概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式集錦

一、隨機事件與概率

公式名稱公式表達(dá)式

德摩根公式

Q/A、,nA包含的基本事件數(shù)

古典概型

"基本事件總數(shù)

,其中U為幾何度量（長度、面積、體積）

幾何概型

求逆公式P(A)=\-P(A)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

加法公式當(dāng)P(AB)=O時,P(AUB)=P(A)+P(B)

當(dāng)P(AB)=0時，P(AUB)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB),時P(A-B)=P(A)-P(B)

減法公式

條件概率公式P邳)=迪

1P(A)

P(AB)=P{A}P{B\A)=P(B)P(A\B)

乘法公式

P(ABC)=P(A)P(3|A)P(C|AB)

.

全概率公式P(B)=Z2(A)P(同A)

f-1

貝葉斯公式P(A/)P(國A)

P閭3)=s，1

（逆概率公

W/(Aj)P(川4)

式）

Z=1

兩件事件

P(AB)=P(A)P(8)；P(B\A)=P(B)；P(B\A)=P(l^A)

相互獨立

二、隨機變量及其分布

1.分布函數(shù)性質(zhì)

ZP(X=x.)

尸(x)=P(X<x)=',P(a<X<b)=F(h)-F(a)

VfWt

IJF

2.離散型隨機變量及其

分布分布律

分布名稱

0-1分布X~8(Lp)P(X=A)=〃A(l—〃)i,A:=0,1

二項分布X~8(小p)P(X=k)=C&p、"〃尸，k=0』,…,〃

泊松分布X~P(2)p(x=k)=e-A—.攵=0,1,2,…

k!

3.連續(xù)型隨

機變量及其

密度函數(shù)分布函數(shù)

分布

分布名稱

1,0,x<a

----,a<x<b

均勻分布x-a/.

f(x)=h-aF(x)=?------,a&xvb

X?U(a,b)b-a

0,其他l,x>b

指數(shù)分布x>01-產(chǎn)，x>0

f(x)=z4斤(x)=,

X-E(2)0,x<00,x<0

_(A")?

(r-W

正態(tài)分布f(x)=-f=-ex

F(x)=-=^fle2b2d/

X~N(〃Q2)」2不(77

-oo<X<+CO

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

1-—

分布

」27v

X~N(0,l)—oo<x<-KO

4.隨機變量函數(shù)Y=g(X)的分布

離散型:，

連續(xù)型：①分布函數(shù)法，②公式法

三、多維隨機變量及其分布

1.禽散型二維隨機變量及其分布

分布律：分布函數(shù)

邊緣分布律：

條件分布律：，

2.連續(xù)型二維隨機變量及其分布

①分布函數(shù)及性質(zhì)

分布函數(shù)：

性質(zhì)：

②邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)

分布函數(shù)：密度函數(shù)：

&(y)|「fy(y)=「f(u,y)du

J-00J—ooJ-oo

③條件概率密度

3.隨機變量的獨立性

隨機變最X、Y相互獨立，

離散型：，連續(xù)型：

4.二維隨機變量和函數(shù)的分布

離散型：

連續(xù)型:

四、隨機變量的數(shù)字特征

I.數(shù)學(xué)期望

①定義：離散型，連續(xù)型

②性質(zhì)：，，

,當(dāng)X、Y相互獨立時：

2.方差

①定義：

②性質(zhì)：，，

當(dāng)X、Y相互獨立時：

3.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

①協(xié)方差:，當(dāng)X、Y相互獨立時：

②相關(guān)系數(shù):，當(dāng)X、Y相互獨立時:(X,Y不相關(guān))

③協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：，

G?v(x1+x2,n=cbv(xpy)+G7v(x2,y)

Cov(aX+c,bY+d)=cibG)\iX,K)

4.隨機變量分布的期望

和方差數(shù)學(xué)期望方差

分布

0-1分布伙l,p)PP(l-P)

二項分布仇〃,p)叩np(l-p)

泊松分布PQ)

7

n

a+b

均勻分布U(a,〃)

212

2

正態(tài)分布A

指數(shù)分布_1_1

77

五、大數(shù)定律與中心極限定理

1.切比雪夫不等式

若E(X)=〃,D(X)=b2,對于任意￡>o有P{|X-E(X)|N￡}K3^

2.大數(shù)定律：①切比雪夫大數(shù)定律：若相互獨立，

且，則：

②伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)

生的概率，則，有:

③辛欽大數(shù)定律：若獨立同分布，且，則

3.中心極限定理

①獨立同分布的中心極限定理：均值為，方差為的獨立同分布時，

當(dāng)n充分大時有：

②拉普拉斯定理：隨機變局則對任意x有：

r

limP{nS=<x}=fJ—e-dt=

xf”yjnp(\-p)J-8,27r

③近似計算：

〃人一〃〃

P(a<Yxk<h)=<-^5=—

VnoVncr

六、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

1.總體和樣本

總體X的分布函數(shù)F(x)樣木(X1,X,…X”)的聯(lián)合分布為廠(為，為…再J=AF(xk)

k=\

2.統(tǒng)計量

(1)樣木均值：(2)樣本方差：

⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差：(4)樣本階距：

⑸樣本階中心距：

3.三大抽樣分布

(I)分布：設(shè)隨機變顯相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機變量所服從的分布稱為自由

度為的分布，記為

性質(zhì)：①②設(shè)且相互獨立，則

⑵分布：設(shè)隨機變量，且X與Y獨立，則隨機變量：所服從的分布稱為自由度的的分布，記

為

性質(zhì)：①②

(3)分布：設(shè)隨機變量，且與獨立，則隨機變量所服從的分布稱為自由度的分布,

記為，性質(zhì)：設(shè)，則

七、參數(shù)估計

1.參數(shù)估計

(1)定義：用估計總體參數(shù)，稱為的估計量，相應(yīng)的為總體的估計值。

(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩估計值;未知參數(shù)的極大似然估計值

2.點估計中的矩估計法：：總體矩=樣本矩)

樣本均值：或

求法步驟：設(shè)總體X的分布中包含有未知參數(shù)，它的前k階原點矩中包含了未知參數(shù)，即。

乂設(shè)為總體X的n個樣本值，用樣本矩代替，在所建立的方程組中解出的k個未知參數(shù)即為

參數(shù)的矩估計量

3.點估計中的極大似然估計

極大似然估計法：取自的樣本，設(shè)或，

求法步驟：

①似然函數(shù)：

②取對數(shù)：或

③解方程：，解得：

4.估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)

估設(shè)為未知參數(shù)的估計量。若E()=,則稱為的無偏估計量。

無偏性

計

量設(shè)和是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若，則稱有效。

有效性

的

評設(shè)是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有

價

一致性limP(|旗―81>e)=0,則稱)〃為6的一致估計量(或相合估

標(biāo)n-?oo

準(zhǔn)計量)。

5.單

正態(tài)

總體

參數(shù)估計樞軸量

樞軸量置信水平為1-4的置信區(qū)間

的置參數(shù)分布

信區(qū)

間

條件

已知

二」一〃E-z%W'+z%,

7M0」)

C72

未知-啥百物5-臉)

T二xf1)

S/Jn

2汽(Xi)?￡(%-")2

已知

2/-I_________jj________

O-/(〃)

7&(〃)，#；%(〃)

八/假

/\

設(shè)未知2(〃-W("DS-(〃-1)S)檢

(T2

/25T)'z；%(〃T),

驗

1.假設(shè)檢驗的基本概念

假設(shè)檢驗的統(tǒng)計思想是小概率原理。

基這里所說的小概率事件就是事件，其概率就是顯著性水平a,通常我們

本取a=().05,有時也取().()1或().10。

思

這里所說的小概率事件就是事件｛KER",其概率就是顯著性水平Q,

想

通常我們?nèi)=0.05,有時也取0.01或0.10。

1.提出原假設(shè)“；2.選擇統(tǒng)計量M3.對于a查表找分位數(shù)人：

4.由樣本值計算統(tǒng)計量之值K；將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時拒絕110,否

基則認(rèn)為接受HOo

本4.由樣本值計算統(tǒng)計量之值K；將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時拒絕H0,

步否則認(rèn)為接受H0。

驟4.由樣本值為，々，…，與計算統(tǒng)計量之值加將1與力進(jìn)行比較，作出

判斷：當(dāng)|左或1＞團時拒絕兒否則認(rèn)為接受優(yōu)

當(dāng)H0為真時，而樣本值卻落入了拒絕域，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時，

我們把客觀上110成立判為no為不成立(即否定了真實的假

第一類

設(shè))，稱這種錯誤為“棄真錯誤”或第一類錯誤，記為犯此類

錯誤

錯誤的概率，即:P｛拒絕H0|H0為真｝二;

兩當(dāng)H1為真時，而樣本值卻落入了接受域，按照我們規(guī)定的檢

類驗法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時,我們把客觀上H0不成立判為H0

錯第二類成立(即接受了不真實的假設(shè))，稱這種錯誤為“取偽錯誤”

誤錯誤或第二類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即：

p｛接受圉力為真｝二￡。

人們當(dāng)然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。但是，當(dāng)容

兩類錯

量n一定時，變小，則變大；相反地，變小，則變大。取定要

誤的關(guān)

想使變小，則必須增加樣本容量。

系

2.單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗

統(tǒng)計量

條件原假設(shè)檢驗統(tǒng)計量拒絕域

分布

"o：4=〃0|z|>z%

己知

%：〃(z=%N(O,1)z>z〃

2No

CT(T/\jn

H。；NNNoz<-z?

HoW="o

未知