經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

第4章數(shù)字特征與極限定理

授課序號01

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第4章第1節(jié)數(shù)學(xué)期望課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點(diǎn)數(shù)學(xué)期望、根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算

數(shù)學(xué)期望具體分布的數(shù)字特征、根據(jù)二維

隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其

函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,

參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相美系數(shù)）的概念，并會運(yùn)用

數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字特征。

2.會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：會根據(jù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其

函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=%}="￡,2=1,2,,若級數(shù)

絕對收斂，則稱其和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為E（X）或外,即E（X）=

?=1

8

Zap-

*=|

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/（x）,若積分絕對收斂，

則稱該積分值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記為E（X）或〃x，即七（乂）=匚礦（外公.

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.定理：設(shè)有隨機(jī)變量x的函數(shù)y=g（x）,且日g（x）］存在.

（1）設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，P{X=Z}=PK，Z=1,2,???，則￡（丫）=石兇（*）］=￡＞（4）/人.

k=\

（2）設(shè)x為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為了（X）,則石（youEigixHurgao/oodr

2.定理：設(shè)有隨機(jī)變量（X,丫）的函數(shù)z=g（x,y）,且Eig（x,y）j存在.

（1）若（x,y）為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為F{乂=4丫=①}=〃/力=1,2,...,則

E（Z）=E[g（X,V）]=-g（4x）p7

J=1j=l

（2）若（X,y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為/（x,y）,則

E（Z）=E[g（X,y）]=rrg。,y）/（x,y）dxdy.

J-x>

三.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

I.設(shè)。為常數(shù)，則E（C）=C.

2.設(shè)。為常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則E（CX）=CE（X）.

3.設(shè)x,y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則E（X+y）=E（x）+E（y）.

l

4.E（X]+X、+...+Xn）=E（XJ+￡（X））+...+E（X〃）.

5.設(shè)x,y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E（xy）=E（x）E（y）.

6.若X1,X2,…，x〃為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E（Xd2…X〃）=E（XJE（X2）...E（X“）.

四.例題講解

例1.求下列離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例2.求下列連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：（1）指數(shù)分布；（2）正態(tài)分布.

例3.某保險(xiǎn)公司規(guī)定，如果投保人在一年內(nèi)發(fā)生所投保的事件，保險(xiǎn)公司會賠償投保人〃元.若投保人

在一年內(nèi)發(fā)生所投保的事件的概率為P，為使保險(xiǎn)公司的平均收益達(dá)到。的10%,問該公司應(yīng)該要求投保人繳

多少保險(xiǎn)費(fèi)？

洌4.一家數(shù)碼商店以每臺500元的價(jià)格購買了三臺相同型號的手寫板，準(zhǔn)備以每臺1000元的價(jià)格出售。

對于指定期限內(nèi)仍未售出的手寫板，制造商已同意可以每臺200元的價(jià)格回購。設(shè)X表示售出的手寫板數(shù)量，

其分布律為

X0123

P0.10.20.30.4

求商店的平均利潤.

例5.設(shè)某供應(yīng)公司在一周內(nèi)出售的特殊材料數(shù)量為連續(xù)型隨機(jī)變量X（噸），其概率密度為

|(l-x2),

0<x<l

fM=

0,其它

而銷售價(jià)格y是x的函數(shù)：y=5ox2（萬元/噸），求丫的數(shù)學(xué)期望.

例6.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的分布律為

12

10.250.32

20.080.35

求”X?+y）

例7.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的密度函數(shù)為

、（x+yy0<x<l,0<y<l

小0,其它

求￡［x）,E（y）,E（xy）.

例8.某工廠每天從電力公司得到的電能￥（單位：千瓦）服從［10,30］上的均勻分布，該工廠每天對電

能的需要量y（單位：千瓦）服從［10,20］上的均勻分布，其中/與y相互獨(dú)立.設(shè)工廠從電力公司得到的每

T瓦電能可取得300元利潤，如工廠用電量超過電力公司所提供的數(shù)量，就耍使用自備發(fā)電機(jī)提供的附加電能

來補(bǔ)充，使用附加電能時(shí)每千瓦只能取得10（）元利潤.問一天中該工廠獲得利潤的數(shù)學(xué)期望是多少？

例9.已知隨機(jī)變量X-N（5/（）2）,求y=3X+5的數(shù)學(xué)期望鳳丫）.

授課序號02

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第4章第2節(jié)方差課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點(diǎn)方差及其性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算

具體分布的數(shù)字特征.

參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(慕課版)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.理解隨機(jī)變量數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù))的概念，并會運(yùn)用

數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字特征。

2.會根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會根據(jù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其

函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

教學(xué)基本內(nèi)容

隨機(jī)變量的方差

1.方差：設(shè)才為隨機(jī)變量，若E｛[X—E(X)/｝存在，則稱之為才的方差，記為。(X)或(7；,即

D(X)=E｛[X-E(X)f).

稱JD(X)為4的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,記為。

2.若才為離散型隨機(jī)變量，其分布律為。｛乂=々｝=匕，左=1,2「一，則

1

D(X)=Y[xk-E(X)]pk.

hl

3.若1為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為/(x),則

D(X)=￡jx-E(X)]2/U)^.

4.方差的計(jì)算公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

二.方差的性質(zhì)

1.設(shè)。為常數(shù)，則〃(C)=9.

2.設(shè)才為隨機(jī)變量，。為常數(shù)，則有。(CX)=C2O(X).

3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則有〃(￥/)=〃(X)+〃(K).

?1.若天，乂2,…,X”相互獨(dú)立，則有。(X1+X2+…+XJ=D(XJ+D(X2)+…+D(XJ

5.一些重要分布的期望與方差

分布分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差

P{X=l}=p,P{X=O}=q

0-1分布Ppq

0</?<1,/?+</=1

P{X=%}=C：p%i/=0,l,2,??，〃

二項(xiàng)分布O<p<\,p+c/=]npnpq

P〈X=k}=p*,k=1,2,、q

幾何分布7

〃+夕=1P

P[X=k]=—e-\k=0A,Z-^>0

泊松分布k\2A

1,

-----,a<x<ba+b（-一a）2

均勻分布fix）=Vb-a

212

0,其它

i/x1

2

正態(tài)分布小）=京…sa

1

指數(shù)分布/（x）=<2>0

、0,x<0f7下

例4.12求下列離散型隨機(jī)變量的方差：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例4.13求下列連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：（1）均勻分布；（2）指數(shù)分布.

例4.14甲、乙兩臺機(jī)床同時(shí)加工某種零件，它們每生產(chǎn)100。件產(chǎn)品所出現(xiàn)的次品數(shù)分別月X-X2表示，

其分布律如下，問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好？

0123

P（XJ0.70.20.060.04

P（x2）0.80.060.040.1

例4.15設(shè)隨機(jī)變量X和V相互獨(dú)立，且X服從參數(shù)為上的指數(shù)分布，丫服從參數(shù)為9的泊松分布，求

2

D（X-2r+l）.

授課序號03

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第3章第3節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)課的類型復(fù)習(xí)、新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點(diǎn)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)難點(diǎn)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(慕課版)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念

教學(xué)基本內(nèi)容

一.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念

1.協(xié)方差：設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y),若E{[x—E(x)"y—E(y)]}存在，則稱它為隨機(jī)變量￥與f的協(xié)

方差，記為cov(X,y),或即cov(X,y)=E{[X-E(Xi][y-E(r)])

2.相關(guān)系數(shù)：當(dāng)O(X)>0,。(丫)>0時(shí)?，稱。xy=/C°vf為隨機(jī)變量X與丫的相關(guān)系數(shù)。

1D(X)yjD(Y)

3.不相關(guān)：當(dāng)夕XY=O時(shí)，稱隨機(jī)變量x與y不相關(guān)或線性無關(guān)。

4.協(xié)方差的計(jì)算公式：cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y).

二.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

1.cov(X,Y)=cov(y,X).

2.cov(aX,〃y)=4〃cov(X,y),其中凡。為常數(shù).

3.cov(X+K,Z)=cov(X,Z)+cov(y,Z).

4.D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

5.1PXY1—1?

6.1夕xy1=1的充分必要條件是X與y以概率1具有確定的線性關(guān)系，即P{y=aX+/?=l,其中

0,4力為常數(shù).

幾點(diǎn)說明：(1)|pxj越大，這時(shí)y與x的線性關(guān)系就越密切，當(dāng)|p*y卜1時(shí)，y與x就有確定的線性關(guān)

系；反之，|pxy|越小，說明y與X的線性關(guān)系就越弱，若|".卜0,則表明y與X之間無線性關(guān)系，故稱X

與y是不相關(guān)的.可見，|PX3的大小確實(shí)是x與丫間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一種度量.

（2）若x與y相互獨(dú)立，則x與y不相關(guān).反之，若x與r不相關(guān)，則x與y卻不一定是相互獨(dú)立的.

（3）設(shè)（x,y）服從二維正態(tài)分布，即（x,y）?％（必,〃2。；，6，。），可以證明：

E（X）=〃|,O（X）=cr：,E（y）=〃2,O（y）=b；，cov（X,Y）=pXY=p.

（4）對二維正態(tài)隨機(jī)變量（MD來說，X與y相互獨(dú)立的充要條件為2=0,現(xiàn)在又知夕燈二夕，故

對二維正態(tài)隨機(jī)變量（XD來說，x與y不相關(guān)等價(jià)于x與y相互獨(dú)立.

三.矩

1.設(shè)才和V是隨機(jī)變量，若E（X。，k=l,2,?存在，則稱它為乃的々階原點(diǎn)矩.

2.若曰[X-E（X）『｝,2=1,2,?存在，則稱它為X的女階中心矩.

3.若夙X3）,Z,/=l,2,…存在，則稱它為1和y的介，階混合矩.

4.若E｛[X—E（X）riy—E（Y）]/｝,=??存在，則稱它為才和V的介/階混合中心矩.

四.例題講解

例1.設(shè)保險(xiǎn)公司對投保人的汽車保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)分別設(shè)定了免賠額（單位：元），現(xiàn)任選一位同時(shí)投保汽

車保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的客戶，X表示其汽車保單的免賠額，V表示其財(cái)產(chǎn)保單的免賠額，隨機(jī)變量（X,y）的聯(lián)合

分布律為

0100200

1000.20.10.2

2500.050.150.3

求CCV（I,Y）,pXY.

列2.設(shè)隨機(jī)變量（X,y）在。=｛（x,），）|xN0,y>0,x+y<[｝上服從均勻分布.求cov（X,Y）,pXY.

例3.若X~N（OJ）,且y=x?,問x與y是否不相關(guān)？是否相互獨(dú)立？

洌4.己知Z）（X）=4,O（y）=l,Pxy=05求O（3X-2Y）.

洌5.設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,V（0,b2）,已知U=aX+bY,

V=aX-bY,其中a,〃為常數(shù)，求。和『的相關(guān)系數(shù)4y.

授課序號04

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第4章第4節(jié)切比雪夫不等式大數(shù)定律與中心極限定理課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點(diǎn)切比雪夫不等式、切土雪夫大數(shù)定律、伯努力大教學(xué)難點(diǎn)切比雪夫大數(shù)定律、伯努力大數(shù)

數(shù)定律和辛欽大數(shù)定津、列維―林德伯格定理和定律和辛欽大數(shù)定律

狄莫弗一拉普拉斯定理

參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一概率論F數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.了解切比雪夫不等式。

2.了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努力大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定律）。

3.了解列維―林德伯格定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）和狄莫弗-拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布

以正態(tài)分布為極限分布）。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.切比雪夫不等式

1.定理：（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）都存在，則對于任意￡>o,

有刊X-E（X）|之?〈誓^或P{|X-E（X）|<￡}Nl-g9

￡￡

二.大數(shù)定律

1.定理：（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件AHI現(xiàn)的次數(shù)，而p是事件A在每次試驗(yàn)

中發(fā)生的概率，則必當(dāng)九一8時(shí)依概率收斂于即對任意￡>0,都有

n

n->oo〃

或limP{|幺一〃|N0=O.

8幾

2.號理：（辛欽大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量X”X2,…,X“，…獨(dú)立同分布，并且有數(shù)學(xué)期望七（XJ=〃，則

區(qū)“二，之X,在〃.8時(shí)依概率收斂于〃，即對￡>0,都有

〃/-I