概率論計算：

1.已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取兩次，作不施加抽樣，求下列事件的概率.(1)

兩只都吳正品？(2)兩只都是次品？(3)一只是正品，一只是次品？(4)第二次取出的是次品？

解：設A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

戶浦也)?依小仍為1小)

—

10945

(2)

尸(A|,八2)

=P(A|)P(42|A|)

—

10945

P(AA2)^P(A]A2)

-HA}P(A2M|)+P(A\)P(A2\AI)Pd2)

(3)(4)=尸(八1)而217)”次1)雨21麻)

IC910982211

=生1091095

45

2.某電子設備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的，根據(jù)以往記錄有如下數(shù)據(jù)?~~設三

家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志。(1)在倉庫中隨機地取一只晶體管，

求它是次品的概率。(2)在倉庫中隨機地取一只晶體管，發(fā)現(xiàn)是次品，問此次品是一廠產品的

概率？

解：設Bi(1=1,2,3)表示任取一只是第I廠產品的事件，A表示任取一只是次品的事件。

(1)由全概率公式

P(A)?P(B\)P(A\80+Pith)

P(4|82)Sg)HAI與)(2)由貝葉斯公式

=0.5x0.02+0.30x0.01+0.05x0.03

-0.0125

P(A}

=015x002=O24

0.0125

3.房間里有10個人，分別佩威從1號到10叼的紀念章，任選三人記錄其紀念章的號碼，求：(1)

最小號碼為5的概率；(2)最大號碼為5的概率.

解：由等可能概型有：

⑴尸辱+

CIO12

⑵「系』

4.6件產品中有4件正品和2件次品，從中任取3件，求3件中恰為1件次品的概,率。

解：設6件產品編號為1,2……6,由等可能概型屋姿」

C5

5.設隨機變量X具有概率密度.?,%、>0。(1)確定常數(shù)k;(2)求P(X>0o1)

[o,x?0

J

解：(1)由有°3)。(2)

*所我=3

J

Ptr>n1)==c74DR

6.一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明，在任一時刻t,每個設備被使用的概率為。1,

問在同一時刻(1)恰有2個設備被使用的概率是多少？(2)至多有3個設備被使用的概率是多

少？(3)至少有1個設備被使用的概率是多少？

解：由題意，以X表示任一時刻被使用的設備的臺數(shù)，則X?b(5,0。1),于是

(1)

P(X-2)-C^O.I^.V3-0.0729

(2)

P(X<3)-P(A-0)fP(X-I)

+r(X=2)+?X=3)

=I-P(X>3)

=1-|P(X=4)^P(X=5)1

=l-|C^0.l40.9+(^0.15

-0.9995

(3)

MX"),"冏X-0)

=I-C^O.I°O.95

=0.40951

7.設隨機變量X的概率密度為人加7-

0.其它

r<i-3i

解：*—J科

2

8.由某機器生產的螺栓的長度(cm)服從參數(shù)11=1005,。=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍

10.05±0。12內為合格品。求一螺栓為不合格品的概率。

解：由題意，所以為

I-310.05-0.12<.v<10.05+0.12)

.入0.12、

=1-10(-------->)

0.060.06

=2(1-眄2”

=0.0456

9.設X?N(3,2?)求:(1)A255)MY<EO).

---------------------------------------------------汽IxA2),代x>3)

(2)P(.v>e)=P(x￡c)

解：⑴

42-3、P(-4<x^l0)

M2VXWS)=9(F)：-<(>(------)

24/°-3、-4-3

=<1>(---)-<!>(---

=0>(1)-0(-0.5)

=-0.5328(!)(3.5)-<^(-3.5)

=0.9996

P(|x|>2)=1-P(|.r|￡2)

=l-/\-2<x<2)

2-3-2-3

,I—)-<!>(—^―)|

=0.6977

P(X>3)=1-<xo)=0.5

(2)由P>c=P(xWc),即

1-0>(、2)=帆、2)

J與)=:

22

匚工=0.所以，=3

2

10.設隨機變量X的分布律為

求Y二X?的分布律.

解：Y二妙的全部取值為0,1,4,9且P(Y=O)=P(X=O)=1,

P(丫二1)二P(X二一1)+P(X=1)二L7

6I530

P(Y二4)二P(X=—2)=1,

pg)=P(X=3)5攵Y的分布律為

X0149

P27工11

305而

11.設二維隨機變量(x,y)具有概率密度“xj"⑵+?求分布函數(shù)F(x,y);

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(0.其它-----------------------------------------

(2)求概率P(YWX)

解：(1)

F(X.y)=J：y)dxdy

J沏;"YWdtx>0.y>0(2)

0.其它

=(1-^-24：)(1-^).x>0.y>0

-0.其它

p(ysx)="/(”)y

="8小+'7

g.常知(xY)中聯(lián)合分律為

'\iorr

X

Y

M巧

1/43/8

求X及Y的邊緣分布律.

解：X的分布律為

X01

P35

88

Y的分布律為

X12

P35

87

13.設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為邊緣概率密度/?-,、》.

解：

，+00

Zv（x）=JfCy

一8

0.其它

6(x-x^).05x21

0.共它

-------.d<x<b

/(x)=b-a

0.其它

口X)=CMM=*￡d\

a-b

=-------

2

怨2)=匿

=^x2j_dx=<rab^_

12b-a3

D(X)=E(X2)-(￡(.V?2

“2+ub+b2(4+〃)2

S‘'

12

18.設隨機變量X服從分布，其概率密度為

/(x)=5°">0.故.中。>0是

0.xMO

常數(shù).求￡(X).&X}.

解：E(X)?rX'方杰?0

X

￡(X2)-。杰?2好

D(X)=E(X2)-(E(X))2

=%2_屏=屏

19.已知X—N(U,。2),求E(X),D(X).

1

ft?.￡(X)-Aj；ed.K

■(土上設為。

(7

r

=j?j曹(ea2dr=〃

(x-〃/

EX?』篌Je切：dx

=(設乙二巴=，)

a

=JJ曹(6a2$=“2+,2

D(X)=￡(X2)-[￡(X))2

=?2+“2_,2=02

20.在總體N(52,6.3‘)中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本平均值上落在50。8到53.8之間

的概率.

W：P(5O.8<X<53.8)

50.8-52Z-5253.X-52

636363

.~6VT.

T蓋M部)

=飄1?71)-3-1.14)

=0.8293

21.已知X—t(n),求證*2下(1,n)

u

證明:由XFn泌有X=

/v/n

其中"-yv<o.isv-/⑻，

旦亍與正相互獨立于是

2U2叫I

X=■.-,.

V/VV/zr

由F分布定義即如"KIM

22.設為.X2.…X”為總體的一個樣本，求下列各總體的密度函數(shù)中未知參數(shù)的極大似然估計量。

10.x5<?

共中c>0為已知。>0.

0為未知參數(shù)

(2)/(.r)-疝*RosxSl.

0,其它

其中@>0.6為K如參數(shù)

解：。)似然函教為

￡??)-R?%,re+1)

1=1

=*?""(XM2...XQ-3D

似然方程為包裝

do

="+/rlnc-=0.解得

°f=l

6=-------------------

n

ginX/-dnc

i=l

(2)似然函數(shù)為

〃。)=人向'值

1=1

?屆XiX》.“x”護

似然方程為好的

解褥6=—2——

〃-)

(2>燈廠

f-1

23.設總體為隨機變量X,且E(X)二a(常數(shù)，未知)，試說明樣本平均值豆是a的無偏估計量。

解：E(%?d，￡x,

l"i=l

IJ?I

■-yE(X;)---a

nr?=.ln

即觀”的無偏估計量

24.設總體X在［a,b］上服從均勻分布，a,b未知，毛心,./“是一個樣本，試求a,b的矩估計量.

解：*=￡(X)=(tf+*)/2

/n=E(x2)=必一°>2〃2

+(〃+加2/4

(a+Z?/2=4|=X

令(s-n)2/|2+(〃+Zo2/4

卜公*

解得力=X_J。(也_為)2

25.設某種清漆的9個樣品，其干堞時間(以小時計)分別為6。1,6。0,5。1,5.8,6。5,7.0,

6。3,5。6,5.0。設干燥時間總體服從正態(tài)分布N(u,/)，求小的置信度為。95的置信區(qū)間.

解：a沅知時.口信區(qū)間為

卜嚀均卜在父啥均

=6.010.2x1.96

..,,,、，、■,所以置信區(qū)間為S.6086392)

(1)若由以往經臉知C二。6(小時)；(2)若。為未知。(2”未爾M.置信R間為

X±a(〃I)現(xiàn)在.

?in—

X±-^rw(n-l)

2

=6.0士里盧0.025⑻

所以置信區(qū)間為(5.558464416)

26.隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差S=11(m/s),設炮口速度服從正態(tài)

分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差o的置信度為0。95的置信區(qū)間。

解:由您條件,標準差雨信度為

0.95的置信區(qū)何為

代人有關數(shù)化15表計算得

(7.43.21.1)

27.某種電子元件的壽命x(以小時計)服從正態(tài)分布，u,力均未知，現(xiàn)測得16只元件的壽

命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認為元件

的平均壽命大于225小時(取a=0。05)

解：此檢命如下：〃0：〃W〃n225

H］：“>225拓地域為

“在…

l5

計簿得,「0.66S5.r0,05<>-mi

由于0.6685<1.7531,故按原假設他，

認為元件平均壽命不火于225小時

28」已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為

X012

Y

101/60

24/601/6

求X及Y的邊緣分布律

ft?:E(X)=-2x0.4+0x03+2x0,3

=-0.2

E(X2)=(-2)2XO.4+O2XO.3+22

x0.3=2.8

30.盒子有4個新乒乓球，2個舊乒乓球，甲從中任取一個用后放回(此球下次算舊球)，乙再

從中取一個，那么乙取到新球的概率是多少？

好：設8衣示第1次取到新球的

維件:我示第2次取到新球的事

件由仝概率公式

P(A)=P(B)P(.K\B)+

P(B)P(A\B)

4124

=-X-十-X-

6266

=一I+一2

39

5

=—

9

31.對于正態(tài)總體的大樣本(n>30),S近似服從正態(tài)分布N(。，。2/20,其中。為總全的標準

差，試證：。的100(/)％的置信區(qū)間為

解：證:vS近似服從，丫(。，”2⑵)

二上鼻近似41從M0J)

a/-J2n

。I16-，

s2=」一E(Zi-Z)2,試求滿足

16-1；=1

W-.P(X>u+ks)

32.總體X~N(U,。)X],X2“..X“是來自總體區(qū)的容量"16的樣本，S?是樣本方差-4磊>K叫

,”16-1)>4幻0.95

P{r(l5)<1,75)=0.95

^-1.75=4*.-,A-=0.4375

33.已知離散型隨機變量X服從對數(shù)為2的泊松分布，即pa=K、=3K=>.2...求X=3X-2的數(shù)學期望E(X)。

解"E(X)=2

??.￡(X)=E(3X-2)=3E(X)-2

=3x2-2=4

.\E(X)=4

34.設隨機變量X與Y獨立，且X~N(1,2)Y?N(0,1)試求X=2X—Y+3的概密度。

Wr.E(X)=&2X-r+3)

=2E(X)-E(r：+3=5

D(X)=D(2X-r+3)

=4D(X)+D(n=9

(x-5)2

正亡"18

35.設隨機變量的分布律為P(Z二K)二令.=O.I.2....)A>(),確定a。

<XJ

W：-.■ZP(Z=?)=I

yJt=o&

36.設(X,Y)的密度函數(shù)為/("V)?波…求X,Y的邊緣密度函數(shù)判別其獨立性。

解:當x>則,

/；(X)-J**7(.v.y)rfr

e”>細理

/(r.y)=

0*其它

ye'',r>0

/y(y)=

0.其它

???/(xy)*A(r)/y(y)

;.Z與次獨立

37.設隨機變量(X,Y)的概率密度為=晨―求：常數(shù)C及聯(lián)合分布主數(shù)F(X,Y)。

解，?仁O內MM2

??巴圖”%2的

=碟用<%的力哈

."=12

尸(?”>=3M0

=(l-e-3-v)(l-f-4v)

???F(x'y)

」(I-e~^x)(l-e-4v)x>0,y>0

1。,其它

F(x.y)*

38.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)L-㈠當rf求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合

0.其它

。(x,y)

解：可驗證F(x,y)是連續(xù)型二維隨機變量的分布函數(shù)，則

出樂田=簪

oxcy

—=3-xln3-3-JC->ln3

dX

--3--*-y(ln3)2

Sxdy

3*四3『x*O.y*O

???利

“其它

39.測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出S=0.037%,設測定值總體為正態(tài)分布，o?

為總體方差試在水干a-0。05下檢臉假設

Ho：。=0.04%,從：a<O04%.

解：〃o:G=沖=0.04%

W|:CT<CTO=QO4%

拒絕域為

x2MML/5Tl-點ose'""25

現(xiàn)在

/_(/?1刀2『9XO.OOO372

4

=7,707>3,325

，接受，

40.設隨機變量X的概率密度為僅°二2.JZ”。求Y二X2的概率密度函數(shù)Py(Y)。

0..v<0

W.P(Y^y)=Fy(y)

Fy(y)=0

y<0=

￡、.(v)=44三ZMJv}

=鏟2&T2dx

Py(y)=Fy(y)

小d”o

0,j<0

o,X<o

41,設隨機變量X的分布函數(shù)為尸(”)AX2,O^G求常數(shù)A及X的概率密度P(X)。

好:=

%)=4

%叫=IA=I

O..v<O

F(x)=AX2.O<X<\

2Mo"SI

"(*)求尋褥/?(力-

0.其它

42.設隨機變量X的概率密度函數(shù)是小)=+川…求X的分布函數(shù)F(x)

—e^-r<0

W：/(x)=；

-Ie-X.xiO

當x<(WfF(A)=E力;

當人占0?寸

F(x)=3"~2^~X

“xvO

???F(x)=

43.在長為a線段上任取兩點M與N,試求線段MN長度的數(shù)學期望。

?：

-T-.O￡x￡0。4y￡a

P(.v.y)=

0.K-2

???E(|Z-Y|)=$?x-rlga3

=訝心於7吁心陰一時心

44.設總體X服從區(qū)間［8,28］上的均勻分布，6〉0是未知參數(shù),x,.x2....xM是來自總體X的容

量為n的樣本，記z=-￡z/o證明：3二2為施勺無偏估計.

nr=l~

解：X的分布概率定度函數(shù)

PC。-0

0,共它

???.噌物充

-2

???E(Z)=EZ=G。

???E(0)Eijz)=yE(Z)

2?

=?±?三0=0

45.設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為…,巴丁v10<…求二的概率密度函數(shù)。

。?丹匕XX—Y

解：當x<a計F,Z=O

當osx

Fz(z^P(X-Y<Z)

=\-P(X-Y>Z)

「Z」Z3

22

當Z21時典(Z)=I

d?、-(I-Z2)X)SZSI

g(z)=7&⑴=2

d：。小它

46.設隨機變量Z的概率密度為.?)=%/-00<x<-KCJ求E(Z)及D(Z)。

解：E(Z)=￡^xx/T%=0

D(Z)=^X-E(Z^P(X)dx

=甘

=2

47.對圓的直徑作挖測量，設其值均勺地分布在［a,b］內，求圓面積的數(shù)學期望。

解：設圓直徑為隨機變量Z,圓面積為Y.

則y=〃z)=gz2

?,小(幻=>”

o.其它

.-.￡(n-￡I/(X)]

也*

=-x2----1--J.x

為4b-a

="(〃2+ab+b2)

48.隨機向量(X,Y)在區(qū)域D={(x,v)IO〈x〈1,IyI<x|｝上服從均勻分布.求關于Z的邊

緣分布/求Z=2Z+1的方差.

解：.?面積為1

」(2八|f。l.O其<它x<l|y|<A

^0<x<lR|Al.v)-?lr

.P_J2A,0<X<I

￡(Z)=j^x-2x<fr=-j

E(Z~)--Ixdx■；

?(Z)=￡(Z2)-￡2(Z)=—

18

DfZ)=D(2Z+l)=22D(Z)

49.設Xi—.了”是來自參數(shù)為人的泊松分布為總體的一個樣本，試求人的極大似然估計.

W;HZ=*=

ntXi-A

In以義)=!n-U-X,nl(A/)r|

/=l；=l

令;Zq-〃?o

Ai=\

Ain一

么=-=z

3=i

0..r<0

50.已知隨機變量Z的分布函數(shù)為F(x)=<-j,O<xS4求E(Z)和D(Z)。

l..v>4

—,0<.t￡4

解:P(.r)=―-—4

dx

0,其它

Z眼從1041.的均勻分布

.皿)=等=2

fix.y)

51.設隨機變量(X,Y)的概率密度為_f*(6-x-y)J)<A<2,0<,y<4(1)確定常數(shù)K：(2)求P{Z〈1.5}

一卜,其它

?：(1)

即確相(67->泗=8*

8K=IK=-

8

(2)P(Z<1.5)

C眼(6-L

27

=

32

52.Z的概率密度為/(x)=表"那)‘X>°其中8〉0,8為未知參數(shù)，求8的極大似然估計值。

0,其它

解:L(0)=g")

i=l

…-4

n

InIAO)=-IJIIJIO+￡lnx(

53.設總體z的概率密度為.J向閃ME其中e>o,e為未知參數(shù)，求e的矩估計量,

0.其它

解：w/=E(Z)

令/一二7

W+a

54.設隨機變量Z服從(0,2)上的均勻分布，則隨機變量Y=Z2在(0,4)內的概率分布密度

函數(shù)&(y),求fy(y)。

T0<x<2

0,其它

y>0e%.(y)?pMy]

-P(Z2<v>-P(-JyJ7

=)￡出#=心》

fy(y)=F^y)=-^~

1—^0<y<4

■,?介(y)=|3

[o.J沱

55.已知

P(A)二P(B)二P(C)二一,P(AB)=T，P(AC)=P(B),求A,B,C均不發(fā)生的概率。

解：P(ABC)=P(A+8+C)

=I-PM+H+C)

=1-|?A)+P(B)+P(O]

-lP(Afn-P(AC)-P(BC)

..3L7

=ITN=五

56.甲、乙、丙三人進行投籃比賽，已知甲的命中率為0.9,乙的命中率為0。8,丙的為0.7,

現(xiàn)每人各投一次，求三人中至少有兩人投中的概率。

解：設A為“甲投中”，B為“乙投中”,C為“丙投中”則

產(人)=09P(例=0.8,P(C)=0.7

顯然A.8C和互獨立

P(AB^BC+CA+ABC)

-P(ABiBC^CA]

-PiAByiP(BC)?P(CA)

?P(A)P(B)^F(B)P(C)

-P(C)P(A)-2p(A)P(B)P(C)

=0.902

57.某工廠生產的100個零件中有5個次品，采用不放回抽樣，每次任取一個，求（i）第一次抽

次品.（1）第一次和第二次都抽到次品（2）第一，二，三次都抽到次品.

陰：尸（A）==

P(AB)P(A)KB/A)

_541

=KX)99=455

P(ABC)P(AP(lilA)P(C/AB)

54q.I

-1009998-16170

P<B+C)=0.8^4-fiC)

制r.-A>B.A>C:.A>BC

58.若AB,A>C,P(A)二。9,.?皈一.?中)TBG

-----------------------------------------------------------=7P>(A(A)-()l-BPOSO)I

=P(A)-[\-PB+C)\

=0.9-(!-0.8)=0.7

59.對以往數(shù)據(jù)進行分析，結果表明，當機器調整良好時，產品的合格率為30%,每天早上機器

開動時，機器調整良好的概率為75%。設某日早上第一件產品是合格品，試問機器調整得主奶好

的概率是多少？

解：設A為?產合格”8為'機器

謂整良好”.則RA/B)=0.9.

P(A)B)=0.3,AB)=0.75所求

的概率為AB/八)

_，陰RA")

—P(B)P(A/B)+P(B)P(A(B)

---------0.75x0,9_

0.75x0.9+025x0.3'

60.房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的胸章，任選三人記錄共胸章的號，求（1）最小

號碼為5;（2）最大號碼煤礦的概率。

解:⑴

H-4

61.一個工人看管12臺同一類型的機器，在一段時間內每臺機器需工人維修的概率為？，求這

段時間內至少有兩臺機器需要工人維修的概率。一

解:設&為“K臺機器需維修”,則

叱=哈(#舄『

=+2

4"

0.341

62.制帽廠生產帽子合格率為08,一盒中裝有帽子4頂.一個采購員從每盒中隨機地取出兩頂

帽子進行檢臉，若兩頂帽子都合格，則買下這盒帽子，求每盒帽子被買下的概.率。

解：設B為“一盒帽子被買下“，Ai為“一盒帽子中有I頂帽子合格”。則

P(Aj)=C^(O.8,(O.2)4-/

(i=0.l,2.3,4)

P(B/^)=W=O.I)

C?

P(即g=T：j=234)

r4

4

用々)

；=0

-￡cikO&GO.2)4-q與

吃C1

=0.64

63.某種電子元件的壽命X(以小時計)服從正態(tài)分布，口，o?均未知，現(xiàn)