概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展

我們先從數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)開始，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)并據(jù)以對所研究的問

題作出?定的結(jié)論的科學(xué)和藝術(shù)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所考察的數(shù)據(jù)都帶有隨機(jī)性（偶然性）的誤差。

這給根據(jù)這種數(shù)據(jù)所作出的結(jié)論帶來了一種不確定性，其量化要借助于概率論的概念和方

法。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論這兩個學(xué)科的密切聯(lián)系，正是基于這一點(diǎn)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于收集數(shù)據(jù)的活動，小至個人的事情，大至治理一個國家，都有必要收集種種

有關(guān)的數(shù)據(jù)，如在我國古代典籍中，就有不少關(guān)于戶口、錢糧、兵役、地震、水災(zāi)和旱災(zāi)等

等的記載?，F(xiàn)今各國都設(shè)有統(tǒng)計(jì)局或相當(dāng)?shù)臋C(jī)構(gòu)。當(dāng)然，單是收集、記錄數(shù)據(jù)這種活動本身

并不能等同于統(tǒng)計(jì)學(xué)這門科學(xué)的建立，需要對收集來的數(shù)據(jù)進(jìn)行排比、整理，用精煉和醒目

的形式表達(dá)，在這個基礎(chǔ)上對所研究的事物進(jìn)行定量或定性估計(jì)、描述和解釋，并預(yù)測其在

未來可能的發(fā)展?fàn)顩r。例如根據(jù)人口普杳或抽樣調(diào)查的姿料對我國人口狀況進(jìn)行描述，根據(jù)

適當(dāng)?shù)某闃诱{(diào)查結(jié)果，對受教育年限與收入的關(guān)系，對某種生活習(xí)慣與嗜好（如吸煙）與健

康的關(guān)系作定晟的評估。根據(jù)以往一般時(shí)間某項(xiàng)或某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化情況，預(yù)測其在未來

一般時(shí)間的走向等，做這絲事情的理論與方法，才能構(gòu)成一門學(xué)問一一數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容。

這樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)始于何時(shí)？恐怕難于找到一個明顯的、大家公認(rèn)的起點(diǎn)。一種受到某

些著名學(xué)者支持的觀點(diǎn)認(rèn)為，英國學(xué)者葛朗特在1662年發(fā)表的著作《關(guān)于死亡公報(bào)的自然

和政治觀察》，標(biāo)志著這門學(xué)科的誕生。中世紀(jì)歐洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年

起，倫敦教會每周發(fā)表一次“死亡公報(bào)”，記錄該周內(nèi)死亡的人的姓名、年齡、性別、死因。

以后還包括該周的出生情況一一依據(jù)受洗的人的名單，這基本上可以反映出生的情況。幾十

年來，積累了很多資料，葛朗特是第一個對這一龐大的資料加以整理和利用的人，他原是

一個小店主的兒子，后來子承父業(yè)，靠自學(xué)成才。他因這一部著作被選入當(dāng)年成立的英國皇

家學(xué)會，反映學(xué)術(shù)界對他這一著作的承認(rèn)和重視。

這是一本篇幅很小的著作，主要內(nèi)容為8個表，從今天的觀點(diǎn)看，這只是一種例

行的數(shù)據(jù)整理工作，但在當(dāng)時(shí)則是有原創(chuàng)性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某種

程度上可以說沿用至今，如數(shù)據(jù)簡約（大量的、雜亂無章的數(shù)據(jù)，須注過整理、約化，力能

突出其中所包含的信息）、頻率穩(wěn)定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在較長時(shí)期中

有一個基本穩(wěn)定的比率，這是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性推斷的基礎(chǔ)）、數(shù)據(jù)糾錯、生命表（反映人群中壽

命分布的情況，至今仍是保險(xiǎn)與精算的基礎(chǔ)概念）等。

葛朗特的方法被他同時(shí)代的政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家佩蒂弓進(jìn)到社會經(jīng)濟(jì)問題的研究中，他提

倡在這類問題的研究中不能尚空談，要讓實(shí)際數(shù)據(jù)說話，他的工作總結(jié)在他去世后于1690

年出版的《政治算術(shù)》一書中。

當(dāng)然，也應(yīng)當(dāng)指出，他們的工作還停留在描述性的階段，不是現(xiàn)代意義下的數(shù)理統(tǒng)

計(jì)學(xué)，那時(shí)，概率論尚處在萌芽的階段，不足以給數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供充分的理論支持，

但不能由此否定他們工作的重大意義，作為現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的幾個源頭之一，他們以

及后續(xù)學(xué)者在人口、社會、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的工作，特別是比利時(shí)天文學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家凱特勒19

世紀(jì)的工作，對促成現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的誕生起了很大的作用。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的另一個重要源頭來自天文和測地學(xué)中的誤差分析問題。早期，測量工

具的精度不高，人們希望通過多次量測獲取更多的數(shù)據(jù)，以便得到對量測對象的精度更高

的估計(jì)值。量測誤差有隨機(jī)性，適合于用概率論即統(tǒng)計(jì)的方法處理，遠(yuǎn)至伽利略就做過這方

面的工作，他對測量誤差的性態(tài)作了?般性的描述，法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾對這個問題

進(jìn)行了長時(shí)間的研究，現(xiàn)今概率論中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在這研究中的一個產(chǎn)

物，這方面最著名且影響深遠(yuǎn)的研究成果有二：一是法國數(shù)學(xué)家兼天文家勒讓德19世紀(jì)

初（1805）在研究慧星軌道計(jì)算時(shí)發(fā)明的“最小二乘法”，他在估計(jì)過巴黎的子午線長這

一工作中，曾使用這個方法?，F(xiàn)今著作中把這一方法的發(fā)明歸功于高斯，但高斯使用這一方

法最早見諸文字是1809年，比勒讓德晚。一種現(xiàn)在逐步取得公認(rèn)一一這項(xiàng)發(fā)明系由二人

獨(dú)立做出，看來使比較妥當(dāng)?shù)?。另外一個重要成果是德國大學(xué)者高斯1809年在研究行星繞

日運(yùn)動時(shí)提出用正態(tài)分布刻畫測量誤差的分布。.正態(tài)分布也常稱為高斯分布，其曲線是鐘形,

極象頤和園中玉帶橋那樣的形狀，故有時(shí)乂稱為“鐘形曲線”，它反映了這樣一種極普通的

情況：天下形形色色的事物中，“兩頭小，中間大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不

多，而居于中間者占多數(shù)一一當(dāng)然，這只是一個極粗略的描述，要作出準(zhǔn)確的描述，須動

用高等數(shù)學(xué)的知識。正是其數(shù)學(xué)上的特性成為其廣泛應(yīng)用的根據(jù)。

正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有極重要的地位，現(xiàn)今仍在常用的許多統(tǒng)計(jì)方法，就是

建立在“所研究的量具有或近似地具有正態(tài)分布”這個假定的基礎(chǔ)上，而經(jīng)驗(yàn)和理論（概率

論中所謂“中心極限定理”）都表明這個假定的現(xiàn)實(shí)性，現(xiàn)實(shí)世界許多現(xiàn)象看來是雜亂無章

的，如不同的人有不同的身高、體重。大批生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)各有差異?？磥碣駸o

規(guī)則，但它們在總體上服從正態(tài)分布。這一點(diǎn)，顯示在紛亂中有一種秩序存在，提出正態(tài)分

布的高斯，一生在多個領(lǐng)域里面有不少重大的貢獻(xiàn)，但在德國10馬克的有高斯圖像的鈔

票上，單只畫出了正態(tài)曲線，以此可以看出人們對他這一貢獻(xiàn)評價(jià)之高。

20世紀(jì)以前數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的一個重要成果，是19世紀(jì)后期由英國遺傳學(xué)家兼

統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓發(fā)起，并經(jīng)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人之一K?皮爾遜和其他一些英國學(xué)者所發(fā)

展的統(tǒng)計(jì)相關(guān)與回歸理論s所謂統(tǒng)計(jì)相關(guān)，是指一種非決定性的關(guān)系如人的身高X與體重

Y,存在一種大致的關(guān)系，表現(xiàn)在X大（?。r(shí)，Y也傾向于大（小），但非決定性的：由

X并不能決定Yo現(xiàn)實(shí)生活中和各種科技領(lǐng)域中，這種例子很多，如受教育年限與收入的

關(guān)系，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與人口增長速度的關(guān)系等，都是屬于這種性質(zhì)，統(tǒng)計(jì)相關(guān)的理論把這

種關(guān)系的程度加以量化，而統(tǒng)計(jì)回歸則是把有統(tǒng)計(jì)相關(guān)的變量，如上文的身高X和體重Y

的關(guān)系的形式作近似的估計(jì)，稱為回歸方程，現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象往往涉及眾多變量，它們

之間有錯綜復(fù)雜的關(guān)系，且許多屬于非決定性質(zhì)，相關(guān)回歸理論的發(fā)明，提供了一種通過

實(shí)際觀察去對這種關(guān)系進(jìn)行定量研究的工具，有著重大的認(rèn)識和實(shí)用意義。

到20世紀(jì)初年，由于上述幾個方面的發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已積累了很豐富的成果-

在此因篇幅關(guān)系，我們不能詳盡無遺地一一列舉有關(guān)的重要成果，如抽樣調(diào)查的理論和方

法方面的進(jìn)展，但是直到這時(shí)為止，我們還不能說現(xiàn)代意義下的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已經(jīng)建立起來，

其主要標(biāo)志之一就是這門學(xué)問還缺乏一個統(tǒng)一的理論框架，這個任務(wù)在20世紀(jì)上半葉得

以完成，狹義一點(diǎn)說可界定在1921一一1938年，起主要作用的是幾位大師級的人物，

特別是英國的費(fèi)歇爾?K?皮爾遜，發(fā)展統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)理論的奈曼與E?皮爾遜和提出統(tǒng)

計(jì)決策函數(shù)理論的瓦爾德等。我國已故著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶（1910——1970）在這項(xiàng)工作

中也卓有建樹。

自二戰(zhàn)結(jié)束迄今，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)有了迅猛的發(fā)展，主要有以下三方面的原因：一是

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論框架的建/以及概率論和數(shù)學(xué)工具的進(jìn)展，為統(tǒng)計(jì)理論在面上和向縱深

的發(fā)展打開了門徑和提供了手段，許多在早期比較粗略的理論和方法，在理論上得到了完

善與深入，并不斷提出新的研究課題；二是實(shí)用上的需要，不斷提出了復(fù)雜的問題與模型，

吸引了學(xué)者們的研究興趣;三是電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明與普及應(yīng)用，一方面提供了必要的計(jì)算工

具一一統(tǒng)計(jì)方法的實(shí)施往往涉及大量數(shù)據(jù)的處理與運(yùn)算，用人力無法在合理的時(shí)間內(nèi)完成，

所以在早年，一些統(tǒng)計(jì)方法人們雖然知道，但很少付諸實(shí)用，就因?yàn)槭侨肆λy及。計(jì)算機(jī)

的出現(xiàn)解決了這個問題。而賦予統(tǒng)計(jì)方法以現(xiàn)實(shí)的生命力。同時(shí)，計(jì)算機(jī)對促進(jìn)統(tǒng)計(jì)理論研

究也有助益，統(tǒng)計(jì)模擬是其表現(xiàn)之一，在承認(rèn)上述成就的同時(shí)，不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家也指出這一

時(shí)期發(fā)展中出現(xiàn)的一些問題或偏向，其中主要的一點(diǎn)是，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論研究中的“數(shù)學(xué)

化”氣味愈來愈重，相當(dāng)一部分研究工作停留在數(shù)學(xué)的層面，早期那種理論研究與現(xiàn)實(shí)問題

密切結(jié)合的優(yōu)良傳統(tǒng)有所淡化，一些學(xué)者還提出了補(bǔ)救的建議，對未來統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的方向

進(jìn)行探討。同時(shí)，現(xiàn)實(shí)問題愈來愈涉及到大量的，結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)據(jù)，按現(xiàn)行的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)

范去處理，顯得力所不及，需要一些帶有根本性創(chuàng)新的思路，使統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展登上一個新

的臺階，以適應(yīng)應(yīng)用上的需要，考慮這一背景，有的統(tǒng)計(jì)學(xué)家樂觀地認(rèn)為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)正面

臨一個新的突破。

在上面講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r時(shí)，我們著重在實(shí)際需要所起的促進(jìn)作用方面，

由于概率論的概念和方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，概率論的進(jìn)展也必然對數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的

發(fā)展起促進(jìn)作用。

概率，又稱幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小,例如，投擲一

個硬幣，“出現(xiàn)國徽”（國徽一面朝上）是一個不確定的情況。因?yàn)橥稊S前,我們無法確定

所指情況（“出現(xiàn)國徽”）發(fā)生與否，若硬幣是均勻的且投擲有充分的高度,則兩面的出

現(xiàn)機(jī)會均等，我們說“出現(xiàn)國徽”的概率是"2；同時(shí)，投擲一個均勻骰子,“出現(xiàn)4點(diǎn)”

的概率是1/6,除了這些以及類似的簡單情況外，概率的計(jì)算不容易，往往需要一些理論

上的假定，在現(xiàn)實(shí)生活中則往往用經(jīng)驗(yàn)的方法確定概率，例如某地區(qū)有N人，查得其中患

某種疾病者有M人，則稱該地區(qū)的人患該種疾病的概率為M/N,這事實(shí)上是使用統(tǒng)計(jì)方

法對發(fā)病概率的一個估計(jì)，

概率的概念起源于中世紀(jì)以來的歐洲流行的用骰子賭博，這一點(diǎn)不難理解，某種情

況出現(xiàn)可能性的大小要能夠體察并引起研究的興趣，必須滿足兩個條件：一是該情況可以

在多次重復(fù)中被觀察其發(fā)生與否（在多次重復(fù)下出現(xiàn)較頻繁的情況有更大的概率），一是該

情況發(fā)生與否與當(dāng)事人的利益有關(guān)或?yàn)槠渑d趣關(guān)注之所在，川骰子賭博滿足這些條件。

當(dāng)時(shí)有一個“分賭本問題”曾引起熱烈的討論，并經(jīng)歷了長達(dá)一百多年才得到正確

的解決。在這過程中孕育了概率論一些重要的基本概念，舉該問題的一個簡單情況：甲、乙

二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機(jī)會均等，都是1/2。約定：誰

先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負(fù)，而因故中斷賭情，

問這60元賭注該如何分給2人，才算公平，初看覺得應(yīng)按2:1分配，即甲得40元,

乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結(jié)果都不正確，正確的分法應(yīng)考慮到如在這

基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機(jī)會如何，至多再賭2局即可分出勝負(fù)，這2局有

4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情

況才是乙取勝，二者之比為3:1,故賭注的公平分配應(yīng)按3:1的比例，即甲得45

元，乙15元。

當(dāng)時(shí)的一些學(xué)者，如惠更斯、巴斯喝、費(fèi)爾馬等人，對這類賭情問題進(jìn)行了許多研

究，有的出版了著作，如惠更斯的一本著作曾長期在歐洲作為概率論的教科書，這些研究

使原始的概率和有關(guān)概念得到發(fā)展和深化。不過，在這個概率論