概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習(xí)題及參考答案

1.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）只能取下列數(shù)組中的值：（o,o）,及（2,0）,

且取這幾組值的概率依次為，，1,‘和工，求二維隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合

631212

分布律.

解：由二維離散型隨機(jī)變量分布律的定義知，（x,y）的聯(lián)合分布律為

1

031

1

-10

123

01

00

6

2H00

2.某高校學(xué)生會有8名委員，其中來自理科的2名，來自工科和文科的各3名.

現(xiàn)從8名委員中隨機(jī)地指定3名擔(dān)任學(xué)生會主席.設(shè)X,y分別為主席來自理

科、工科的人數(shù)，

求：（I）（X,y）的聯(lián)合分布律；Q）X和y的邊緣分布律.

解：（1）由題意，X的可能取值為0,1,2,y的可能取值為0,1,2,3,則

1C2clQ

p(x=o,r=o)=-^-=—,尸(x=o,y=i)=4?=?-,

G56C；56

C]C29r3i

p(%=o,r=2)=-^-=—,…y=3)=百

C；56

Clc23

尸(X=l,y=0)=4^=上，尸(X=l,y=l)=隼駐=9

C；28C828

C'C23

p(x=i,y=2)=y"=J尸(x=i,y=3)=o,

c；28

2l

P(x=2,y=o)=笑=」，P(Z=2,K=l)=-r^C-=—3,

C；56C；56

尸(X=2,y=2)=0,P(%=2,y=3)=0.

（x,y）的聯(lián)合分布律為:

0123Pi

9915

0

56565614

9315

10

282828

33

200

5628

515151

Pj1

28282856

(2)X的邊緣分布律為

X012

5153

rn

142828

y的邊緣分布律為

Y0123

515151

P

28282856

3.設(shè)隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

k(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

=<

0,其他.

求:⑴常數(shù)上;(2)P(%<l,y<3)；(3)P(y<1.5)；(4)P(X+Y<4).

解：方法1：

⑴1=［工/(x，丁)」砂=￡￡/6-工-y)dxdy

=4］(6x—；/—yx)Ipdv=(10-2y)dy=8k,

k=—.

8

(2)P(X<1,K<3)=J3j)/(x,y)dxdy=1￡(6%一］工2—yx)dxdy

=北(6__；-2_/)心的=超9一92泄=、

(3)P(X<1.5)=P(矛<1.5,丫<+8)=f+xf，5l(6-x-y)d.rdv

J-coJ-oo8

,1.5J1J，1,

,-^-x-y)dxdy=-j(6J--X--yx)dy

n2

2

_1>332、14_27

二一(—yy)=—.

884)1232

(4)P(%+K<4)==i￡dxf-'(6-x-y)dy

x+yi4"

=11￡(12-8x+x2)dx=^(12X-4X2+1X3)|；=|.

方法2：(1)同方法1.

(2)0<x<2,2vy<4時,

F(x,^)=jVJ'f(w,v)dwdvj^^(6-w-v)dwdv

=—(6w--w2-wv)|Jdv=—￡(6x_g%2_xv)dv

=^(6XV--^X2V--^XV2)1^=1(6孫一；工徐一；孫2-10+x2),

其他，F(xiàn)(x,y,)=O,

—-—x2y--xy2-1Ox+x2),0<x<2,2<y<4,

產(chǎn)(x,y)=<822

0,其他.

3

P(%<l,y<3)=F(l,3)=-.

o

(3)P(X<1.5)=P(X<1.5,r<+8)=P(X<1.5,2<r<4)

=p(%<i,5,r<4)-p(x<i.5,r<2)

27

=F(1.5,4)-F(1.5,2)=—.

32

(4)同方法1.

4.設(shè)隨機(jī)變量(XJ)的概率密度為

Je-r-2r,x>0.y>0,

/(x,刃=<

0,其他.

求：（1）常數(shù)力；（2）（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù).

解：⑴1=rr/(x/)dxdj，=r『念一1」dxdy

=力「e-'dxfe-2>dy=A(-e-x)/?(一氐-冗、±,

A=2.

3

(2)x>0,y>0時,

『Jf(u,v)dudv=j￡2e-,-2'di/dv

=2(3)1：.(_#)：=(1—Ue”

其他，尸*,歹)=0,

(l-e-v)(l-e-2F),x>0,^>0,

F(x,y)=<

0,其他.

5.設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的概率密度為

(Axy,0<x<1,0<y<1,

fM=I0,其他.

求：（1）常數(shù)力；（2）（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù).

解:(1)

4=4.

(2)0<%<1,時,

F(x,y)=Jjf(u,v)dudv=￡￡4uvdudv=u2|J-v2lo=

0<x<\,y>l時，

F(x,y)=J'j/(w,v)di/dv=￡￡4wvdwdv=w2|J-v210=x2?

0<<1,x>1時，

月(x，N)=/J/(",v)dz/dv=￡J'Auvdvdu=H2li-v2|Q=y2,

x>1,y>1時，

b(x,y)=Jj/(w,v)di/dv=J￡4uvdudv=w2|J>-v2|Q=1,

其他，F(xiàn)(x,y)=0,

4

x2y2fi<x<\fi<y<\,

x2,0<x<\,y>\,

F(x,y)=y\x>l,O<y<1,

1,

0,其他.

6.把一枚均勻硬幣擲3次，設(shè)X為3次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，丫表示3次拋

擲中正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求：

(1)(x,y)的聯(lián)合分布律；(2)x和丫的邊緣分布律.

解：由題意知，X的可能取值為0,1,2,3；y的可能取值為1,3.易知

13

p(x=o,y=i)=o,p(x=o,y=3)=-,p(%=i,y=i)=-,p(z=i,r=3)=o

88

31

尸(x=2,y=i)=—,p(x=2,y=3)=o,p(x=3,y=i)=o,尸(x=3,y=3)=—

88

故(X,丫)得聯(lián)合分布律和邊緣分布律為：

0123P.i

333

10--0

884

11]_

300

884

33]_

Pi.1

8888

7.在汽車廠，一輛汽車有兩道工序是由機(jī)器人完成的：一是緊固3只螺栓；二

是焊接2處焊點，以X表示由機(jī)器人緊固的螺栓緊固得不牢的數(shù)目，以丫表示

由機(jī)器人焊接的不良焊點的數(shù)目，且(X,y)具有聯(lián)合分布律如下表：

0123

00.840.030.020.01

10.060.010.0080.002

20.010.0050.0040.001

求：(1)在y=i的條件下，x的條件分布律;

(2)在x=2的條件下，y的條件分布律.

解：(1)因為

5

P(y=l)=P(A，=0,y=l)4-P(Ar=l,r=l)+P(Y=2,y=l)4-P(%=3,y=3)

=0.06+0.01+0.008+0.002=0.08,

p(x=o,y=i)3p(x=i,y=i)

所以p(x=o|y=i)=P(X=\\Y=\)=

m)4尸(丫=1)

=Y渭”總樂3心1)=尸(狹丁)/

故在y=i的條件下，x的條件分布律為

X0123

311

p

48To而

(2)因為尸(X=2)=P(X=2,y=0)+P(X=2,y=l)+P(X=2,y=2)

=0.02+0.008+0.004=0.032,

所以"3=2)=端竽p(x=2,y=i)

=-,尸(y=i,x=2)==4,

p(x=2)

a-2)J(,；2)=r

故在x=2的條件下，y的分布律為:

Y012

511

P———

848

8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)的概率密度函數(shù)為

〃、pe-(2x+>),x>0,y>0,

。，其他.

求：(1)常數(shù)c；

(2)X的邊緣概率密度函數(shù)；

(3)P(X+Y<2)；

(4)條件概率密度函數(shù)小”燈歷,人(小).

(2x+r)

解：⑴1=J：J：/(xj)dxdy=『『ce'dxdy

6

=c『e%dx『e-0=。（一「多Q?（一心）;=三，

c=2.

⑵x>0時，4(x)=rf(x,y)dy=C2c~(2x+y)dy=2e~2x(-e-v)\^=2e?,

<—ooJO

xW0時，fx(x)=0,

2e-2\x>0,

0,x<0.

e-\y>0,

同理//()')=

0,y<0.

(3)P(X+Y<2)=JJ7(x,y)dxdy、2e-2"dxdj，

x+y<2

-￡2e_2xdA-￡-'e-vdy-1-2e-2+e-4.

(4)由條件概率密度公式，得，當(dāng)y〉0時，有

d-2.f

2e-2x,x>0,

f(x}y)=fMe

孫0,其他.

AGO0,其他.

y40時，刀1350=0，

c/I、」2e、〉0,y〉0,

所以/鄧3歹）1o,其他.

同理，當(dāng)x>0時，有

e~\y>0,

fr\x(y\x)=/G,v)2e-2x/>o,=<

fxM0,其他.

0,其他.

xKO時，A|Xi>|x)=0,

e\x>0,y>0,

所以/iu(y|x)=,

0,其他.

9.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的概率密度函數(shù)為

3x,0<x<1,0<y<x,

/(3)=?

0,其他.

7

求：（1）關(guān)于X、丫的邊緣概率密度函數(shù)；

（2）條件概率密度函數(shù)/.（刈用，/縱（川外.

解：（1）0<x<l時，=jf（x,y）dy=￡3xdy=3x2,

其他，人。）二0，

2

L叫3X。，,其O<他X.<I,，

密度函數(shù)的非零區(qū)域為

{(x,y)|O<x<l,O<^<x}={(x,^)|O<y<l,y<x<l}?

2

0<y<1時，fY(y)=［：/(x，N)dx=J'3xdx=1(l-y),

其他，A00=o,

3

o,其他.

（2）當(dāng)0<y<l時，有

2x1

/沖,(劉用=32i一尸

卻fAy)

o,其他.

其他.

其他，Zv|y(XIy)=0，

其他，fy\X（川X）=0,

8

—,0<j/<x,0<x<1,

故人/（川幻二,x

0,其他.

10.設(shè)條件密度函數(shù)為

3x2八i

--fi<x<y<1,

/rj.(x|y)=V

0,其他.

y的概率密度函數(shù)為

5/,0<y<l,

0,其他.

求P(X>1).

15/乂0<x<y<1,

解:/*,y)=fy(y)fx\Y(xIy)

0,其他.

則P(X>1)=JJf(x,y)dxdy=￡Jj5x2ydydx=(x2-x4)dx=

2x>-1223

11.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

X?+/,0<x<1,0<y<2,

0,其他.

求：⑴（x,y）的邊緣概率密度;

⑵x與y是否獨(dú)立;

⑶P（（X,丫）w0,其中。為Illi線y=2/與y=2x所圍區(qū)域.

fx(x)=「7。J)dy=f(x2+?dy=2/+1x,

解：⑴0<x<l時,

其他,ZvU)=o,

72

2x~+—x,0<A<1,

fx（x）=

0,其他.

、產(chǎn)"、』r1/2xy.,y1

0<”2時,川6J/(“)d>J。(一w)dx=k+屋

9

其他,A00=0,

1+；,0<”2,

人(y)=?

o,其他.

(2)/x(x)/y(y)w/'(x,y)，

x與y不獨(dú)立.

(3)Z)={(x,y)|0<x<l,2x2<y<2x},

■1■-6D)=JX，+郛曲=￡(家_2xJ尹)dxq.

12.設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

x

e~xx>0,y>0,

f(x,y)=\(l+yAy

0,其他.

試討論x,y的獨(dú)立性.

解：當(dāng)x>0時,/⑴=匚〃"妙=『譚了?=-"〕2,

當(dāng)xV0時，fx(x)=0

xe,x>Q

故/x(x)=〈，

0,x<0.

—■~~7，y〉。,

同理，可得人(y)=。+?

0,y<0.

因為f(x,y)=fx(x)fY(y),

所以X與丫相互獨(dú)立.

13.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域g={(x，KlW+M?a}上服從均勻分布,求X與丫的

邊緣概率密度，并判斷x與丫是否相互獨(dú)立.

解：由題可知(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

10

/*/)=2/'"因'，

.0,其他.

當(dāng)一a<x<0時，有/Jx)=匚/'(x/)d尸J：；Jdy=4(a+x)，

/v<v<

當(dāng)0?X<〃時，有，金⑴=匚/(xj)dy=L;白=*("_￥),

當(dāng)kl之。時?fxa)=匚/a，y)的=°，

「/、±伍一兇),忖<"，

故Zr(x)=。-，

0,|x|>tz.

同理，由輪換對稱性，可得

?m;(。一而，3<。，

/y(N)=ja，

0,小。.

顯然/(兒歷吟八.(外人。；)，

所以X與y不相互獨(dú)立.

14.設(shè)x和y時兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在(0,1)上服從均勻分布，y的概

率密度為

1」

c(、-e2,y>0,

fy(y)=]2/

0,y<0.

(i)求x和丫的聯(lián)合概率密度；

(2)設(shè)含有。的二次方程為/+2aX+y=0,試求。有實根的概率.

解：(1)由題可知X的概率密度函數(shù)為

l,0<x<1,

/￥(X)=(甘枯?

|0,其他.

因為x與丫相互獨(dú)立，所以(X,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

1”

//、//、，/、-e2,0<x<l,y>0,

J(^y)=fxMJy(y)=\2>

0,其他.

11

⑵題設(shè)方程有實根等價于{（x,y）|y《x2},記為。，即。={（x,y）|y《x2},

設(shè)/=｛。有實根｝,貝

P(4)=P((X,y)￡0=JJ/(x,y)dxdy=￡「；e2dydx=￡(l-e2)dx

D2

]上__.I工

=1-fe2dx=1-J2?f1,—e2dx

J。J。而

=1-眉[①⑴-(D(0)]=1-0.3413岳.

15.設(shè)丁?6(1,0.4),1=1,234,且乂，X2,尤，匕相互獨(dú)立，求行列式

VV

X=｝2的分布律.

“3X4

解；由X?〃(1,0.4),Z=l,2,3,4,旦乂，X?,A；，％相互獨(dú)立，

易知.尤?僅0.16,0.84),丫2丫3?以。.16,0.84).

因為乂，X2,孤，X’相互獨(dú)立，所以與超占也相互獨(dú)立，又

乂X、

X=M：="_23，

則Y的所有可能取值為-1,0,1,有

()))

px=-i=P(X,XA=o,%2y3=i=P(X、XA=O)P(X2X3=1

=0.84x0.16=0.1344,

P(X=0)=P(X,XA=0,X2Xy=0)+P(X]X4=1，=1)

=P(X]X4=0)P(X2X3=0)+P(X/4=1)P(X2%3=1)

=0.84x0.84+0.16x0.16=0.7312,

P(X=1)=P(X1X4=1,%2%3=0)=P(X?4=1)P(X2X3=0)

=0.16x0.84=0.1344,

故X的分布律為

X-101

p0.13440.73120.1344

12

16.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的概率密度為

2p-（x+2.r）,X〉0)>0,

/（2）=〈八

其他.

求Z=X+2Y的分布函數(shù)及概率密度函數(shù).

解：zWO時，若xWO,則/（x,y）=O；

若x>0,則>=2-工<0,也有,/*,)，)=(),

即zW0時，/(x,j)=0,

此時，F(xiàn)7(z)=P(Z<z)=P(X+2Y<z)=JJ7'(x,y)dxdy=0.

x+2yiz

z〉0時，若x40,則/(x,y)=0;

只有當(dāng)0<%=2且/=~~~>0時，/(x,y)x0，

此時，F(xiàn)7(z)=P(Z<z)=P(X+2K<z)=Jj7(x/)dxdy

x+2g

z-x

=￡d.rj-2e-(x+2y)dy=l-e-x-ze-s.

l-e-s-ze^,z>0,

綜上

七(z)=?0,z<0.，

zb,z<0,

所以/z(z)=加(z)=<

0,z<0.

17.設(shè)x,y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密堂分別為

1,0<X<1,e\y>0,

=<。，其他.‘人”

AW0,”0.

求2=萬+丫的概率密度.

解：N<0時,若x<0,則力（刈=0;

若xNO,則>=2-1<0,fY(z-x)=0

即Z<0時，fx(x\fy(z~x)=?此時，.G(Z)=J人⑴力.(z-x)dx=O.

0WzW1時，若x<0,則/(x)=0；

只有當(dāng)0?%"且了=2-%>0時fx(x)fY(z-工)w0,

13

(3V)-z

此時，./z(z)=J：工(x)fY(z-x)dx=￡edx=l-e.

z>1時，若x<0,fx(x)=0；若x>1,fx(x)=0；

若則卜=2-工>0,此時，fx(x)fY(z-x)0,

fz⑶=匚八MfY(z-x)dx=￡=(e-l)e-\

l-e-\0<z<l,

綜上,./z(z)=(e-l)e-\z>l,

0,z<0.

18.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

g(x+歹把一⑶'),x>0)>0,

/(3)=,

0,其他.

(1)X和丫是否相互獨(dú)立？(2)求2=￥+丫的概率密度.

解:(1)

x與y不獨(dú)立.

Q)zWO時，若x40,則/Y(X)=0;若X>0,則y=z-x<0,f(x,y)=O,

此時,fz⑶=「/(X，z-x)dx=0.

220時，若入40,貝1」八，(不)=0；只有當(dāng)0＜上＜2且歹=2—工＞0時/(x,y)w0,

此時，/z(z)=jf(x,z-x)dx=￡-i(x+_v)e"(+'=￡^ze~:dx=^z2e

「/、9尸,2>0,

所以%(z)=〈2

0,z<0.

19.設(shè)x和y時相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從正態(tài)分布N(o02).

證明：隨機(jī)變量z=7F行7具有概率密度函數(shù)

ge2a\z>0,

cr~

0,z<0.

解：因為x與丫相互獨(dú)立，均服從正態(tài)分布"(002),所以其聯(lián)合密度函數(shù)為

14

[[BJ

/('")二荒.Lb'(-Ji)

當(dāng)zNO時，有

22

FZ(Z)=P(Z<Z)=P^X+Y<Z)=JjLf(x,y)dxdy

=ff------^-e2/dxd)^=-......f-[rc2<Td;-=-^-[rc

-A2乃cr227Tcr2JOcPJ。

此時，fz(z)=-^c^；

當(dāng)z<o時，{V%2+r2<z}=0,所以％(z)=p(z?z)=pQx2+L?z)=o,

此時,7z(z)=0,

二產(chǎn),z20,

綜上,

0,z<0.

20.設(shè)(X,Y)在矩形區(qū)域G=｛(X,Y)\0<x<\fi<y<]｝上服從均勻分布,

求2=1?泊｛丫,丫｝的概率密度.

解：由題可知(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

i,o<x<l,o<^<2,

/(X/)='

0,其他.

易證，x?u[o,i],丫?u[o,2"且x與y相互獨(dú)立,

0,x<0,

淮”

心(吁x,0<x<1,,43)=2,,

乙