全校各專業(yè)08-09年度第一學(xué)期《線性代數(shù)》考試題（A）

解答和評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題

1、C；2、D；3、A；4、Ao

二、填空題

5、|-5A、1|=（-5]4*|A<1]-125;6、ERROR；7、

3；8、r>1o

三、計(jì)算題

9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：

xx00

11-x11

D=

00yy

1111-y

第二列減第一列，第四列減第三列得：

X000

1-X10

D=（4分）

00y0

101-y

按第一行展開得

-x10

D=x0y0

0i-y

按第三列展開得

~x0,

D=-xy=%）廣。（4分）

1）'

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子+3）,再

3=i>

通過行列式的變換化為上三角形行列式

心V二%

王（4分）

1x2…七十3

1x2…Z

仁八。3...0

=ZE

\<=|）?

003

（n\

=3"“黃+3（4分）

\/=17

四、證明題

11>證明：

（1）、因?yàn)?線性無關(guān)，所以%,%線性無關(guān)。，

又四，出，出線性相關(guān)，故6能由如，,4線性表出。（4分）

/*（?,a-,,%）=：3,

（2）、（反正法）若不，則％能由%,%,由線性表出，

不妨設(shè)%=4％+k2a2+砥勺°

由（1）知，q能由4,4線性表出，

不妨設(shè)%=4%+G%。

所以巴=女|（。％+G）+Z2a2+Z3a3，

這表明/，％,%線性相關(guān)，矛盾。（4分）

12、證明

(1)(E+f(A)XE+A)=[E+(E-A)(E+AY]](E+A)

=(E+A)+(E-A)(E+A)~\E+A)=(E+A)+(E-A)=2E(4分)

(2)f(f(A))=[E-f(A)][E+f(A)]-]

由⑴得：[E+/(4)『=g(E+A),代入上式得

W(A))=[E_(E-A)(E+A)嗚(E+A)+E+A)_(E_A)(E+A嗎-A)

=-(E+A)--(E-A)=A(4分)

22

五、解答題

13、解:

（1）由|花-川=（）得A的特征值為4=1，）?=2,4=5。（4分）

（2）4=1的特征向量為。=-1,

T

4=2的特征向量為5=0,

「0、

4=5的特征向量為43=1O（3分）

（3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則芻4名正交。（2分）

o個(gè)(A

（4）將單位化得pi“2=0（2分）

V7

010

(5)取P=(P”P2，P3)=-9°JLf

;0

I夜VT

‘100、

(6)P'AP=020(1分)

、005,

14、解：該非齊次線性方程組Ax=〃對應(yīng)的齊次方程組為

Ax=0

因R(A)=3,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任

何一個(gè)非零解都是它的基礎(chǔ)解系。(5分)

另一方面，記向量4=27-(%+%),則

=A(2〃]-〃2一77.3)=2A7-A-A〃3=2/7-Z?-Z?=0

直接計(jì)算得J=(3,456)7工0,J就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線

性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為

（7分）

15、解：將①與②聯(lián)立得非齊次線性方程組：

%+x2+x3=0,

%+2X+曬=0，

.2③

2

玉+4X24-axy=0,

X1+2X2+x3=a-\.

若此非齊次線性方程組有解，則①與②有公共解，且③的解即為所

求全部公共解.

對③的增廣矩陣可作初等行變換得：

’1110、i10、

12a00i67-10

A=->（4分）

14a20000

J21W01-aof

1°當(dāng)。=1時(shí)，有"A）"（由=2<3,方程組③有解，即①與②有公共

解，其全部公共解即為③的通解，此時(shí)

I010、

100

000

1°000,

'-1、

則方程組③為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為：（），

所以①與②的全部公共解為k0，4為任意常數(shù).（4分）

2°當(dāng)〃=2時(shí)，有r（A）=“Q=3,方程組③有唯一解，此時(shí)