《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》復(fù)習(xí)提要

第一章隨機(jī)事件與概率

I.事件的關(guān)系A(chǔ)uBAuBABA-BAC。AB=(/)

2.運(yùn)和規(guī)則(1)A^JB=BUAAB=BA

(2)(AD8)DC=A5《uC)(AB)C=A(BC)

(3)(AuB)C=(AQu(BC)(AB)uC=(AuC)(BuC)

(4)AD/=而

3.概率P(A)滿足的三條公理及性質(zhì):

(1)O<P(A)<1(2)?(C)=l

(3)對互不相容的事件A，4,???,A“，有P([JAA)=￡P(guān)(4)(〃可以取8)

k=\*=1

(4)尸(。)=0(5)P(A)=1-P(A)

(6)P(A-8)=P(4)—P(N8),若AuB,則P(8—A)=P(8)—P(A),P(A)<P(B)

(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(8)P(Au8dC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BC)+P(ABQ

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.幾何概率

6.條件概率

(1)定義：若尸(8)>0,則P(4|8)二T包

P(B)

(2)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A\B)

若用.生，…紇為完備事件組，尸(4)>0,則有

(3)全概率公式：P(A)=￡P(guān)(B,)P(AIB,)

f=!

(4)Bayes公式：一|巾，出一

￡P(guān)(8,)P(AI修)

r=!

7.事件的獨(dú)立性：A,B獨(dú)立=尸(A8)=P(A)?(8)(注意獨(dú)立性的應(yīng)用)

第二章隨機(jī)變量與概率分布

1.離散隨機(jī)變量：取有限或可列個值，P(X=Xj)=p,滿足(1)/?,.>0,(2)

(3)對任意OuR,P(XwD)=￡pj

r.x^eD

2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)/(幻，滿足(1)f(x)>0,f[x}dx=1；

(2)P(a<X</?)=J/(x)dx：(3)對任意〃eA,P(X=a)=0

3.幾個常用隨機(jī)變量

名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差

兩點(diǎn)分布8(1,p)P(X=1)=/?,P(X=0)=^=1-/?ppq

二項式分布8(”,p)P(X=k)=C：pkq'i,k=0,1,2,…〃,叫)〃pq

Poisson分布尸(九)p(x=Q=e"=?=0,1,2,…

k!

_1_q

幾何分布G(p)P(X=Z)=qipM=l,2,…V

P

a+b(/—a)?

均勻分布U(a,份f(x)=----,a<x<b,

b-a212

11

指數(shù)分布七(外

/(x)=x>07不

1UM

正態(tài)分布NJ,/)a2

4.分布函數(shù)F(x)=P(X<x),具有以下性質(zhì)

(I)F(-oo)=0,F(+oo)=l；(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；

(4)P(a<X<b)=F(b)-F(a),特別P(X>a)=1—尸(a)；

對離散隨機(jī)變量，/a)=Z〃，?：

(6)對連續(xù)隨機(jī)變量，尸(#=L/⑺〃為連續(xù)函數(shù)，且在八刈連續(xù)點(diǎn)上，F(xiàn)W=f(x)

5.正態(tài)分布的概率計算以中(幻記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l)的分布函數(shù)，則有

(I)0)(0)=0.5；(2)①(一x)=l-①(x)；(3)若X~N(〃02),則F*)=(D(±Z￡)；

(4)以〃0記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1)的上側(cè)a分位數(shù)，則P(X>〃a)=a=l—a)(《)

6.隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)

(1)離散時，求丫的值，符相同的概率相加；

<2)x連續(xù)，g(x)在x的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

4(y)=/x(gT()'))l(g7()')))，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。

第三章隨機(jī)向量

i.二維離散隨機(jī)向量，聯(lián)合分布列P(X=Xj,y=x)=p,『，邊緣分布列

p(x=xi)=Pb,"=x)=p,j有

⑴p/O；⑵ZP,二1：⑶Pi.=￡P(guān)ij，P.j=ZPij

ijJi

2.二維連續(xù)隨機(jī)向量，聯(lián)合密度)(.%)，)，邊緣密度/x(x),/y(y)，有

(1)/(x,y)>0；(2)匚匚/(乂>)=1；(3)P((X,Y)eG)=J￡f\x,y)dxdy；

(4)力。)=二/(兌》)辦,4(y)=公

3.二維均勻分布/*,)，)=?加切',其中〃?(G)為G的面積

0,其它

4.二維正態(tài)分布其密度函數(shù)(牢記五個參數(shù)的含義)

八內(nèi))=_2/+

2glMI-p-(2(I-xr)L6方

且X~N(〃Ly~N(〃2，H)；

5.二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)尸(x,)，)=P(XWMyw_y)有

(1)關(guān)于X,)，單調(diào)非降；(2)關(guān)于x,y右連續(xù)；

(3)F(x,-a>)=F(-oo,y)=F(-oo,-oo)=0；

(4)尸(+8,+8)=1,F(x,+oo)=Fx(x),F(+oo,y)=Fy(y)；

(5)P(X[<X4々，)'1<丫4)'2)=產(chǎn)區(qū)，月)一產(chǎn)區(qū)，)’2)-尸"2，k)+尸

(6)對二維連續(xù)隨機(jī)向量，“、,)，)=貯磐之

dxdy

6.隨機(jī)變量的獨(dú)立性、）獨(dú)立0尸（乂），）=后（幻弓。'）

<?)離散時x,y獨(dú)立。[%=[%pj

(2)連續(xù)時X,y獨(dú)立o/(x,y)=fx*)4()，)

(3)二維正態(tài)分布x,y獨(dú)立。夕=0,且x+y~N(M+〃2H；+b；)

7.隨機(jī)變量的函數(shù)分布

<1)和的分布Z=X十丫的密度心(z)=「：/(z-y,y)dy=z-x)dx

(2)最大最小分布

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

I.期望

⑴離散時E(X)=^xtp.,E(g(X))=￡g(Xi)Pi；

ii

⑵連續(xù)時E(X)=J；爐(x)dX,E(g(X))=j]g(x)/(x)dx；

(3)二維時f(以X,y))=Z(?(七，)。)/。，E(g(X，y))=J二匚8(x,y)f(x,y)dxdy

>J*R

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(X+Y)=E(X)+EiY)；

(7)X)獨(dú)立時，E(XY)=E(X)E(Y)

2.方差

<l)方差D(X)=E(X—E(X))2=頊,丫2)一(￡：丫)2,標(biāo)準(zhǔn)差b(X)—JZXX)；

(2)D(C)=0,D(X+C)=D(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)X,y獨(dú)立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

3.協(xié)方差

(1)Cov(X9Y)=E[(X-E(X))(Y-￡(/))]=E(XY)-E(X)E(Y)：

(2)Cbv(X,y)=Cbv(y,X),Co^aX.bY)=abCov{X,Y)；

(3)v(X,+X2,X)=Cov(X^Y)+COV(X2,Y)：

（4）cbv（x,y）=o時，稱x,y不相關(guān)，獨(dú)立=＞不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時等價:

(5)o(x+y)=o(x)+o(y)+2M(x,y)

Cov(X,Y)

4.相關(guān)系數(shù)P=---有--I-0--x-y-區(qū)1,|夕xy|=1<=>3a,b,P(Y=r/X+Z?)=1

x)aXY(n

5.k階原點(diǎn)矩乙=E(X',k階中心矩4=E(X-E(X))*

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1.Chebyshev不等式P{|X-E(X)巨包《絲色或P{|X-E(X)|<口21-絲。

￡~￡一

2.大數(shù)定律

3.中心極限定理

(1)設(shè)隨機(jī)變量尤，2,…，X”獨(dú)立同分布E(XJ=〃，O(XJ=/,則

n

““2ZX-，〃

之Xj~N(“,S2),或_L^Xj~N(〃,二)或------N(0,l),

￡'近似〃士'近似〃品o近似

(2)設(shè)機(jī)是〃次獨(dú)立.重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p,則對任意x,有

limP{與絲<x]=6(x)或理解為若X~BQi,p),則X~N(npjipq)

"5°y/npq近似

第六章樣本及抽樣分布

1.總體、樣本

(I)簡單隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)；

(2)樣本數(shù)字特征：

一[工————/T2

樣本均值X=-Yxi(E(X)=〃，D(X)=一)：

?/-I?

樣本方差S2=—i-Y(X.-X)2(E(S2)=(y2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差

〃TM

樣本k階原點(diǎn)矩匕=-YX；,樣本k階中心矩4=-Y(X,-X)k

〃i=l〃iT

2.統(tǒng)計量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)

3.三個常用分布(注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點(diǎn)定義)

(1)#2分布/2=x；+X：+…+X；~力2(〃)，其中X1,X?,…，X”獨(dú)立同分布于標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1),若乂~/(%)且獨(dú)立，則正+丫~42(%+%)；

x,

(2)f分布t=-==-r(/i),其中X?N(O,1),y?％2(〃)且獨(dú)立;

4YTH

（3）F分布/=也±~/（％,〃2），其中X~%2（〃）y?％2（〃,）且獨(dú)立，有下面的

Y/n2

性質(zhì)1~尸（%,￡Y（〃”%）=-=rr—7

4.正態(tài)總體的抽樣分布

⑴M~N（〃C）；（2）士力（Xj—//）2~/（〃）；

0，=i

（3）（"?S-~九2（〃一］）且與官獨(dú)立;（4）/=土建~/（〃一1）；

bS/J”

…一),c2_(%-DS；+(%-DS；

(5)3“=--------------7-----

C12/2

（6）尸=^7^~尸（修一1，〃2一1）

第七章參數(shù)估計

1.矩估計：

（1）根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩：（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計

2.極大似然估計：

（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏

導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然估計〔如無解回到（1）直接求最大值，一般為min{xr}或max{a}）

3.估計量的評選原則

（1）無偏性：若E（J）=。，則為無偏；