示開始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求4的期望.

【命題意圖】本試題主要是考查了獨(dú)立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的問題.首先要理解

發(fā)球的具體情況,然后對(duì)于事件的情況分析、討論,并結(jié)合獨(dú)立事件的概率求解結(jié)論.

解:記4為事件“第i次發(fā)球,甲勝”，i=l,2,3,那么尸（A）=°6P（&）=0.6,尸（4）=04.

（I）事件”開始第4次發(fā)球時(shí)?，甲、乙的比分為1比2”為444+444+444,由互斥事件

有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式得

P（AAA+A4A+A44）=0.6x0.4X0.6+0.4X0.6X0.6+0.4X0.4X0.4=0.352

即開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2

(1【)由題意4=0,1,2,3.

PC=0)=p(A4A)=06x0.6x0.4=0.144.

p?=1)=p(A+444+A44)=0.4xo.6x0.4+0.6x0.4x0.4+o.6x0.6x0.6=0408

9

P(J=2)=0.352.

所以EJ=0.408+2x0.352+3x0.096=1.4

【點(diǎn)評(píng)】首先從試題的選材上來源于生活，同學(xué)們比擬熟悉的背景，同時(shí)建立在該根底上求解進(jìn)行分

類討論的思想的運(yùn)用，以及能結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式求解分布列的問題.情景比擬親切,容易入手,

但是在討論情況的時(shí)候,容易丟情況.

四、有關(guān)摸球與投球問題

例：袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)

的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球上表示所取球的標(biāo)號(hào).(I)求士的分布列，期

望和方差；(卬假設(shè)n=a￡+b,Er]=l,DQ=11,試求a,b的值

【分析】第(I)小題根據(jù)等可能事件的概率計(jì)算公式可求W取0、1、2、3、4時(shí)的概

率，從而得分布列；第(口)小題根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望與方差建立方程組可解決.

【解】〔I)之的分布列為：

a01234

11131

p

220205

11131

,-.E^=0x-+lx—+2x—+3x—+4x-=1.5.

11131

D^=(0-1.5)2x-4-(l-1.5)2x—+(2-1.5)2x—+(3-1.5)2x—+(4-1.5)2x-=2.75.

52X2.75=11a=2［a=-2

〔II〕由Dn=a2D&,Er);aEW+b,得［u,］，解得人或「.

1.5a+b=1b=-2b=4

【點(diǎn)評(píng)】〔1〕求離散型隨機(jī)變量的分布列有三個(gè)步驟：①明確隨機(jī)變量X取哪些值；②

結(jié)合排列與結(jié)合知識(shí).

⑵而解決與分布列、期望與方差及應(yīng)用等問題，一般利用它們相關(guān)的性質(zhì)就可以求解或通過建立

方程來解決來解決.

練習(xí)：1在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3

分，在B處每投進(jìn)?球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A

處的命中率qi為0.25,在B處的命中率為q2，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用J

表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為

402345

P0.03PiP2P3P4

(I)求q2的值；

(2)求隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望E&;

(3)試比擬該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

解：(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,那么事件A3相互獨(dú)立，且

P(A)=0.25,P(A)=0.75,P(B)=q2，尸(5)=1一%.

根據(jù)分布列知：4=0時(shí)?(入萬歷=2(不尸(7)尸(初=。75(1-%)2=0.03,所以1一%=0.2,q2=0.2.

(2)當(dāng)g=2時(shí),Pi=P(ABB+ABB)=P(ABB)+P(ABB)

=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(l-^2)Xq2(\-q2

當(dāng)&=3時(shí),P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(8)=0.25(l-%)2=0.01,

當(dāng)J=4時(shí),P3=P(ABB)==O.75%2=O.48,

當(dāng)J=5時(shí),P4=P(ABB+AB)=P(ABB)+P(AB)

所以隨機(jī)變量J的分布列為

g02345

p0.030.24

隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期望EJ=0x0.03+2x0.24+3x0.0l+4x0.48+5x0.24=3.63

(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為P(ZBB+BZB+BB)

=P(BBB)+P而B)+P(BB)=2(1—%)%2+夕」=08%；

該同學(xué)選擇⑴中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

2箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定:取出一個(gè)白球的2分，取出一個(gè)黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無

放回,且每球取到的時(shí)機(jī)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量I為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.

(【)求X的分布列；

(II)求X的數(shù)學(xué)期望期爵.

【解析】此題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn).

(I)才的可能取值有：3,4,%6.

”=3)吟得P-4)=管啥

S普哈;尸(X=6)吟吟.

故，所求才的分布列為

X3456

5201015521

p===

4242214214422?

(II)所求才的數(shù)學(xué)期望￡(心為：

6P(X=f)=E14.

i=43

王、有關(guān)化驗(yàn)檢驗(yàn)問題

例：一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)

質(zhì)品的件數(shù)記為〃.如果〃=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，假設(shè)都為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢

驗(yàn)；如果〃=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，假設(shè)為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下,

這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為:，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)

質(zhì)品相互獨(dú)立.

(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；

(2)每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)

用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件4,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品

為事件Az,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件當(dāng),第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件比，

這批產(chǎn)品通過檢險(xiǎn)為事件A,.依題意有A=(4IS)U(AI42),且4/力與A2&互斥，所以P(A)=P(4S)+

P.A2B2)

=P(4)P(S|A1)+P(A2)P(B2\A2)

(2)X可能的取值為400,500,800,并且

尸(X=400)=l一得一七=七p(x=500)=七

P(X=800)=；.

所以X的分布列為

X4.00500800

1111

P,16Ie4

E(X)=400XH+500X-j^+800X(=506.25.

練習(xí)：5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性

的即為患病動(dòng)物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).假設(shè)結(jié)果呈陽性那么說明患病動(dòng)物為這3只中的1

只，然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;假設(shè)結(jié)果呈陰性那么在另外2只中任取1只化驗(yàn).

(I)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

(11)4表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求4的期望.

解：記Ai、A?分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次，

Bi、B2分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次，

A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。依題意知A?與B?獨(dú)立。

(I)A=A,+A2B2

P(A,)=F=rP(A2)=*~叱)=然M。

P(A)=P(A|+A2B2)

=P(A))+P(A2-B2)

=P(A|)+P(A2)P(B2)

112

=—+—X—

555

7

-25

一18

所以P(A)=1-P(A尸——

25

(IDg的可能取值為2,3.

C3c23232

4

P(Bi)="yH-=-,P(B2)=-,P(€=2)=P(Bi)=-,P(€=3)=P(B2)=-?

CC；C5555

所以E&=2x?3+3x2-=1—2=2.4(次).

555

六、與函數(shù)及統(tǒng)計(jì)有關(guān)問題

例：某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，T立客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，，，且客人是否游覽哪

個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)&表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

［I)求a的分布及數(shù)學(xué)期望；

［口〕記"函數(shù)=3J+1在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.

解：〔D分別記"客人游覽甲景點(diǎn)"，”客人游覽乙景點(diǎn)客人游覽丙景點(diǎn)”

為事件Ai,A2,A3.由Ai,A2,A3相互獨(dú)立,P為事，P為2〕,

PA〕=0.6.

客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取

值為3,2,1,0,所以4的可能取值為1,3.

P［<=3)=P(ArA2-A3)+P〔不仄R

=P(Ai)P0)PA〕+P〔不)P(4)P(%)〕

P=l-0.24="6.

J13

所以4的分布列為

P-

￡^=1x0.76+3x0.24=1.48.

19

(nj解法一因?yàn)榱?幻="一；？2+1_彳1，

所以函數(shù)fW=x2-3夕+1在區(qū)間^,十8)上單調(diào)遞增，

要使在［2,內(nèi))上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)ggW2,即4W2

4

從而p(A)=P(4<-)=尸e=1)=0.76.

3

解法二：J的可能取值為1,3.

當(dāng)J=1時(shí)，函數(shù)“X)=V-3x+1在區(qū)間［2,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

當(dāng)J=3時(shí)，函數(shù)=F-9x+1在區(qū)間⑵”)上不鑿調(diào)遞增.0

所以P(A)=PC=l)=0.76.

然習(xí)：1某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用

分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放叵簡單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考孩。

(I)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

(II)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(III)記J表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求4的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解析：(1)這一問較簡單，關(guān)健是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意此分層抽樣與性

別無關(guān)。

(II)在第一問的根底上，這一問處理起來也并不困難C

r]8

從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率尸=上一@=￡"

2

VC10125

UII)J的可能取值為0，1,2,3

.=<P(9)=幽C+1.G=空,

。("0)=冬4=2

a以75G：caa75

C2C11031

PC=3)=WU=w，P(^=2)=l-P(^=0)-P(^=l)-P^=3)=—

Cz|QCq/J

解析：(I)由(0.006x3+0.01+Q054+x)xl0=l,解得*-0.018.

(II)分?jǐn)?shù)在［80,90)、［90,100］的人數(shù)分別是50x0.018x10=9人、50x0.006x10=31的取值為0、

1、2.

。伯=。)=等=居=4，尸q=1)=等=||=卷，P(g=2)=警=5=*，所以J的數(shù)

C126611Cl2no22C)2on22

69

學(xué)期望是鷹=0XA+1X‘2X_i__J2

22-222

3電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.

下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾H均收看該體育節(jié)H時(shí)間的頻率分布直方圖；

將口均收看該體育節(jié)目時(shí)同不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

(I)根據(jù)條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別

有關(guān)?

(II)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大景電視觀眾中，采用隨機(jī)抽

樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為尤假設(shè)每次抽取的

結(jié)果是相互獨(dú)立的,求才的分布列，期望E(X)和方差D(X).

2+W+2

【答案及解析】

(D由頻率公布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2X2列聯(lián)表如下：

由2X2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得：

因?yàn)?.03(X3.841,所以,沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).

(II)由頻率公布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率，即從觀眾r抽取一名

“體育迷”的概率為由題意，

4

X~8(3,—)

4，從而X的分布列為：

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望

E(X)和