概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試卷

課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試時(shí)間

專業(yè)班學(xué)號(hào)姓名

題號(hào)—三四五總得分

得分

評(píng)卷人復(fù)核人

一、填空題（每格3分，共18分）

1.設(shè)，相互獨(dú)立，則（1）至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為（2）恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率

為…一。

2.設(shè)，，，則

3.設(shè)是相互獨(dú)立二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）

的兩個(gè)隨機(jī)變量,

它們的分布函數(shù)分

別為，則的分

布函數(shù)

是。

4.若隨機(jī)變量

服從正態(tài)分布，

是來自的一個(gè)

樣本，令，則

服從分

布。

5.若對(duì)任意給定的

、隨機(jī)變量的條

件概率密度..則

關(guān)于的回歸函

數(shù)……

得分

1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上等于，而在此區(qū)間外等于0,若可以做為某連續(xù)型隨機(jī)

變量的密度函數(shù)，則區(qū)間為...)o

(A)[0,；(B)[0,乃]；

7F

(O(D)[0,y]。

2.假設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，即，期望與方差都存在，樣本取自

是樣本均值，則有...)

(A)x~f(x)；(B)minXi-f(x)：

(D)肉/2「一/〃)~日/(七)。

(C)maxXj?/(x)；

1<:<H

?=i

3.總體，已知，...)時(shí)，才能使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長(zhǎng)不

大于。()

(A)15cr2/L2；(B)15.3664cr2/L2；

(C)16cr2/L2；(D)16o

4.對(duì)回歸方程的顯著性的檢驗(yàn)，通常采用3種方法，即相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)法

和檢驗(yàn)法，下列說法正確的...)。

(A)尸檢驗(yàn)法最有效；

(B)，檢驗(yàn)法最有效；

(03種方法是相通的，檢驗(yàn)效果是相同的；

(D)檢臉法和檢驗(yàn)法，可以代替相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)法。

5.設(shè)來自正態(tài)總體的樣本（已知），令，并且滿足（），則在檢驗(yàn)水

平下，檢驗(yàn)時(shí)，第一類和第二類錯(cuò)誤的概率分別是（）和（）.

（A）P{|U|<U當(dāng)"o成立}；

P[\U\<U‘I當(dāng)”0不成立｝;

P[\U\>U°I當(dāng)Ho成立｝;

1---

P(\u\>u當(dāng)"0不成立｝。

I---

三、計(jì)算題（每小題10分，共20分）

1.設(shè)有甲、乙、丙三門炮，同時(shí)獨(dú)立地向某目標(biāo)射擊命中率分別處為020.3.0.5,目標(biāo)被

命中一發(fā)而被擊毀的概率為02被命中兩發(fā)而被擊毀的概率為06被命中三發(fā)而被擊毀

的概率為0.9,求：

（1）三門火炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率；

（2）在目標(biāo)被擊毀的條件下，只由甲火炮擊中的概率。

解：設(shè)事件分別表示甲、乙、丙三門炮擊中目標(biāo)，表示目標(biāo)被擊毀，表示有門炮

同時(shí)擊中目標(biāo)（），由題設(shè)知事件相互獨(dú)立，故

P(H1)=P(ABCuABCuABC)

=P(ABC)+P(4BC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.47

P(772)=0.22,P(”3)=O.O3

(1)由全概率公式，得

P(O)=ZP(，,)P(Q|"J

=0.47X0.2+0.22X0.6+0.03x0.9=0.253

（2）由貝葉斯公式，得

P(ABCD)P(ABC)P(D\ABC)

P(ABC|D)=

P(D)P(D)

0.2x0.7x0.5x0.2

=0.0554

0.253

2.隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，隨機(jī)變量

V_J-1若U“1y=jT若UR

"[1若u>--[o若U>1°

試求：（1）和的聯(lián)合概率分布；（2）；（3）的概率分布。

解：(1)因隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，故

p(x=一1,y=-1)=P(U<-1,[/<!)=P(U<-1)=J：%=；；

p(x=—i,y=o)=p(u<-1,f7>n)=P0)=o；

p(x=1,y=-I)=p(u>-\,U<1)=P(-l<17<1)=['-dx=-

42

p(x=i,y=o)=p(u〉>i)=p(u〉i)=

故和的聯(lián)合概率分布如下：

故，

131

E(X+D=￡(X)+E(y)

（3）z=x?+y2的概率分布為

Z=X12+Y212

P1/43/4

得分四、計(jì)算題（每小題10分，共20分）

1.設(shè)隨

機(jī)變量具有概率密度函數(shù)

Ax八

（、一70<X<7T

/c*）=</,

0其他

試求（1）常數(shù)A；（2）y=sinX的概率密度函數(shù)：（3）P（|sinX|<l/2）o

解：（1）由得

,得；

（2）由于在內(nèi)取值，的取值區(qū)間為，故的可能取值區(qū)間外,

故

{/<y}={0<X<arcsiny}u{乃一arcsiny<X<TT]

FY(y)=P{Y<y}=(x)公+仁i/3公

farcsiny2xt產(chǎn)

=I-彳dx+I

JO萬/J/7-arcsiny

在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得

1122-1

(3)P(|sinX|<-)=?：-.........jy=一arcsin)喝=-

2°p2j-),2p3

2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為

[24(1-x)y0<x<l,0<y<x

Pg')=[o其它

(1)求隨機(jī)變量x與y的邊際分布；

(2)若x,y分別為一矩形木板的長(zhǎng)與寬，求木板面積的數(shù)學(xué)期望；

(3)求條件分布密度〃HXGIx=')。

2

解：(1)

〃")')=匚〃(X，y)公=[24(1-x)必=12)，(y-2)o<y<1

(2)E(XY)=jjxyp(x,y)dxdyO={(x,y)10?xK1,0Ky?x}

24孫(1一x)ydy

4

=T5

(3)當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

得分五、計(jì)算題(每小題10分，共20分)

_______(1)1

.設(shè)總體的分布律為，其中為未知參數(shù)，是來自總體的樣本，試求：

(2)參數(shù)〃的矩估計(jì)量；(2)參數(shù)〃的極大似然估計(jì)量(只需列出方程)。

2.假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，是來自的10個(gè)觀察值，要在的水平下檢驗(yàn)

〃o=-0,〃]:“0

取拒絕域?yàn)镽={|元色C}。

(1)求C=?；

(2)若已知M=1,是否可以據(jù)此樣本推斷//=0(a=0.05)；

(3)如果以R={|M|21.15}作為該檢驗(yàn)H0:〃=0的拒絕或，試求檢驗(yàn)的顯著水平a.

其中，，。

解：⑴；

選擇統(tǒng)計(jì)量U=三二展回天

//yjn

當(dāng)時(shí)，

對(duì)于，查表知

因此拒絕域R={|U|21.96}={VlOx>1.96}={|x|>0,62}

即C=0.62

(2)對(duì)于，即，因此不能據(jù)此樣本推斷；

(3)P[\x|>1.15}=P{\VlOx|>1.15V10)

=l-P{h^0x|<1,15Vi())