《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題（1）

1.一、填空題（每小題3分，共15分）

2.設(shè)事件僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3,且,則至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為

3.設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，且，則_____.

4.設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，則隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)的概率密度為

5設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,,則

6設(shè)總體X的概率密度為

(o+M,0<x<l,

/U)=0>-\.

o,其它

是來(lái)自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1.設(shè)為三個(gè)事件，且相互獨(dú)立，則以下結(jié)論中不正確的是（）

（A）若，則與也獨(dú)立.

（B）若，則與也獨(dú)立.

（C）若，則與也獨(dú)立.

.（D）若，則與也獨(dú)立...............

2.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的值為（）

.(A)......(B)

.（C）.......（D）.......

3.設(shè)隨機(jī)變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（）

.（A）與獨(dú)立.......（B）.

.（C）…（D）....

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布為

(X,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

若獨(dú)立，則的值為（）

.（A）.....（A）..

.（C......（D）...

5.設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望為為來(lái)自的樣本，則下列結(jié)論中正確的是（）

.（A）是的無(wú)偏估計(jì)量.....（B）是的極大似然估計(jì)量.

.（C）是的相合（一致）估計(jì)量.（D）不是的估計(jì)量.

三、（7分）已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為

0.05,?個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02,求（1）?個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是

合格品的概率；（2）一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.

四、（12分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事

件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5.設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、分

布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差.

五、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域.上服從均勻分布.求（1）關(guān)于的邊緣概率密度;

（2）的分布函數(shù)與概率密度.

六、（10分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相互

獨(dú)立，且均服從分布.求（1）命中環(huán)形區(qū)域的概率；（2）命中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離的數(shù)

學(xué)期望.

七、（11分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm）,今抽取容量為16的樣本，測(cè)得樣

本均值，樣本方差.11）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)假設(shè)（顯著性

水平為0.05）.

（附注）r0.05（16）=1.746,rOO3（15）=1.753,rOO25（15）=2.132,

總.05（16）=26.296,總05（15）=24.996,而g（15）=27.488.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題(2)與解答

(1)一、填空題(每小題3分，共15分)

(2)設(shè)，，，則至少發(fā)生一個(gè)的概率為___________.

(3)設(shè)服從泊松分布，若，則P(X>1)=_________

(4)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為今對(duì)進(jìn)行8次獨(dú)立觀測(cè)，以表示觀測(cè)值大

于1的觀測(cè)次數(shù)，則

(5)元件的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由5個(gè)這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠正

常工作100小時(shí)以上的概率為

設(shè)測(cè)量零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布，今隨機(jī)地測(cè)量16個(gè)零件，得，.在置

信度0.95下，的置信區(qū)

“005(15)=1.7531,rOO25(15)=2.1315)

二、單項(xiàng)選擇題(下列各題中每題只有一個(gè)答案是對(duì)的，請(qǐng)將其代號(hào)填入()

中，每小題3分，共15分)

(1)是任意事件，在下列各式中，不成立的是()

(A)(A-3)U3=AU艮

(B)(AUB)—A=B.

(C)=

..(D).........................................

(2)設(shè)是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為，為使

是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值()

中應(yīng)取

..(A).....(B).

..(C).....(D)...

(3)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為()

(A).....(B).

(C).....(D).......

(4)設(shè)隨機(jī)變量的概率分布...

且滿足，則的相關(guān)系數(shù)為()

.(A)0....(B)....(C)....(1))

(5)設(shè)隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，根據(jù)切比

雪夫不等式有P(X-3<y<X+3)()

.(A)..(B)..(C)..(D)

三、(8分)在一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而進(jìn)入

超市的每一個(gè)人購(gòu)買種商品的概率為，若顧客購(gòu)買商品是相互獨(dú)立的，

求一天中恰有A個(gè)顧客購(gòu)買A種商品的概率。

四、（10分）設(shè)考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）服從正態(tài)分布，平均成績(jī)（即參

數(shù)之值）為72分，96以上的人占考生總數(shù)的2.3%今任取100個(gè)考生

的成績(jī)，以表示成績(jī)?cè)?0分至84分之間的人數(shù)，求（1）的分布列.（2）

EY和。y.（6（2）=0.977,0（1）=0.8413）

五、（10分）設(shè)（X,y）在由直線x=l,x=r,y=0及曲線），=■!■所圍成的區(qū)域

X

上服從均勻分布，

（1）求邊緣密度和，并說明與是否獨(dú)立.

（2）求P（X+YN2）.

六、（8分）二維隨機(jī)變量（x,y）在以（-1,0）,（0,1）,（1,0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)

域上服從均勻分布，求的概率密度。

七、（9分）已知分子運(yùn)動(dòng)的速度X具有概率密度

4x2

x>0,a>0,

以x)=<%為X的簡(jiǎn)單隨

0,x<0.

機(jī)樣本

（1）求未知參數(shù)a的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)；（2）驗(yàn)證所求得的矩估計(jì)是否為a的

無(wú)偏估計(jì)。

八、（5分）一工人負(fù)責(zé)臺(tái)同樣機(jī)床的維修，這臺(tái)機(jī)床自左到右排在一條直

線上，相鄰兩臺(tái)機(jī)床的距離為（米）。假設(shè)每臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率均為

,且相互獨(dú)立，若表示工人修完一臺(tái)后到另一臺(tái)需要檢修的機(jī)床所走

的路程，求.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題（3）

（1）一、填空題（每小題3分，共15分）

（2）設(shè)事件與相互獨(dú)立，事件與互不相容，事件與互不相容，且，，

則事件、、中僅發(fā)生或僅不發(fā)生的概率為

（3）甲盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，今從每個(gè)盒中各取2

個(gè)球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為_.

（4）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為現(xiàn)對(duì)進(jìn)行四次獨(dú)立重復(fù)觀察，用表示觀察值不大

于0.5的次數(shù)，則.

（5）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）的分布列為

（x,y）(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)

p0.40.2ab

（6）若，則?

設(shè)是總體的樣本，是樣本方差，若,則—_8_____

（注：，，，）

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

（1）設(shè)、為三個(gè)事件，且,則有(C)

(A)P(C)<P(A)-^P(B)-\.(B)P(C)<P{A\JB).

(C)P(C)"(A)+P(8)—1.(D)P(C)>P(A\JB).

(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

("2)2

e4,-oo<x<cc

且，則在下列各組數(shù)中應(yīng)取(B)

(A)a=1/2,b=i.(B)ci-V2/2,/?=\/2.

..(C)....(D)....

（3）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,其概率分布分別為

X|01Y01

P0.40.6P0.40.6

則有(o

(A)p(x=y)=o.(B)P(X=y)=0.5.

(0p(x=y)=o.52.(D)p(x=y)=i.

（4）對(duì)任意隨機(jī)變量，若存在，則等于(C)

（A）0.（B）X.(C)EX.(D)(EX)3.

（5）設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本，表示樣本均值，則的置信度為的置信區(qū)間為

-4_

(A)

(x-ua/2-j=yx+ua/2

(B)XNx+li

(-i-af2—j=>a/2

2,

(C)(x~ua~T->X+lia

5

(I))(x-ua/2-j=,x+ua/2

三、（8分）裝有10件某產(chǎn)品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是兒等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都

是一等品，求丟失的也是一等品的概率。

四、（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

or+1,0<x<2,

/*)=，

0,其它.

求（1）常數(shù)。；（2）X的分布函數(shù)b"）：（3）P（1<X<3）.

五、（12分）設(shè)（X,Y）的概率密度為

e\0<y<x,

0,其它.

求（1）邊緣概率密度/*）,/；（>，）；(2)P(X+Y<\)；

(3)Z=X+y的概率密度%(z).

六、（10分）（1）設(shè)，且與獨(dú)立，求：

（2）設(shè)且與獨(dú)立，求.

七、（10分）設(shè)總體的概率密度為

叱,0<x<1,

/*；。）=<(夕>0)

0,其它.

試用來(lái)自總體的樣本，求未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題（1）

一、填空題

1.0..

2..

"o,其它.

4..

5.

二、單項(xiàng)選擇題

「5DABAA

三、解：設(shè)'任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品'

B='任取一產(chǎn)品確是合格品二_

則（1）p（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.

P(AB)_0.9x0.95

(2)P(B\A)==0.9977.

P(A)~0.857

四、解：的概率分布為

73

P(X=A)=C；(d)i&=0,1,2,3.

X0123

即2754368

1P

125125125125

X的分布函數(shù)為

0,x<0,

27

0<x<l,

125,

81

產(chǎn)。）二茂，1<x<2,

117

2<x<3,

1,x>3.

EX=3x-=-,

55

2c2318

DX=3x—x—=—.

5525

五、

解:（1）的概率密度為

a,”。

"">)=<n

u，其它.

2—2x,0<x<1

￡(x)=「'/(x,y)d)=?

0,其它

f+co

(2)利用公式/](z)=Jf(x,z-x)dx

20<x<l,0<z-x<1-x[2,0<x<1,x<z<1.

其中/(x,z-x)=<二,

o,其它0,其它.

當(dāng)z<0或z>1時(shí)/z(z)=0

()<z<l時(shí)上⑵=2j；dK=2《=2z

故Z的概率密度為

2z,0<z<1,

0,其它.

Z的分布函數(shù)為

0,z<0卜)

z<(),

2

/z(2)=Jfz{y}dy=Jo2ydy,0<z<l=?z,0<z<l,

1,z>lI］，z>1.

或利用分布函數(shù)法

0,z<0,

F(Z)=P(Z<z)=P(X+y<z)=Kj2dxdy,

y0<z<l,

R

1z>1.

0,z<0,

z-,0<z<l,

1,z>1.

2z,0<z<l,

/z(z)=K(z)=

0,其它.

六、解:(1)

=ff—!-e8dxcly=—ff8rdrdO

2^-4肪J。J?

(2)

七、解:(1)的置信度為下的置信區(qū)間為

(又TaJ2(H-l)~j=，又+%2("l)y)

\JnyJn

區(qū)=10,5=0.4,〃=16,67=0.05,rOO25(15)=2.132

所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為(9.7868,10.2132)

22

(2)//O:o-<0.1的拒絕域?yàn)閆>焉(n-1).

因?yàn)?，所以接?/p>

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題（2）答案

1.=1-e"-2e"=1-3e"

5-,55

4.=[P(Xl>IOO)]=[l-l+e]=e~.

5.().

二、BCDAD

三、解：設(shè)'一天中恰有個(gè)顧客購(gòu)買種商品'

Cn='一天中有〃個(gè)顧客進(jìn)入超市'n=k,k+\,...

則P(B)=YP(CnB)=XP(Cn)P(B|C?)

n=kn=k

=￡=e"C?(l—p)〃"

二包謚上

k!￡(i)!

=%￡，-切jt=(),1,....

k\

四、解：(I),其中

不,60-72「不」2、?

一①(-------)=20)(——)-1

aa

rtl0.023=P(X>96)=1-①嚴(yán)一')=1-0(—)

a(7

得，即，故

所以p=2O(l)-l=0.6826.

故Y的分布列為P(Y=k)=^(0.6826/(0.3174)'^

(2),.

五、解：區(qū)域的面積

(x,y)eD,

（x,y）的概率密度為/（"）=〈

0,其它.

Lf工;y］」\<x<e2,

(1)AW=Jxf(x,y)dy=^

?0,其它.

1

，\<x<e\

—<2x

?°，其它.

11.

4(>)=心二?Jy-dx,e-2<y<\,

'2

-0,其它

17八

5dz),l<y<^-2

__j_

一/<y<l

2y2

0,其它

(2)因，所以不獨(dú)立.

(3)P(X+Y>2)=\-P(X+Y<2)=\-jjf(x,y)dxdy

x+y<2

六、解1：的概率密度為

設(shè)的概率密度為，則

、。⑶=J：/(z-y,y)dy

z+1

2

Z+l

，I2|<1,

山z)=2

0,其它.

解2:分布函數(shù)法，設(shè)的分布函數(shù)為，則

(z)=P(Z<z)=P(X+r<z)="f{x,y)dxdy

0,2<-1,

0,z<-1

(z+1)2

=dxdy,—1<z<1=?,-1<Z<1,

4

4

1z>1.

Z>1

z+1

|z|<1,

FZ

故Z的密度為fz（^=Z（）='2

0其它

七、解：（1）先求矩估計(jì)

2

-(-)f

M=￡%=j'"dX

°加正

4-XJ

2

2x+?■-(-)22a

--------eaxeJ

a4^r+京Jo與

0

再求極大似然估計(jì)

2

』4X7生)2

“XL"⑺為加‘0

=a'3n7v：4"(X1---x,,)2e

,1,

2n2

ln￡=-3n\na+ln(/r4)4-In(芭…xtl)-----gx；

a~j=i

aInL3〃9H

daa

得的極大似然估計(jì)，

（2）對(duì)矩估計(jì)Ea=殳=殳?予=ct

所以矩估計(jì)的無(wú)偏估計(jì).

八、解：設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)床編號(hào)為

為已經(jīng)修完的機(jī)器編號(hào)，表示將要去修的機(jī)床號(hào)碼，則

P(X=i)=-P(Y=j)=-,仃=1,2,…,〃

nyn

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)=]

n~

Z=U-)|。

于是EZ=YY)i-j\aP(X=iyY=j)

1=1J=1

/=1y=l〃

■力山一)+力g)-

H

i?lL"lj=i+l

《概基論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題(3)

一、填空題

1.P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

2.P(凡|4)二!

一2

3.EY2=DY+(EY)2=-+\=-

44

4.cov(X,Y)=EXY-EXEY=0.8-0.7=0.1

5.8

二、單項(xiàng)選擇題

CBCC1)

三、解：設(shè)'從箱中任取2件都是一等品'

B[=，丟失i等號(hào)，/=1,2,3.

則P(A)=P(B,)P(A|B,)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|)

1C；3C；1C；2

2Cl10C；5C；9'

所求概率為率用A)二「田)尸⑷與)J

P(A)8

四、解：(1)

?*.Cl=—

2

(2)X的分布函數(shù)為

0,x<0,

F(x)=j=?j0(1-')0<x<2,

??co0

1,x>2.

0,x<0,

x2

4——，0<x<2,

4

1,x>2.

(3)尸(l<x<3)=J：/(x)dY=J：(l—])〃=；.

0,y<0

人(y)=J二小"力75y>0.

_Jo,y<0,

y

(e~9y>0.

(2)P(X+Y<\)=jj/(.