習(xí)題解答

I.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品。從中隨機抽取2次，每次抽

取1件，定義兩個隨機變量x、丫如下:

V[1,第1次抽到正晶V[1,第2次抽到正吊

[0,第1次抽到次品o[0,第2次抽到次品。

試就下面兩種情況求（x,y）的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布。

（1）第1次抽取后放回；（2）第1次抽取后不放回。

解⑴依題知（x,y）所有可能的取值為（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）.因為

p（x=o,y=0）=p（x=0）?p（y=o|x=o）

^,..￡L=AXA=A.

C.'oC。io1025

p(x=o,y=1)=p(x=o)?p(y=11x=o)

=_^4_._^6_=AX_6_=_L.

C。G。1°1°25'

p(x=i,y=o)=尸(X=1)?p(y=o|x=1)

==AXA=A.

C.'oc.'o101025

p(x=1,y=1)=p(x=1).p(y=11x=1)

=￡L.￡L=AXA=_9..

C.'oC.'o101025'

所以(X,y)的聯(lián)合概率分布及關(guān)于x、Y邊緣概率分布如下表為:

01Pi

A4610

U252525

16915

1252525

1015

1

Pj2525

(2)類似于(1),可求得

p(x=o,y=o)=p(x=o)?p(y=oix=0)

=G.G=4X3=2.

一。：0c5~109.15，

p(x=o,y=1)=p(x=o)?p(y=11x=o)

=C：=46=4.

FoC；-10廠15，

p(x=i,y=o)=p(x=i)?p(y=o?x=1)

=C：C：=6.4=4.

一C：oC*-109'5，

p(x=i,y=1)=尸(X=1)?p(y=11x=1)

~C；0。廠10915'

所以(X,Y)的聯(lián)合概率分布及關(guān)于X、Y邊緣概率分布如卜表為:

01Pi

246

015L5T5

1459

1151515

n.691

〃J15151

2.已知10件產(chǎn)品中有5件一級品，2件廢品?，F(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取3

件，記其中的一級品數(shù)與廢品數(shù)分別為x、y,求（x,y）的聯(lián)合概率分布和

邊緣概率分布。

解依題知X、V所有可能的取值分別為0』,2,3及0,1,2,故

噂=0吠0）=會=比；ax=o,y=D=等=4；

「（乂=。叱2）=管=卡P（x=i,y=o）=^4;

…，i）=生衿.P-2)=警得

p(x=2,y=o)=g'1.P(X="=I)=筆必'；

Go4'C10

尸(X=2,y=2)=0；P(X=3,Y=O)=宜二,

p(x=3,y=i)=o：p(X=3,y=2)=0：

所以（x,y）的聯(lián)合概率分布及關(guān)于x、y邊緣概率分布如下表為:

X-101Y01

pillp11

〃42422

且尸(x?y=o)=i,求

(1)x和y的聯(lián)合概率分布；(2)尸(x=y).

解(1)因為

(x.y=o)=(x=-i,y=o)u(x=i,r=o)

U(x=o,y=o)u(x=o,y=i)

所以

尸(X?y=o)=p(x=-i,y=o)+p(x=i,y=o)

+P(X=o,y=O)+P(X=o,y=i)

=P\\+〃31+Pl\+〃22=i

23

乂根據(jù)ZZ=1得〃12+〃32=0，從而P12=〃32=0?于是由表

01P.

1

-1Ai04

1

0APiz2

1

1N04

1

Pi11

22

可得

P\\=4,〃31=（'〃22=^'〃21=；一〃22二°。

故（x,y）的聯(lián)合概率分布為

01化.

101

-144

11

0022

111

402

11

Pj1

22

（2）由（1）知尸（x=y）=p（x=o,y=o）+p（x=i,y=i）=o.

4.設(shè)二維隨機向量（x,y）的聯(lián)合概率密度為

（x+2yx>0,y>0;

心『（Ae~0\,其它。

試求：（1）常數(shù)A；

（2）（乂,丫）關(guān)于乂、y的邊緣概率密度；

(3)P(0<X<2,0<r<3)；

(4)P(X+2y<l)；

(5)p(x<y).

解(1)由聯(lián)合概率密度分的性質(zhì)知

匚口Ey)dxdy=『公『4.e-^dy=1,

即4『6一工八?『6一2)小，=1,求得A=2.

(2)當(dāng)x>0時，有

Z(X)=匚f(x,y)dy=『*gy)dy=1.

當(dāng)xWO時，有/(x)=0.

所以(X,丫)關(guān)于x的邊緣概率密度為

x>0;

/.?=

0,x<0.

同理可得(X,丫)關(guān)于Y的邊緣概率密度為

f2(y)=\八y>0；

y<0.

(3)

P(0<X<2,0<r<3)=￡dx^2?e~(x+2y)dy

=21e~xdx-￡e~2ydy

=(l-e-2)(i_e-6).

(4)積分區(qū)域如圖陰影部分

p(x+2y<i)

=^dxp2-e-(x+2y)dy

=l-2e-1.

(5)積分區(qū)域如圖陰影部分

P(X<Y)

=『dxj；2-e-(x+2y)dy

=廣—)：”

=V"e-3xdx

Jo

,i

3.

5.設(shè)二維隨機向量（x,y）的聯(lián)合概率密度為

x2+；孫0<^<1,0<2;

/"，》)=

I0,其它。

試求：（1）（乂,丫）關(guān)于乂、y的邊緣概率密度；

（11、

（2）PX<-|K<-.

I22；

解（1）當(dāng)。工人<1時，有

,fi（x）=匚于（x,y）dy=f（/+gxy）dy=2x2+^x：

當(dāng)x<0必>1時，有<（x）=0.

所以（X,Y）關(guān)于X的邊緣概率密度為

2x2+-1-x,0<x<1;

/（幻=?

0,其它。

同理可得（X,Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為

i+"0<y<2;

/2(y)=3

0,其它。

（2）由條件概率的定義知

丁

而

Is

心力…》「城(廣9+xy)dy=;

尸（丫v1）=I'城（/+；⑼力=會；

于是

5

噂y

48

6.設(shè)二維隨機向量（X,丫）的聯(lián)合概率密度為

e~y,x>0,y>x;

f(x,y)=<

、0,其它。

試求:（1）（乂,丫）關(guān)于*、y的邊緣概率密度;

（2）p（x>2,y<4）.

解（1）當(dāng)x>（）時，有

/（X）=[：/（"，）'）力=￡e'dy=￡

當(dāng)x40時，有/（x）=0.

所以（X,丫）關(guān)于X的邊緣概率密度為

e~\x>0;

f\(x)=,

0,A：<0o

同理當(dāng)y>0時，有

力⑴=匚/（乂N）dy=（e~ydx=ye~y

當(dāng)yWO時，有/'2（x）=0.

所以（X,Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為

ye~y,y>0;

力(丁)=<

0,y<0.

（2）P（X>2,/<4）=^dx[e-ycly=^2-3^.

7.某公司經(jīng)理和他的秘書定于本周星期日中午12點至下午1點在辦公室會

面，并約定先到者等20分鐘后即可離去，試求二人能會面的概率。

解記經(jīng)理和他的秘書到達辦公室的時間分別為12點X分與12點丫分。

依題可假定（x,y）服從區(qū)域

D=｛（x,y）|0<x<60,0<y<60j

上的均勻分布，其聯(lián)合概率密度為

以X,y)=\3600'(X,>')GD\

10，其它。

“二人能會面”這一事件

(圖中所示陰影部分)可表示為

(Ix-y|<20)

于是

P(\X-Y|<20)

^3600-40x40

3600ao2060

.,—5—

9,

習(xí)題解答

1.設(shè)隨機變量x與y相互獨立同分布，且p（x=-1）=P（Y=一1）=],

p（x=i）=p（y=ii=l,則（）.

（A）p（x=y）=l（B）p（x=y）=i

（C）?（X+y=O）=[（D）P（XY=\）=^

解由x與y相互獨立同分布知（x,y）的聯(lián)合概率分布為

于是有

P（x=y）=P-）+P（xw=i）得.

2.設(shè)隨機變量X,。=1,2,3,4）相互獨立同分布，且尸（X,=0）=0.6,

YX

P（X,=1）=0.4?=1,2,3,4）,求行列式X=,2的分布列。

X3

xx

解X=J2=X|X4—X2X3,而X1X4、X2X3的概率分布分別

X3X&

為：

X/01X2X301

P____________________________P

由于Xj（i=1,2,3,4）相互獨立,所以X,X4與X2X3也獨立同分布,故X

的概率分布為

P(x=-1)=P(X]X4=0,X2X3=\)=P(X,X4=0)P(X2X3=1)

=0.84x0.16=0.1344

p(x=0)=^(%^4=0,X2X3=0^P(X,X4=1,X2X3=1)

=P(X,X4=0)-P(X2X3=0)4-P(X1X4=1).P(X2X3=1)

=0.84x0.84+0.16x0.16=0.7312

P(X=1)=P(XIX4=1,X2X3=0)=P(X,X4=1)-P(X2X3=0)

=0.84x0.16=0.1344

即

X-1o1

3.設(shè)二維隨機向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y)|0<x<2,0<y<l}

上的均勻分布，且

[o,x<r；似x<2/；

U=1v=<

1,X>Y.11,X>2Y.

求。與V的聯(lián)合概率分布。

解依題(U,V)的概率分布為

P(U=0,V=0)=P(X<Y,X<2Y)=P(X<Y)=j'dxjl^dy=^

P(U=09V=l)=P(X<Y,X>2Y)=0；

P(U=l,V=0)=P(X>y,X<2y)=P(Y<X<2Y)=^dyj^dy=j；

p(u=i,v=i)=i_p(u=ow=o)_p(u=o,v=i)_p(u=i,K=o)=[.

J

即

4.求習(xí)題第4,5,6題中（X,y）的聯(lián)合分布函數(shù)。

解（習(xí)題第4題）

當(dāng)x>0,y>0時，有

F（x,y）=^dt^2e-（t+2x）ds=（1一1）。-e0）；

當(dāng)x<0或y<0時，有尸（x,y）=O.

所以（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

（n）（ie）,x>0,y>0;

F(x,y)=<

o,其它。

（習(xí)題第5題）

當(dāng)x<0或y<0時，有方（x,y）=0；

當(dāng)0（不（1,04），42時，有

產(chǎn)(x,y)=]:(，2+3ts)ds=^x2y(x+日)；

當(dāng)0Wx4l,y>2時，有

/y)=/力/(/2+1ts)ds=g—(2x+1)；

當(dāng)x>1,0<)，42時，有

當(dāng)x>l或），>2時，有E（x,），）=l.

所以（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

0x<0或><0

次)，*+日)0<x<1,0<y<2

J■

2

F(x,y)=<|x(2r+l)0<x<1,y〉2

=y(4+y)

x>1,0<y<2

1x>l,y>2

（習(xí)題第6題）

類似地可求得（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

o,x<0或)y0;

F(x,y)=<1-e~x-xe~y,0<x<y;

\-e-y-ye-y,0<<x.

5.設(shè)二維隨機向量（x,y）的聯(lián)合概率密度為

4孫0<x<1,0<y<1;

/(x,y)=<

0,其它。

求（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)。

解當(dāng)XV?；騳<0時,有方（尤），）=0；

當(dāng)時，有

F（x,y）=[:dt^4stds=x2y2；

當(dāng)0WxWl,y>l時，有

一（％,y）=dt^stds=x2；

當(dāng)x>l,OSySl時，有

F（x,y）=4stds=y2；

當(dāng)工>1或y>2時，有尸（x,y）=l.

所以（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

0,X<0或)Y0;

22

Xy，0<x<1,0<j<1;

/區(qū)y)=,0<x<\,y>\;

x>1,0<y<1;

x>l,y>1.

6.設(shè)隨機變量x與丫相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為

1,0<x<1;Ae~y,y>0;

fxM=?fr（y）=

0,其它。0,y<0o

求：（1）常數(shù)A；

（2）隨機變量Z=2X+y的概率密度函數(shù)。

解⑴J=rA（y）dy=r>4-eydy=A.

J-8JO

（2）因x與y相互獨立，故（x,y）的聯(lián)合概率密度為

e0<x<l,y>0

f(x,y)=?

0,其他

于是當(dāng)z<0時，有

F(z)=P(Z<z)=P(2X+y<z)=0；

當(dāng)OKz<2B寸，有

F(z)=P(2X+y<z)=，dx^2Xe-ydy=j5(l-/=)公；

當(dāng)z>2時，有

F(z)=PQX+丫<z)=fdx^~2xe-ydy=f(1-e2x-z)dx；

利用分布函數(shù)法求得Z=2X+y的概率密度函數(shù)為

0,z<0;

fz⑶二0<z<2;

4(/-1)1,z>2.

7.設(shè)（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x,y)=A(B+arctan-^)(C+arctan.)

求:⑴常數(shù)A,3,C；

（2）（x,y）的聯(lián)合概率密度;

o）（x,y）的邊緣分布函數(shù)和邊緣概率密度；

（4）P（Xv3）,P（Y<4）,P（X<3,y<4）；

（5）判斷X與丫的獨立性。

解（1）依分布函數(shù)的性質(zhì)知

尸什8,+8)=limlimF(x,y)=limlimA(Barctan^)(C+arctan4)

.TT+8XTH3OXT+OOKTXO34

=48+爭(。+多=1

"-8,—8)=—郛。一半=。；

產(chǎn)(―8,0)=A(B-^)C=AB(C-^)=尸(0,-8)；

解得A=±,B=C=R

7C2

16

12

乃2(/+9)()/+16)'

（3）依聯(lián)合分令函數(shù)的性質(zhì)知

Fx(x)=Fx(x,+8)=4+!arctan-^

K(y)=K(+0y)=

所以（X,Y）的邊緣概率密度分別為

fx(X)=-ZT，fy(y)=-if~~TTT?

7i'(x+9)7C[y-+16)

(4)尸(X<3)=&⑶=(，P(y<4)=4(4)=?，

P(X<3,y<4)=F(3,4)=^

lo

(5)因為

f(x,y)=-12-------=/(%)-f(Y)

/，+9)()/+16)

所以X與丫相互獨立.

g.設(shè)某儀器由兩個部件構(gòu)成，用x、y分布表示兩個部件的壽命(單，立:

小時），己知（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

1-_e—+c45*+y)x>0,>,>0;

廠（乂）,）=

0,其它。

試求：（1）求（X,y）的兩個邊緣分布函數(shù);

（2）求（x,y）聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度;

（3）x與y是否獨立;

（4）兩個部件壽命都超過100小時的概率c

解（1）當(dāng)xNO時，有

F（x）=/（M+8）=lim（\-e-05x-e^-5y+）=1-2靠.

xy->+oo

當(dāng)x<0時，有尸（x,y）=0.

所以（x,y）關(guān)于x的邊緣分布函數(shù)為

1-"05、A>0；

Fx。）=?

0,A<0.

類似地（x,y）關(guān)于y的邊緣分布函數(shù)為

1-產(chǎn)J>0;

耳（?。?,

0,3J<0.

（2）當(dāng)x>0,y>0時，有

/(X,y)=器y)=部o.5e——0.5"?！?)

=0.25e~°-5(x+y)

所以（x,y）聯(lián)合概率密度為

乙、/0.25產(chǎn)叫%>0,）,〉0;

/（^y）=八

0,其匕。

相應(yīng)地其邊緣概率密度分別為

0.5產(chǎn)x>0;0.5e-叫y>0;

/x(x)=,

0,x<0.0,y<