概率論的發(fā)展史

摘要：概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)科。它起源于十七世紀(jì)中葉，

當(dāng)時(shí)刺激數(shù)學(xué)家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。費(fèi)馬、帕斯卡、

惠更斯對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了首先的研究與討論，科爾莫戈羅夫等數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行了公

理化。后來，由于社會(huì)和工程技術(shù)問題的需要，促使概率論不斷發(fā)展，隸莫弗、拉

普拉斯、高斯等著名數(shù)學(xué)家對(duì)這方面內(nèi)容進(jìn)行了研究。發(fā)展到今天，概率論和以它

作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及生

產(chǎn)生活實(shí)際等諸多領(lǐng)域中起著不可替代的作用。

關(guān)鍵詞：概率論公理化隨機(jī)現(xiàn)象賭博問題

17世紀(jì)資本主義經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)的興起，給歐洲數(shù)學(xué)注入了新的活

力，歐洲數(shù)學(xué)家們開始以前所未有的熱情投入到數(shù)學(xué)科學(xué)的研究中去。在這一個(gè)世

紀(jì)里，他們不僅建立起了以解析幾何和微積分為代表的變量數(shù)學(xué)，進(jìn)一步研究現(xiàn)實(shí)

世界中的必然現(xiàn)象及其規(guī)律，而且還開始了對(duì)偶然現(xiàn)象的研究，這就是所謂的概率

論。記得大數(shù)學(xué)家龐加莢說過：“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，正確的方法是研究它的歷

史和現(xiàn)狀。”

一、概率論的起源

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)科。十分有趣的是，這樣一門重要

的數(shù)學(xué)分支，竟然起源于對(duì)賭博問題的研究。

1653年的夏天，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡(BlaisePascal,1623—

—1662)前往浦埃托鎮(zhèn)度假，旅途中，他遇到了“賭壇老手”梅累。為了消除旅途

的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”的問題。問題是這樣的一

——次，梅累與其賭友賭擲骰弓，每人押了32個(gè)金幣，并事先約定：如果梅累先擲

出三個(gè)6點(diǎn)，或其賭友先擲出三個(gè)4點(diǎn)，便算贏家。遺憾的是，這場(chǎng)賭注不算小的賭

博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅累擲出兩次6點(diǎn)，其賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅累接到通知，

要他馬上陪同國(guó)王接見外賓。君命難違，但就此收回各自的賭注又不甘心，他們只

好按照已有的成績(jī)分取這64個(gè)金幣。這下可把他難住了。所以，當(dāng)他碰到大名鼎鼎

的帕斯卡，就迫不及待地向他請(qǐng)教了。然而，梅累的貌似簡(jiǎn)單的問題，卻真正難住

他了。雖然經(jīng)過了長(zhǎng)時(shí)間的探索，但他還是無法解決這個(gè)問題。

1654年左右，帕斯卡與費(fèi)馬在一系列通信中討論了類似的“合理分配賭金”的

問題。該問題可以簡(jiǎn)化為：

甲、乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙

得一點(diǎn)，先積滿3點(diǎn)者贏取全部賭注。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于笑種原

因中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理。

帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，所以

這兩種情況平均一下，乙勝，甲、乙平分賭注。甲應(yīng)得賭金的3/4,乙得賭金的1/4。

費(fèi)馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況：

情1234

況

勝甲甲乙乙甲乙乙

者甲

前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。所以甲分得賭金的

3/4,乙得賭金的1/4。

帕斯卡與費(fèi)馬用組合方法給出了正確解答。雖然他們?cè)诮獯鹬袥]有明確定義概

念，但是，他們定義了使某賭徒取勝的機(jī)遇，也就是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)

的比，這實(shí)際上就是概率，所以概率的發(fā)展被認(rèn)為是從帕斯卡與費(fèi)馬開始的。后來

他們還研究了更復(fù)雜的在多個(gè)賭徒間分賭注的問題。

1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡與費(fèi)馬的工作詳

情之后，也饒有興趣地參加了他們的討論，討論的情況與結(jié)果被惠更斯總結(jié)成《關(guān)

于賭博中的推斷》（1657年）一書，這是公認(rèn)的有關(guān)或然數(shù)學(xué)的奠基之作。

二、概率論的公理化

俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮?米西斯（R.vonMises,18837953）對(duì)概

率論的理論化做了最早的嘗試，但它們提出的公理理論并不完善。事實(shí)上，真正嚴(yán)

格的公理化概率論只有在測(cè)度論和實(shí)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。這方面的先行

者是法國(guó)數(shù)學(xué)家博雷爾EBore1,17817956）他首先將測(cè)度論方法引入概率論重要

問題的研究，1909年他提出并在特殊情形下解決了隨機(jī)變量序列§1,§2,服

從大數(shù)定律的條件問題。他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。

特別是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。他在1926年推倒了弱大數(shù)定律

成立的充分必要條件。后又對(duì)博雷爾提出的強(qiáng)大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，

從而解決了概率論的中心課題之-----大數(shù)定律，成為以測(cè)度論為基礎(chǔ)的概率論公

理化的前奏。

1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概率論的一部經(jīng)

典性著作。在科爾莫戈羅夫的公理化理論中，對(duì)于城中的每一個(gè)事件，都有一個(gè)確

定的非負(fù)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)數(shù)就叫做該事件的榻率。在這里，概率論的定義同樣

是抽象的，并不涉及頻率或其他任何有具體背景的^念。他還提出了6條公理，之后

的整個(gè)概率論大廈都可以從這6條公理開始建起?？茽栍⒏炅_夫的公理系也因此逐漸

獲得了數(shù)學(xué)家們的普遍承認(rèn)?？茽柲炅_夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅

僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的

貢獻(xiàn)，同時(shí)，他還是出包的教育家。他多次獲得國(guó)際大獎(jiǎng)，1965年，他把得到的國(guó)

際巴桑獎(jiǎng)金全數(shù)捐贈(zèng)給學(xué)校圖書館，1980年他榮獲沃爾夫獎(jiǎng)。

概率論的公理化，使其成為了一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，取得了與其他數(shù)學(xué)分支同

等的地位，并通過集合論與其他數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系著。

三、概率論的進(jìn)一步發(fā)展

概率論本質(zhì)上是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門科學(xué)。這類現(xiàn)象與必然科學(xué)極然不同，他

的條件與結(jié)果之間并不存在某種必然的聯(lián)系，也就是說，在相同的條件下，可能會(huì)

發(fā)生某一結(jié)果，也可能不發(fā)生這一結(jié)果。例如投擲一枚硬幣，既可能正面朝上，也

可能反而朝上。但是，這并不意味著就不能用數(shù)量夾描述和研究它們。投擲硬幣，投

擲一次似乎沒有什么規(guī)律性可言，但當(dāng)它們大量出現(xiàn)時(shí)，在總體上卻會(huì)呈現(xiàn)出某種

規(guī)律，我們就稱這種總體上的規(guī)律性為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，它的存在構(gòu)成了或然數(shù)學(xué)研究

的基礎(chǔ)。

關(guān)于概率論方法的討論最初是由帕斯卡和費(fèi)馬二人以通信的形式展開的。它們

雖然沒有提出明確的概念定義，但他們?cè)诠烙?jì)賭徒獲勝的可能性時(shí)，總是利用有利

情形數(shù)與所有可能數(shù)之比來做，這實(shí)質(zhì)上就是早期古典概率的概念。他們會(huì)同惠更

斯一起，給出了概率、數(shù)學(xué)期望等基本概念的雛形，并得到相應(yīng)的性質(zhì)和計(jì)算方法，

這些都表明，當(dāng)時(shí)概率已成為具有本身特定研究對(duì)象的一門獨(dú)立學(xué)科。

后來，由于概率論在保險(xiǎn)理論、人口統(tǒng)計(jì)、射擊理論、年度預(yù)算、產(chǎn)品檢驗(yàn)以

及天文學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用，很快引起了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，概率論的發(fā)展也

隨之進(jìn)入了一個(gè)嶄新的階段。

1718年，法國(guó)教學(xué)家隸莫弗(DeMoivre,Abraham,1667—1754)發(fā)表了《機(jī)遇

原理》，他首次定義了獨(dú)立事件的乘法定理，給出二項(xiàng)分布公式，并討論了許多投

擲骰子和其他賭博的問題。

1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機(jī)過程——馬爾可夫

過程的理論基礎(chǔ)。在科爾莫戈羅夫之后，對(duì)隨機(jī)過程的研究做出重大貢獻(xiàn)而影響著

整個(gè)現(xiàn)代概率論的重要代表人物還有萊維、辛欽、杜布和伊藤清等。1948年萊維出

版的著作《隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)》提出了獨(dú)立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)

極大地推進(jìn)了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動(dòng)的研究。1934年，辛欽提出平

穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.ViIIe)引進(jìn)“鞅”的概念，1950年起，杜布對(duì)

鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨(dú)立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)

家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了隨機(jī)過程研究的新道路，而

且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。像任何一門公理化的數(shù)學(xué)

分支一樣，公理化的榻率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。

值得我們高興的是，我國(guó)數(shù)學(xué)家在概?率論的研究方面也取得了許多重要的成

果。數(shù)學(xué)家侯振廷年輕時(shí)發(fā)表的著名論文《Q過程的唯一性準(zhǔn)則》得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者

的高度評(píng)價(jià)，榮獲1978年度的英國(guó)戴維遜獎(jiǎng)。

四、概率論的應(yīng)用

數(shù)學(xué)家們通過大量的同類型隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從中揭示出概率論某種確定的規(guī)

律，而這種規(guī)律性又是許多客觀事物所具有的，所以，概率論應(yīng)用也隨之?dāng)U寬了。

眾所周知，接種牛痘是增強(qiáng)機(jī)體抵抗力、預(yù)防天花等疾病的有效方法，然而，

當(dāng)牛痘開始在歐洲大規(guī)模接種之際，它的副作用引起了人們的爭(zhēng)議。為了探求事情

的真相，伯努利家族的另一位教學(xué)家丹尼爾?伯努利根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，應(yīng)用概1

率論的方法，得出了接種牛痘能延長(zhǎng)人的平均壽命三年的結(jié)論，從而消除了人們的

恐懼與懷疑，為這一杰出的醫(yī)學(xué)成果在世界范圍內(nèi)普及掃除了障礙。

現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)一起，在自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)，工

程技術(shù)，軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中起著不可或缺的作用。

直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機(jī)制造，宇宙飛船遨游太空等都有概率論

的一份功勞；及時(shí)準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，海洋探險(xiǎn)，考古研究等更離不開概率論與數(shù)量

統(tǒng)計(jì)：電子技術(shù)的發(fā)展，影視文化的進(jìn)步，人口普查及教育等同概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

也是密不可分的。例如，天氣預(yù)報(bào)的制作中就有一種統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)法，它是在大氣動(dòng)力

學(xué)、熱力學(xué)、氣候?qū)W和預(yù)報(bào)員時(shí)間經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，再

利用電子計(jì)算機(jī)，根據(jù)歷史資料制作概率天氣預(yù)報(bào)。它所提供的不是某種天氣現(xiàn)象

的“有”或“無“，某種氣象要素值“大”或“小”，而是天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性

有多大。如對(duì)降水的預(yù)報(bào)，傳統(tǒng)的天氣預(yù)報(bào)一般預(yù)報(bào)有雨或無雨，而概率預(yù)報(bào)則給

出可能出現(xiàn)降水的百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)越大，出現(xiàn)降水的可能性越大。

根據(jù)概率論中用投針試驗(yàn)估計(jì)n值思想產(chǎn)生的蒙特卡羅方法（這是一種建立在

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上的計(jì)算方法），借助電子計(jì)算機(jī)這一工具，使這種方法在

核物理、表明物理、電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)等學(xué)科的研究中起著重要的作用。

概,率論理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，這一數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重視，以后將會(huì)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而得到發(fā)展。

五、概率論的歷史評(píng)價(jià)

到17世紀(jì)時(shí)，不少學(xué)者已對(duì)賭博中的某些問題進(jìn)行了討論，并挖掘了其白的數(shù)

學(xué)原理。但對(duì)當(dāng)時(shí)的大多數(shù)學(xué)家來說，概率論是庸俗的賭博游戲，難登大雅之堂。是

社會(huì)的發(fā)展及其需要，才推動(dòng)了概率論的發(fā)展。如果沒有社會(huì)的需要，概率論至今恐

怕仍然只能在牌桌上顯示神通。我覺得“概,率論產(chǎn)生于賭博”這個(gè)觀點(diǎn)是不完全對(duì)

的,“賭博問題”和“理性思考”是概率論產(chǎn)生的兩個(gè)必要條件，而后者更重要。

與其它數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展一樣，概率論的形成與發(fā)展推動(dòng)了新的教學(xué)思想

和方法形成，如隨機(jī)思想、假設(shè)檢驗(yàn)思想等等。同時(shí)，新的數(shù)學(xué)思想與方法又極大

地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，正因?yàn)橛泄砘枷胱髦笇?dǎo)，概,率論才得以發(fā)展成為一門嚴(yán)

格的演繹科學(xué)。四百年以前“賭注下在多少點(diǎn)最有利？”的問題，現(xiàn)在看起來實(shí)在

簡(jiǎn)單不過了，但在當(dāng)時(shí)，由于基本思想與方法的局限性，雖然有許多人為此進(jìn)行不

懈地探索，卻很難有大的突破。因此，從某種意義上說，概率論的形成與發(fā)展實(shí)質(zhì)

也是新的數(shù)學(xué)思想和方法的形成與發(fā)展的歷史。

了解概率論的歷史有助于我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用才既率論這一重要的數(shù)學(xué)分支。正如拉

普拉斯所說：“一門開始于研究賭博機(jī)會(huì)的科學(xué)，居然成了人類知識(shí)中最重要的學(xué)

科之一，這無疑是令人驚訝的事情

概率論發(fā)展簡(jiǎn)史

一、歷史背景：

17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，

向自然界和社會(huì)生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長(zhǎng)點(diǎn)，而后

都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時(shí)期”使歐

幾里得幾何相形見細(xì)”的若干重大成就之一。

二、概率論的起源：

概,率論是一門所究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。

它起源于對(duì)賭博問題的研究。早在16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等

人就已從數(shù)學(xué)甭度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時(shí)的人口、保險(xiǎn)

業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概,念的要旨也不明確，干是很

快被人淡忘了。

概率概念的要旨只是在17世紀(jì)中葉法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論日才比

較明確。他們?cè)谕鶃淼男藕杏懻摗焙侠矸峙滟€注問題”。該問題可以簡(jiǎn)化為：

甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙

得一點(diǎn)，先積滿3點(diǎn)者嬴取全部賭注。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于某種原

因中止了，問應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理。

帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，所以

這兩種情況平均一下，

乙勝，甲、乙平分賭注

甲應(yīng)得賭金的3/4,乙得賭金的1/4。

費(fèi)

馬：結(jié)

束賭

局至

多還

要2

局，

結(jié)果1234

為四

種等

可能

情況：

情

況

勝甲甲

乙甲乙乙

者甲乙

前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。所以甲分得賭金的

3/4,乙得賭金的1/4。

帕斯卡與費(fèi)馬用各自不同的方法解決了這個(gè)問題。雖然他們?cè)诮獯鹂跊]有

明確定義概念，但是，他們定義了使某賭徒取勝的機(jī)遇，也就是贏得情況數(shù)與所有

可能情況數(shù)的比，這實(shí)標(biāo)上就是概率，所以概率的發(fā)展被認(rèn)為是從帕斯卡與費(fèi)馬開

始的。

三、概率論在實(shí)踐中曲折發(fā)展：

在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念

以及它們的基本性質(zhì)。后來由于許多社會(huì)問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計(jì)、保

險(xiǎn)理論、天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等。這些問題的提法，均促進(jìn)

了概率論的發(fā)展，從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、

切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。在這段時(shí)

間里，概率論的發(fā)展簡(jiǎn)直到了使人著迷的程度。但是，隨著概率論中各個(gè)領(lǐng)域獲得

大量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的^

率定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象。因此可以說，

到20世紀(jì)初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為

一個(gè)數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。

四、概率論理論基岫的建立：

談及概率論的產(chǎn)生，我們必須得提及瑞士數(shù)學(xué)家族——貝努利家族的幾位

成員，特別是雅可布？貝努利(JacobBernoulli,1654-1705),概率論的第一本專

著是1713年問世的雅各?貝努利的《推測(cè)術(shù)》。經(jīng)過二十多年的艱難研究，貝努利在

該書中，表述并證明了著名的“大數(shù)定律“。所謂“大數(shù)定律”，簡(jiǎn)單地說就是，當(dāng)實(shí)

驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。這一定理第一次

在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向

更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。遺憾的是，在雅可

布？貝努利逝世八年后的1713年，他的研究大作《猜度術(shù)》才正式出版。

之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家棣莫弗(Abraham?DeMoivre,16677754)把概率論又作

了巨大推進(jìn)，他在1718年發(fā)表的《機(jī)遇原理》一書中提出了概率乘法法則，以及“正

態(tài)分布”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”建立奠定了基礎(chǔ)。

值得一提的是，棣莫弗還于1730年出版的概率著作《分析雜錄》中使用了概率積分，

得出了n階瓶的級(jí)數(shù)表達(dá)式°他還干1725年出版專門論著，把概率論首次應(yīng)用干保

險(xiǎn)事業(yè)上。

1760年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐(ComtedeBuffon,1707-1788)的《偶然性的算術(shù)

試驗(yàn)》出版，他把概率和幾何結(jié)合起來，開始了幾何概,率的研究。著名的投針實(shí)險(xiǎn)

便是他于1777年提出的，利用這一實(shí)臉，他采取概率的方法嘗試求求圓周率n的近

似值。

19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(SimonLaplace,17497827)、德國(guó)數(shù)學(xué)家高

斯(Gauss,1777-1855)、法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等為概率論建方

完整的體系和更為廣泛的應(yīng)用做了進(jìn)一步奠基性工作。特別是拉普拉斯，他是嚴(yán)密

的、系統(tǒng)的科學(xué)概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的《概率的分析理論》中，

拉普拉斯以強(qiáng)有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從組合技巧向分析

方法的過渡，使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開辟了概率論發(fā)展的新時(shí)期。拉普拉斯有

一句名言，現(xiàn)在不少論及概率論在中小學(xué)教學(xué)教學(xué)中的意義的論文都引有這句話，

這句話是：“生活中最直要的問題，其中大多數(shù)只是概率問題”。

概率論自問世之后，即充分顯示了它巨大的應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)時(shí)，牛痘在歐洲大規(guī)

模接種后，曾因副作用引起爭(zhēng)議。丹尼爾?貝努里(DanielBernoulIi,1700—1782)

根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)資料，作出了種牛痘能延長(zhǎng)人類平均壽命三年的結(jié)論，消除了一些

人的恐懼和懷疑；歐拉(Euler,1707-1783)將概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計(jì)和保險(xiǎn)，寫

出了《關(guān)于死亡率和人口增長(zhǎng)率問題的研究》，《關(guān)于孤兒保險(xiǎn)》等文章；泊松將

概率應(yīng)用于射擊的各種問題的研究，提出了《打靶概率研究報(bào)告》等等。也正因?yàn)?/p>

概率論有其巨大的應(yīng)用價(jià)值，使得它成為18和19兩個(gè)世紀(jì)的熱門學(xué)科之一，幾乎所

有的科學(xué)領(lǐng)域，包括神學(xué)等社會(huì)科學(xué)都企圖借助于概率論去解決問題。但是，事物

都是具有兩面性的，因?yàn)檫^于強(qiáng)調(diào)概率論的應(yīng)用價(jià)值，也在一定程度上形成了“濫

用”的現(xiàn)象，以至到19世紀(jì)末，人們不得不重新對(duì)概率論進(jìn)行審視，客觀上促進(jìn)了

人們積極地尋求概率論的邏輯基礎(chǔ)。

為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著

名的《概率論的基本概念》，用公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上

的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

五、概率論的應(yīng)用：

發(fā)展到今天，概率論和以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會(huì)

科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及生產(chǎn)生活實(shí)際等諸多領(lǐng)域中都起著不可替代的作用。

例如，天氣預(yù)報(bào)的制作就有一種統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)法，它是在大氣動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、氣候?qū)W

和預(yù)報(bào)員時(shí)間經(jīng)臉的基礎(chǔ)上，應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，利用電子計(jì)算機(jī)，根據(jù)

歷史資料制作天氣預(yù)報(bào)。用這種方法制作的天氣預(yù)報(bào)稱為概率天氣預(yù)報(bào)，即用概率

值表示預(yù)報(bào)量出現(xiàn)可能性的大小，它所提供的不是某種天氣現(xiàn)象的”有“或“無"，某

種氣象要素值“大“或“小。而是天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性有多大。如對(duì)降水的預(yù)報(bào)，

傳統(tǒng)的天氣預(yù)報(bào)一般預(yù)報(bào)有雨或無雨，而^率預(yù)報(bào)則給出可能出現(xiàn)降水的百分?jǐn)?shù)，

百分?jǐn)?shù)越大，出現(xiàn)降水的可能性越大。概率天氣預(yù)報(bào)既反映了天氣變化確定性的一

面，又反映了天氣變化的不確定性和不確定程度。在許多情況下，這種預(yù)報(bào)歷式更

能適應(yīng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和軍事活動(dòng)中決策的需要。這種預(yù)報(bào)法預(yù)報(bào)量的概率值。

與其它數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展一樣，概率論的形成與發(fā)展推動(dòng)了新的數(shù)學(xué)思想

和方法形成，如隨機(jī)思想、假設(shè)檢驗(yàn)思想等等。同時(shí)，新的數(shù)學(xué)思想與方法又極大

地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，正因?yàn)橛泄砘枷胱髦笇?dǎo)，概,率論才得以發(fā)展成為一門嚴(yán)

格的演繹科學(xué)c四百年以前“賭注下在多少點(diǎn)最有利？”的問題，現(xiàn)在看起來實(shí)在

簡(jiǎn)單不過了，但在當(dāng)時(shí)，由于基本思想與方法的局限性，雖然有許多人為此進(jìn)行不

懈地探索，卻很難有大的突破。因此，從某種意義上說，概率論的形成與發(fā)展實(shí)質(zhì)

也是新的數(shù)學(xué)思想和方法的形成與發(fā)展的歷史。

正如我國(guó)在近現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展中地位不高一樣，概率論沒能在我國(guó)產(chǎn)生與發(fā)

展。概率論傳入我國(guó)的歷史也不長(zhǎng)，在上個(gè)世紀(jì)初才傳入我國(guó)。1905年京師大學(xué)堂

的數(shù)學(xué)教科學(xué)《普通代數(shù)學(xué)》中有概率問題的討論。上個(gè)世紀(jì)30、40年代在我國(guó)產(chǎn)

生廣泛影響的《范氏大代數(shù)》一書中有不少對(duì)古典概率的討論。50年代，我國(guó)的數(shù)

學(xué)教育以學(xué)習(xí)前蘇聯(lián)為主，概率論被從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“驅(qū)逐出境”，到了60年

代，我國(guó)曾把作為大學(xué)內(nèi)容的概率初步知識(shí)下放到中小學(xué)教材，由于是將大學(xué)數(shù)學(xué)

下放到中小學(xué)，終因其理論要求過高、內(nèi)容過深，與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平之

間存在過大差距而“水土不服”，以至沒能在中小學(xué)站住腳。雖然在80年代，教育

界曾關(guān)注過概率統(tǒng)計(jì)在中小學(xué)的教學(xué)，但由于當(dāng)時(shí)的概率只是高中的選學(xué)內(nèi)容，高

考不考，教師不教，學(xué)生不學(xué)，概率教學(xué)難免形同虛設(shè)。直到最近幾年，教育界才

真正關(guān)注并重視了概率論的教育價(jià)值，以前所未有的地位將它寫入《數(shù)學(xué)課程標(biāo)

準(zhǔn)》。

為了使大家更直觀的了解概率論的應(yīng)用，下面我給大家舉一個(gè)概率論在社

會(huì)調(diào)查中應(yīng)用的例子。對(duì)于某些被調(diào)查不愿公開回答的問題，運(yùn)用概率論的方法可

以得到較準(zhǔn)確的結(jié)論。速個(gè)例子，對(duì)一批即將出國(guó)留學(xué)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，確定學(xué)業(yè)

完成后愿意回國(guó)者所占的比例。對(duì)于"完成學(xué)業(yè)后，你是否會(huì)回國(guó)”這一問題，很多

人不希望透露自己的真實(shí)想法。為了得到正確的結(jié)論，我們將問題稍加調(diào)整，將”

完成學(xué)業(yè)后，你是否會(huì)回國(guó)”定位問題a,另設(shè)問題b:“你的年齡是奇數(shù)，將a、b

組成一組問題，讓被調(diào)查者拋硬幣決定回答問題a或b,并且在問卷上不標(biāo)示被調(diào)

查者回答的是問題a還是問題b。解除了顧慮后，被調(diào)查者都會(huì)給出真實(shí)的想法。

然后，運(yùn)用概率論方法，我們就可以從調(diào)查結(jié)果中得到我們想知道的回國(guó)者比例。

假定有300人接受調(diào)查，結(jié)果有130個(gè)“是”。因?yàn)楸徽{(diào)查者回答問題a、b的概率各是

50%,所以將各有約150人回答a或b問題。又被調(diào)查者年齡是奇數(shù)的概,率各是50%,

所以150個(gè)回答b問題的人中，約有75個(gè)“是“。那么130個(gè)"是"的答案中，約有55個(gè)”

是”是問題a的答案，于是我們就可以得到完成學(xué)業(yè)后愿意回國(guó)者的比例約55/150

即11/30。

現(xiàn)在，概率論已發(fā)展成為一門與實(shí)際緊密相連的理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)。它

內(nèi)容豐富，結(jié)論深刻，有別開生面的研究課題，由自己獨(dú)特的概念和方法，已經(jīng)成

為了近代數(shù)學(xué)一個(gè)有特色的分支。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門隨機(jī)數(shù)學(xué)分支，它們是

密切聯(lián)系的同類

17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然

界和社會(huì)生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長(zhǎng)點(diǎn)，而后都發(fā)展

成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時(shí)期”使歐幾里得

幾何相形見細(xì)”的若干重大成就之一。

關(guān)鍵詞：

概率論、起源、分支

概率論發(fā)展史

一、歷史背景

17、18世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進(jìn)步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向

自然界和社會(huì)生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長(zhǎng)點(diǎn)，而后都

發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時(shí)期“使歐幾

里得幾何相形見結(jié)”的若干重大成就之一。

二、概率論的起源：

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。

概率論起源于博弈問題。1576世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利

(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亞(N.TartagIia,1499-1557)和卡爾丹

(G.cardano,15017576)的著作中都曾討論過倆人賭博的賭金分配等概率問題。1657

年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huygens,16297695)發(fā)表了《論賭博中的計(jì)算》，這是最

早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標(biāo)志著

概率論的誕生。而概率論最為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，真正的奠基人是雅格布?伯努

利(JacobBernoulIi,16547705)。他在遺著《猜度術(shù)》中首次提出了后來以“伯努

利定理”著稱的極限定理，在概率論發(fā)展史上占有重要地位。

伯努利之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(A.deMoivre,16677754)把梭,率論又作了巨大推

進(jìn)，他提出了概率乘法法則，正態(tài)分布和正態(tài)分布率的概念，并給出了概率論的一

些重要結(jié)果。之后法國(guó)教學(xué)家蒲豐(C.deBuffon,1707-1788)提出了著名的“普豐問

題”，引進(jìn)了幾何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,17817840)

等對(duì)概率論做出了進(jìn)一步奠基性工作。特別是拉普拉斯，他是嚴(yán)密的、系統(tǒng)的科學(xué)

概率論的最卓越的創(chuàng)建者，在1812年出版的《概率的分析理論》中，拉普拉斯以強(qiáng)

有力的分析工具處理了概率論的基本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡，

使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化，開辟了概率論發(fā)展的新時(shí)期。泊松則推廣了大教定理，

提出了著名的泊松分布。

19世紀(jì)后期，極限理論的發(fā)展稱為概率論研究的中心課題，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫?qū)?/p>

此做出了重要貢獻(xiàn)。他建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律，推廣了棣英弗一

拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學(xué)生馬爾可夫發(fā)揚(yáng)光大，影響了20世

紀(jì)概率論發(fā)展的進(jìn)程。

19世紀(jì)末，一方面概率論在統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對(duì)概,率論基本概念與原理

進(jìn)行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們?cè)谶@一時(shí)期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出

古典概率論中基木概念存在的矛盾與含糊之處。這些問瓶卻強(qiáng)烈要求對(duì)概率論的邏

輯基礎(chǔ)做出更加嚴(yán)格的考察。

三、概率論在實(shí)踐中曲折發(fā)展：

在概率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機(jī)變量等重要概念以及

它們的基本性質(zhì)。后來由于許多社會(huì)問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)理

論、天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制等。這些問題的提法，均促進(jìn)了概

率論的發(fā)展，從17世紀(jì)到19世紀(jì)，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切

貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對(duì)概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)。在這段時(shí)間

里，概率論的發(fā)展簡(jiǎn)直到了使人著迷的程度。但是，隨著概率論中各個(gè)領(lǐng)域獲得大

量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯紿出的概率

定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象。因此可以說，

到20世紀(jì)初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為

一個(gè)數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。

四、概,率論理論基礎(chǔ)的建立：

稷率論的第一本專著是1713年問世的雅各?貝努利的《推測(cè)術(shù)》。經(jīng)過二十多年

的艱難研究，貝努利在該樹種，表述并證明了著名的“大數(shù)定律“。所謂“大數(shù)定律”，

簡(jiǎn)單地說就是，當(dāng)實(shí)臉次數(shù)很大時(shí)，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很

小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)度量之間建立了演繹關(guān)系，

構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。

為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著

名的《概率論的基本概念》，用公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上

的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

五、概率論的應(yīng)用：

20世紀(jì)以來，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推

動(dòng)，概,率論飛速發(fā)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十

年中，概率論的方法被引入各個(gè)工程技術(shù)學(xué)科和社會(huì)學(xué)科。目前，概率論在近代物

理、自動(dòng)控制、地震預(yù)報(bào)和氣象預(yù)報(bào)、工廠產(chǎn)品質(zhì)量控制、農(nóng)業(yè)試驗(yàn)和公用事業(yè)等

方面都得到了重要應(yīng)用。有越來越多的概率論方法被引入導(dǎo)經(jīng)濟(jì)、金融和管理科學(xué)，

概率論成為它們的有力工具。

為了使大家更直觀的了解概率論的應(yīng)用，下面我給大家舉一個(gè)概率論在社會(huì)調(diào)

查中應(yīng)用的例子。對(duì)于要些被調(diào)查不愿公開回答的問題，運(yùn)用概率論的方法可以得

到較準(zhǔn)確的結(jié)論。舉個(gè)例子，對(duì)一批即將出國(guó)留學(xué)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，確定學(xué)業(yè)完成

后愿意回國(guó)者所占的比例。對(duì)于"完成學(xué)業(yè)后，你是否會(huì)回國(guó)”這一問題，很多人不

希望透露自己的真實(shí)想法。為了得到正確的結(jié)論，我們將問題稍加調(diào)整，將”完成學(xué)

業(yè)后，你是否會(huì)回國(guó)“定位問題a,另設(shè)問題b:"你的年齡是奇數(shù)”。將a、b組成一

組問題，讓被調(diào)查者拋硬幣決定回答問題a或b,并且在問卷上不標(biāo)示被調(diào)查者回

答的是問題a還是問題b。解除了顧慮后，被調(diào)查者都會(huì)給出真實(shí)的想法。然后，運(yùn)

用概率論方法，我們就可以從調(diào)查結(jié)果中得到我們想知道的回國(guó)者比例。假定有300

人接受調(diào)查，結(jié)果有130個(gè)“是“。因?yàn)楸徽{(diào)查者回答問題a、b的概率各是50%,所以

將各有約150人回答a或b問題。又被調(diào)查者年齡是奇數(shù)的概率各是50%,所以150

個(gè)回答b問題的人中，約有75個(gè)”是“。那么130個(gè)”是“的答案中，約有55個(gè)“是“是問

題a的答案，于是我們就可以得到完成學(xué)業(yè)后愿意回國(guó)者的比例約55/150即11/30。

六、概率論的公理化

俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和集地利數(shù)學(xué)家馮?米西斯(R.vonMises,18837953)對(duì)概率論

的嚴(yán)格化做了最早的嘗試。但它們提出的公理理論并不完善。事實(shí)上，真正嚴(yán)格的

公理化概率論只有在測(cè)度論和實(shí)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。測(cè)度論的奠基人，

法國(guó)數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Bore1,1781-1956)首先將測(cè)度論方法引入概,率論重要問題的

研究，并且他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特別是原蘇聯(lián)

數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。他在1926年推倒了弱大數(shù)定律成立的充分必

要條件。后又對(duì)博雷爾提出的強(qiáng)大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，從而解決了概

率論的中心課題之-----大數(shù)定律，成為以測(cè)度論為基礎(chǔ)的概率論公理化的前奏。

19334，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概率論的一部經(jīng)典性

著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列基本概念，提出了六條公

理，整個(gè)概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐

漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)可。由于公理化，概率論成為一門嚴(yán)格的演繹科學(xué)，并通

過集合論與其它數(shù)學(xué)分支密切地聯(lián)系者?？茽柲炅_夫是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之

一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)

或奠基性的貢獻(xiàn)，同時(shí)，他還是出色的教育家。由于概率論等其它許多領(lǐng)城的杰出

貢獻(xiàn)，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎(jiǎng)。

七、進(jìn)一步的發(fā)展

在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機(jī)過

程的研究獲得了新的起點(diǎn)。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的

隨機(jī)過程——馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)。

科爾莫戈羅夫之后，對(duì)隨機(jī)過程的研究做出重大貢獻(xiàn)而影響著整個(gè)現(xiàn)代榻率論的重

要代表人物有萊維(P.Levy,18867971)、辛欽、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。1948

年萊維出版的著作《隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)》提出了獨(dú)立增量過程的一般理論，并以

此為基礎(chǔ)極大地推進(jìn)了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運(yùn)動(dòng)的研究。1934年，辛

欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.VilIe)引進(jìn)“鞅”的概念，1950年起，

杜布對(duì)鞅概念進(jìn)行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨(dú)立的分支。從1942年開始，日

本數(shù)學(xué)家伊藤清引進(jìn)了隨機(jī)積分與隨機(jī)微分方程，不僅開辟了隨機(jī)過程研究的新道

路，而且為隨機(jī)分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

像任何一門公理化的數(shù)學(xué)分支一樣，公理化的概,率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。

概率論的產(chǎn)生

34567

希羅多

德在他

的巨著

《歷

史》中

記錄

到，早

在公元

前1500

年，埃

及人為

了忘卻

饑餓，

經(jīng)常聚

集在一

起擲骰

子，游

戲發(fā)展

到后

來，至"

了公元

前1200

年，有

了立方

體的骰

子，6

個(gè)面上

亥4上數(shù)

字，和

現(xiàn)代的

賭博工

具已經(jīng)

沒有了

區(qū)別。

但概率

論的概（

念直到

文藝復(fù)

興后才

出現(xiàn)，

概率論

出現(xiàn)如

此遲

緩，有

人認(rèn)為

是人類

的道德

規(guī)范影

響了對(duì)

賭博的

研究一

一既然

賭博被

視為不

道德

的,刃門

么將機(jī)

會(huì)性游

戲作為

科學(xué)研

究的對(duì)

象也就

是大逆

不道。

第

一個(gè)有

意識(shí)地

計(jì)算賭

博勝算

的是文

藝復(fù)興

時(shí)期意

大利醫(yī)

生、數(shù)

學(xué)家卡

當(dāng)。據(jù)

說卡當(dāng)

曾參加

過這樣

的一種

賭法：

把兩顆

骰子擲

出去，

以每個(gè)

骰子朝

上的點(diǎn)

數(shù)之和

作為賭

的內(nèi)

容.已

知骰子

的六個(gè)

面上分

別為

1?6

點(diǎn)，那

么，賭

注下在

多少點(diǎn)

上最有

利？

2

345678

456789

5678910

67891011

789101112

兩個(gè)骰子朝上的面共有36種可能，點(diǎn)數(shù)之和分別可為2?12共11種.從圖中可知，7

是最容易出現(xiàn)的和數(shù)，它出現(xiàn)的概率是□.

卡當(dāng)曾預(yù)言說押7最好.

現(xiàn)在看來這個(gè)想法是很簡(jiǎn)單的，可是在卡當(dāng)?shù)臅r(shí)代，應(yīng)該說是很杰出的思想方

法.他在一生中超過40年的時(shí)間里，幾乎每天都參與賭博，而且是帶著數(shù)學(xué)的頭腦

去觀察、去思考。最終，在一本名叫《機(jī)會(huì)性游戲手冊(cè)》的書中，他公布了調(diào)查和

思考的結(jié)果和關(guān)于賭博實(shí)踐的體會(huì)。這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后

的1663年才出版。書中巳色含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一個(gè)特殊結(jié)果

的概率是所有達(dá)到這個(gè)結(jié)果的可能方法的數(shù)目被一個(gè)事件的所有可能結(jié)果的總和所

除。

在那個(gè)時(shí)代，雖然概率論的萌芽有些進(jìn)展，但還沒有出現(xiàn)真正的概率論.十七

世紀(jì)中葉，法國(guó)貴族德?梅勒在一次和賭友擲骰子中，各押賭注32個(gè)金幣.雙方約

定，梅勒如果先擲出三次6點(diǎn)，或者賭友先擲三次4點(diǎn)，就嬴了對(duì)方.賭博進(jìn)行了一

段時(shí)間，梅勒已經(jīng)兩次擲出6點(diǎn)，賭友已經(jīng)一次擲出4點(diǎn)，這時(shí)候梅勒接到通知，要

他馬上陪同國(guó)王接見外賓，賭博只好中斷了.請(qǐng)問：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣

才算合理呢？

賭友說，他要再碰上兩次4點(diǎn)，或梅勒要再碰上一次6點(diǎn)就算贏，所以他有權(quán)

分得梅勒的一半，即梅勒分64個(gè)金幣的口，自己分64個(gè)金幣的口.梅勒爭(zhēng)辯說，

不對(duì)，即使下一次賭友擲出了4點(diǎn)，他還可以得到口，即32個(gè)金幣；再加上下一次

他還有一半希望得到16個(gè)金幣，所以他應(yīng)該分得64個(gè)金幣的口，賭友只能分得64

個(gè)金幣的口.兩人到底誰說得對(duì)呢？

于是就寫信向當(dāng)時(shí)法國(guó)的最具權(quán)威的數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教，正是這封信使概率論

向前邁出了第一步.帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家.可是，梅勒提出的“分

賭注”的問題，卻把他難住了.他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點(diǎn)眉目，于

是寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅勒的分法是對(duì)的，

他應(yīng)得64個(gè)金幣的口，賭友應(yīng)得64金幣的口.這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴

黎聽到這件新聞；也參加了他們的討論.討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論

賭博中的計(jì)算》（1657年），這就是概率論最早的一部著作.于是，一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)

分支——概率論登上了歷史舞臺(tái).

概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，最初它只是對(duì)于帶機(jī)遇性游戲的分

析，而現(xiàn)在已經(jīng)是一門龐大的教學(xué)理論，它在社會(huì)學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)等許

多領(lǐng)域發(fā)揮著十分重要的作用.

兩個(gè)骰子朝上的面共有36種可能，點(diǎn)數(shù)之和分別可為2?12共11種.從圖中可知，7

是最容易出現(xiàn)的和數(shù)，它出現(xiàn)的概率是□.

卡當(dāng)曾預(yù)言說押7最好.

現(xiàn)在看來這個(gè)想法是很簡(jiǎn)單的，可是在卡當(dāng)?shù)臅r(shí)代，應(yīng)該說是很杰出的思想方

法.他在一生中超過40年的時(shí)間里，幾乎每天都參與賭博，而且是帶著數(shù)學(xué)的頭腦

去觀察、去思考。最終，在一本名叫《機(jī)會(huì)性游戲手冊(cè)》的書中，他公布了調(diào)查和

思考的結(jié)果和關(guān)于賭博實(shí)踐的體會(huì)。這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后

的1663年才出版。書中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一個(gè)特殊結(jié)果

的概率是所有達(dá)到這個(gè)結(jié)果的可能方法的數(shù)目被一個(gè)事件的所有可能結(jié)果的總和所

除。

在那個(gè)時(shí)代，雖然概率論的曲芽有些進(jìn)展，但還沒有出現(xiàn)真正的概率論.十七

世紀(jì)中葉，法國(guó)貴族德?梅勒在一次和賭友擲骰子中，各押賭注32個(gè)金幣.雙方約

定，梅勒如果先擲出三次6點(diǎn)，或者賭友先擲三次4點(diǎn)，就贏了對(duì)方.賭博進(jìn)行了一

段時(shí)間，梅勒已經(jīng)兩次擲出6點(diǎn)，賭友已經(jīng)一次擲出4點(diǎn)，這時(shí)候梅勒接到通知，要

他馬上陪同國(guó)王接見外賓，賭博只好中斷了.請(qǐng)問：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣

才算合理呢？

賭友說，他要再碰上兩次4點(diǎn)，或梅勒要再碰上一次6點(diǎn)就算贏，所以他有權(quán)分

得梅勒的一半，即梅勒分64個(gè)金幣的口，自己分64個(gè)金幣的口.梅勒爭(zhēng)辯說，不

對(duì)，即使下一次賭友擲出了4點(diǎn)，他還可以得到口，即32個(gè)金幣；再加上下一次他

還有一半希望得到16個(gè)金市，所以他應(yīng)該分得64個(gè)金幣的口，賭友只能分得64個(gè)金

幣的□.兩人到底誰說得對(duì)呢？

于是就寫信向當(dāng)時(shí)法國(guó)的最具權(quán)威的數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教，正是這封信使概率論

向前邁出了第一步.帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家.可是，梅勒提出的“分

賭注”的問題，卻把他難住了.他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點(diǎn)眉目，

于是寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅勒的分法是對(duì)的，

他應(yīng)得64個(gè)金幣的口，賭友應(yīng)得64金幣的口.這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴

黎聽到這件新聞；也參加了他們的討論.討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論

賭博中的計(jì)算》（1657年），這就是概率論最早的一部著作.于是，一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)

分支——概率論登上了歷史舞臺(tái).

概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，最初它只是對(duì)于帶機(jī)遇性游