總復(fù)習

一.填空題

1、A、B是兩個隨機事件,已知p(A)=0.5,p(B)=0.3,則

⑴若A8互斥，則"A?B)=0.5:

⑵若4,5獨立，則p(AUB)=0.65:

(3)若p(A.5)=0.2，貝ijp(A|B)=3n.

2、A、B是兩個隨機事件，已知p(A)=0.25,p(B)=0.5,P(AB)=0.125,則

p(A-B)=0.125;p(AUB)=0.875;p(A|B)=0.25.

3、袋子中有大小相同的紅球7只，黑球3只，

(1)從中不放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不同的概率為：7/15o

(2)若有放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不同的概率為：21/50o

(3)若第一次取一只球后再追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中再取第二

只球，則第一、二次取到球顏色不同的概率為：21/55.

4、袋子中有大小相同的5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取2只。

(1)4只中恰有2只白球1只紅球1只黑球的概率為：蟲

(2)4只中至少有2只紅球的概率為；.

(34只中沒有白球的概率為：與

5、10把鑰匙中有板有3把能打開門,今任取2把，能將門打開的概率為：

隼#4或a一裊

1Jjo

6、設(shè)離散型隨機變量X的概率分布P{X=0)=0.2.P{X=l)=0.3,P(X=2)=0.5,

貝ijP(X^1.5I=().5

7.設(shè)隨機變量X~U(O,1),則2-3X的概率密度函數(shù)

-1<y<2

為:.fy(y)=?3(參考教材P61例2)

其他

()

8、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為尸。)=，1"戲一,則P{XW1}=

0x<0

")=1-21.

9、設(shè)X?N(1,2),Y?N(0,3),Z?N(2,1),且X,Y,Z獨立，則

P10W2X+3Y-ZW61=0.3413(提示:2X+3Y-Z~N(0,36))

10、設(shè)隨機變量X服從泊松分布4(4),p{X=7}=P{X=8},則E{X}=8

11、設(shè)隨機變量X服從B(2,0.8)的二項分布，則p{X=2}=」LM,Y服從B

(8,0.8)的二項分布，且X與Y相互獨立，則PIX+y》D=l?0.21°,

E(X+D=8_O

12、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且E(X)=-l,E(Y)=l,E(X2)=2,E(y2)=3,則由切

比雪夫不等式P{|X+y|v6}N*(P{|X-E(X)|<￡}21-SF)

E(X+Y尸E(X)+E(Y)=0,D(X+Y尸D(X)+D(Y尸

E(X2)—(E(X))2+E(y2)_(玖丫)>=3)

13、設(shè)X1,X?…,凡是來自總體NS,1)的樣本,則統(tǒng)計量缶導(dǎo)二!

2(AH+X]2+--?+A15)

F(10.5)(Pl23)

14、設(shè)某學校外語統(tǒng)考學生成績X服從正態(tài)分布N(75,25),則該學校學生的

及格率為0.9987,成績超過85分的學生占比PIX2851為0.0228。

其中標準正態(tài)分布函數(shù)值①⑴=0.8413,0(2)=0.9772,0(3)=0.9987.

15、設(shè)二維隨機向量(x,y)的分布律是有

則a=0J,X的數(shù)學期望

X01

E(X}=0.4X與V的相關(guān)系數(shù)Y

-10.3().3

10.3a

pxy=-0.25

16、設(shè)X"..,Xi。及X，...,%分別是總體N(20,6)的容量為10,15的兩個獨立樣本,

元F分別為樣本均值，S：,5；分別為樣本方差。

則：??N(2O,3/5),X-Y-N(OJ),P\X-Y\>\}=0.3174,

3S1

-5,2-Z2(9),《?—F⑼[4)—o

乙Jc

此題中中⑴=0.8413。此題中中⑴=0.8413,0(2)=0.9772,0(3)=0.9987

17.設(shè)某商店一天的客流量X是隨機變量，服從泊松分布乃X,為總體

X的樣本，七(X)的矩估計量為X，160,168,152,153,159,167,161為樣

本觀測值，則E(X)的矩估計值為160

18、在假設(shè)檢驗中，容易犯兩類錯誤，第一類錯誤是指：當H。為真時拒絕Ho.

也稱為棄真錯誤。第二類錯誤是指當H。不為真時接受H。.也稱為取偽錯

送__________，顯著水平。是指控制第一類錯誤的概率不超過。;

19、有甲乙兩臺設(shè)備生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，甲生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%,次品率為10%；

乙生產(chǎn)的產(chǎn)品占40%,次品率為20%。(1)若隨機地從這批產(chǎn)品中抽出一件，抽到

次品的概率為0.14;(2)若隨機地從這批產(chǎn)品中抽出一件，檢驗出為次

品，則該產(chǎn)品是甲設(shè)備生產(chǎn)的概率是一3/7.

a一

二、己知隨機變量X的密度函數(shù)/*)={—/'2<-JV<-t-oo

0,其它

求：(1)常數(shù)4,(2)p(0.5<X<4)(3)X的分布函數(shù)F(X)o

解:⑴由匚/(x)公=1,得。=2

(2)p(0.5<X<4)=￡f(x)dx=，金公=0.5

0

x<2

⑶F(x)=2

1—2<x<+oc

x

a

0<x<+oo

三、已知隨機變量x的密度函數(shù)/(x)=TTP'

0其它

求：(1)常數(shù)(2)p(-l<X<V3)(3)X的分布函數(shù)F(X)o

解:⑴由「"/(X)小=1,得。=2

J-Xn

(2)p(-l<X<V3)=Cf{x)dx=12__L_Jx=—

"1+r3

0

x<0

⑶F(x)=-TC

—arctanx0<X<+8

12

四、設(shè)隨機變量X,Y的概率密度分別為：fx(x)=5'

0,其它

人(田=『居且隨機變量X,Y相互獨立。

0,其它

(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(xyy)

2

(2)計算概率值式Y(jié)>X}o

解:⑴

X,Y相互獨立，可見(X,Y)的聯(lián)合概率密度為fQx,y)=/x(x)，/y(y)，

孫0<x<2,0<y<l

f(x,y)=?

0,其它

(2)P(Y>X2)=jjf(x,Y)dxdy=￡xydy

.但x2

=\_

~6

五、從總體X~N(〃,b2)中抽取容量為25的一個樣本，樣本均值和樣本方差分

2

別是：X=80,S=9,r0.025(24)=2.0639,xj975(24)=12.4,^5(24)=39.36

求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間和。2的置信度為0.95的置信區(qū)間。

解：(l)n=25,置信水平1-a=0.95,?/2=0.025,rOO25(24)=2.0639,

T=80,S2=9由此u的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

3

(80±-x2.0639),即(80±1.238)

V25

(2)n=25,置信水平1一。=0.95,2/2=0.025,片975(24)=12.4,片儂(24)=39.36

2

5=9由此。2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:

24x924x9=(5.49,17.42)

福如(24)檢975(24)

六、從總體X~N(〃w2)中抽取容量為25的一個樣本，樣本均值和樣本方差分

2

別是下=80,5=9,/005(24)=1.71,君95Q4)=13.85,405(24)=36.42

分別求〃、/的置信度為0.95的單側(cè)置信下限。

解：(l)n=25,置信水平1一a=0.95,a=0.05,/005(24)=1.71,

X=80,S2=9由此u的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為：

80-x1.71=78.974

⑵n=25,置信水平1一a=0.95,a=0.05,XJ05(24)=36.42

S?=9由此。2的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為：

24x9

5.93

公。5（24）

七、設(shè)總體X服從均勻分布U(〃M,X],X2…,X”是X的一個樣本，求。力的

矩估計量

解:設(shè)X的一階樣本矩、二階樣本矩分別為A=A.=-fxh

X的一階矩、二階矩分別為石(乂)=皇,石(乂2)=""；+〃”,令

4X2)/+；+"=4

可解出

1=J3（4M）+A

2

2=A-^3（A2-A,）

八、設(shè)總體X服從N(〃,b2)?2已知，〃未知。X],…,X”是X的一個樣本，求〃的

極大似然估計量，并證明它為〃的無偏估計。

解：樣本.的似然函數(shù)為:

L(Xi，...,4=(2乃廠""exp[-；汽(毛一〃)2]

2A-I

n

]2

ffnInL(x)xn,u)=-n/2\n(2^)——-u)]

2k=\

令："Ong""，"))二

dui

解得:日」之天〃的最大似然估量6X,

￡(?)=￡(-!-yXk)=u,它為〃的無偏估計量.

〃y

九、某地區(qū)參加外語統(tǒng)考的學生成績近似服從正態(tài)分布N(〃,1),〃,/未知，該校

校長聲稱學生平均成績?yōu)?0分，現(xiàn)抽取16名學生的成績，得平均分為68分，

標準差為3分，請在顯著水平a=0.05下，檢驗該校長的斷言是否正確。(此題

中，0025a5)=2.1315)

解：按題意學生成績X?N3Q2),〃Q2未知，現(xiàn)取。=0.05檢驗假設(shè)：

"o:〃=%=70,”］：u工“0=70

用t檢驗，現(xiàn)有〃=16,a=O.O5"OQ25（15）=2.1315，拒絕域為:

｛卜試>2.1315,

7-70

由：元=68,s=3,t=------j=?-2.67,

5/V16

t值在拒絕域內(nèi)，故拒絕H。，認為該校長的斷言不正確.

十、一工廠生產(chǎn)化學制品的日產(chǎn)量(以噸計)近似服從正態(tài)分布，當設(shè)備正常時一天

產(chǎn)800噸，現(xiàn)測得最近5天的產(chǎn)量分另lj為:785,805,790,790,802,問是否可以認

為日產(chǎn)量顯著不為800噸。(取二=0.05),此題中九ox⑷=2.7764。

解：按題意日產(chǎn)量年~NQ,/),”,以未知，現(xiàn)取。=005檢驗假設(shè):

HQ:u=800,H｛：〃w800

用t檢驗，現(xiàn)有〃=5,a=0.05,r0.025(4)=2.7764，拒絕域為：

>2.7767,

7：_onn

算得：1=794.4,5=8.6169,/=-~~^-=-1.4527,

s/V5

t值不在拒絕域內(nèi)，故接受”Q,認為日產(chǎn)量沒有顯著變化.

十一、設(shè)溫度計制造廠商的溫度計讀數(shù)近似服從正態(tài)分布N3,未知，現(xiàn)

他聲稱他的溫度計讀數(shù)的標準差為不超過05現(xiàn)檢驗了一組16只溫度計,得標準

0o7度，試檢驗制造商的言是否正確(取a=0.05),此題中z；05(15)=24.996。

解：按題意溫度計讀數(shù)X~%(〃°2),〃h2未知,現(xiàn)取。=().05檢驗假設(shè)：

0.5,H,：cr>0.5P

用Z2檢驗，現(xiàn)有〃=5,a=().O5"og(4)=2.7764，拒絕域為：

Z2=^n￡1>必。5(15)=24.996

Vz?

(〃一1),115x0.7

算得：Z=29.4>24.996

在拒絕域內(nèi)，故拒絕兒，認為溫度計讀數(shù)的標準差為顯著超過05

十二、設(shè)某衡器制造廠商的數(shù)顯稱重器讀數(shù)近似服從正態(tài)分布

未知，現(xiàn)他聲稱他的數(shù)顯稱重器讀數(shù)的標準差為不超過10克，現(xiàn)檢

驗了一組16只數(shù)顯稱重器，得標準差12克，試檢驗制造商的言是否正確(取

a=().05),此題中ZO.C5(15)=24.996。

解：按題意數(shù)顯稱重器讀數(shù)乂~陽〃02),〃,人未知，現(xiàn)取。=0.05檢驗假設(shè)

"o：b410,H［：10

在”0成立的條件下，用/檢驗,現(xiàn)有〃=16,a=0.05,小25(15)=24.996,

拒絕域為，

Z2=^T￡1>/。式15)=24.996

算得：/=(〃-"J5XI2?=21.6<24.996

102102

不在拒絕域內(nèi)，故接受名，認為讀數(shù)的標準差不顯著超過10克.

十三、某工廠要求供貨商提供的元件一級品率為90%以上，現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大

批元件，經(jīng)隨機抽取100件，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)有84件為一級品，試以5%的顯著性水

平下，檢驗這個供應(yīng)商提供的元件的一級品率是否達到該廠方的的要求。(已知

Z005=1.645,提示用中心極限定理)

解總體X服從〃為參數(shù)的0-1分布，

H:p之Po=0.9,H1:p<外=0.9

乂|,...,*順為總體乂的樣本，在“0成立條件下，選擇統(tǒng)計量

Z=P。,由中心極限定理，z近似服從標準正態(tài)分布，則拒絕域為

Po(l-Po)

Z<_Zoos

經(jīng)計算該題z=-2v-z0.05,即得Z在拒絕域內(nèi)，故拒絕“0，

認為這個供應(yīng)商提供的元件的一級品率沒有達到該廠方的的要求

十四?設(shè)總體X?NJ,，),xpx2..sx”為來自總體X的樣本，當用2又-X1,9及

：XI+2X2-LXJ乍為〃的估計時,哪個最有效？

236

——1?1

解首先說明2X—X1,X及上X1+士X?X、是1的無偏估計量.

236

因為E(2又-X,)=2E(X)-E(Xt)==//

E(X)=/Z,E(1X1+|X2-1X3)=1A+1//-1A=A

236236

然后求各估計的方差，比較其大小，其中方差最小的估計量最有效.

2〃99

D(2X-X1)=D(-￡X,.-X1)=DK--l)X,+-(X2+...+X?)J

nf=1nn

(2—〃/4

=^^o(xj+u(o(x，)+…+Q(x.))

n"n"~

=-U(2—〃)2/+4(7?-Do-2]=O-2

n-

D(X)=—

n

171I4I13

。弓七+]&-4。)=^力(k)+§力(占)+石D(4)=仄，

比較以上三個方差,。(天)最小，故最有效的估計量是又.

總復(fù)習二

二.填空題

1、A、B是兩個隨機事件,已知p(A)=0.5,p(B)=0.3,p(AB)=0.1,則

p(A-B)=0.4>D(AUB)=0.7、p(AB)=1/3,P(3?月)=0.3

2、A、B是兩個隨機事件,已知p(A)=0.6,尸(8)=0.5,p(AB)=O3,則

p(AUB)=0.8,p(A-B)=().3,P(A-B)=02.,A與B獨立性為：相互獨立

3、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為6的泊松分布，則p{XNl)=1-￡2

4、A1,…,A。構(gòu)成樣本空間的一個劃分，且p(Aj)>O,i=l,…,n。對于任何事件

B,若p(B)>0,0WmWn,則有：全概率公式：p(0-之)，(回&),貝

*=i

葉斯公式p(AjB)=〃(AJP(MA”)/(WP(4)?P(M4)。

*=1

5、設(shè)隨機變量X服從B(2,0.6)的二項分布.則〃(X=2"0.36,Y

服從B(8,0.6)的二項分布，且X與Y相互獨立，則X+V服從B(10,0.6)

分布，E(X+Y)=6。

6、設(shè)二維隨機向量(X,y)的分布律是有

則”0.2,X的方差D(X)=0.25,X與丫的獨立性為:不相互獨立。

7、三個可靠性為p>0的電子元件獨立工作，

(1)若把它們串聯(lián)成一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：色；

(2)若把它們并聯(lián)成一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：—)3；

8、若隨機變量X~U(1,5),則〃h〈X〈41=0.75;E(2X+1)=7_,

D(3X+1)=12.

9、若隨機變量X~N(l,4)且①⑴=0.8413則P{-1<X<3}=0.6826

y=2X+14Jy~N(3，16)

10、隨機變量X、Y的數(shù)學期望E(X)=-1,E(Y)=2,方差D(X)=1,D(X)=2,.BL

X、Y相互獨立，則：E(X-Y)=-3，D(X-Y]=3

11、設(shè)XI,…,Xg是總體N(20,4)的容量為16的樣本，T為樣本均值，5?為樣本

方差。

貝IJ：1~N(2(),().25),p\x-2()|>1)=0.0456,

—S2-Z2(15),(15)

4----------5/Jl6

止匕題中中(2)=0.9772。

12、設(shè)隨機變量X分布律為：

X-202

概率0-30.30.4

則:V-X2的分布律為:

X04

概率0.30.7

二、已知隨機變量x的密度函數(shù)/(幻=1+“'

0,具'匕

求；(1)常數(shù)a,(2)p(0.5<X<15)(3)X的分布函數(shù)F(X)。

解:⑴由。=1,得。=1/2

(2)p(0.5vX<1?5)(X)CZY=￡5(x+-Xr=0.675

0x<0

(3)F(x)=\().5x2+0.5x,0<x<l

1,I<x

三、設(shè)隨機變量（X.Y）的聯(lián)合概率密度為：=職0<x^h0<y<l

[0，其它

求：（1）X,Y的邊緣密度，（2）由（1）判斷X,Y的獨立性。

解:（1）X,Y的邊緣密度分別為:

iO,2

4xydy