第11章整式的乘除一、冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪相乘：底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3.積的乘方：等于各因數(shù)乘方的積。4.同底數(shù)冪相除：底數(shù)不變，指數(shù)相減。二、整式的乘法1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：把他們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。三、整式的除法1.單項(xiàng)式相除：把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。四、乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。兩數(shù)和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍。五、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法主要有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、添拆項(xiàng)法等。其中，公式法即利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行因式分解。一、整式乘法易錯(cuò)點(diǎn)1.單項(xiàng)式乘法時(shí)，容易在計(jì)算積的系數(shù)時(shí)忽略符號(hào)，或漏掉只在一個(gè)單項(xiàng)式里出現(xiàn)的字母。例如，在計(jì)算(2a3b)2·(-3a2b3c)時(shí)，可能會(huì)忽略負(fù)號(hào)或漏掉字母c。2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，容易出現(xiàn)去括號(hào)時(shí)忽略符號(hào)、漏乘不相同的字母、漏項(xiàng)或不合并同類項(xiàng)的錯(cuò)誤。例如，在計(jì)算x(x2-xy+y2)-y(x2+xy+y2)時(shí)，可能會(huì)在去括號(hào)或合并同類項(xiàng)時(shí)出錯(cuò)。3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，容易在去括號(hào)時(shí)漏乘某項(xiàng)或忽略符號(hào)。二、整式除法易錯(cuò)點(diǎn)1.在整式除法中，余數(shù)問題常常讓人頭疼，需要仔細(xì)檢查計(jì)算過程，避免出錯(cuò)。2.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，容易在計(jì)算系數(shù)和同底數(shù)冪的除法時(shí)出錯(cuò)，或忽略只在被除式里出現(xiàn)的字母及其指數(shù)。3.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，需要確保每一項(xiàng)都正確除以單項(xiàng)式，并將所得的商相加，避免漏項(xiàng)或計(jì)算錯(cuò)誤。三、因式分解易錯(cuò)點(diǎn)在進(jìn)行因式分解時(shí)，公因式的提取要徹底，否則會(huì)導(dǎo)致分解不徹底或結(jié)果錯(cuò)誤。同時(shí)，要注意檢查分解后的式子是否滿足原式的要求。綜上所述，整式的乘除和因式分解是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，但也是容易出錯(cuò)的部分。在學(xué)習(xí)過程中，需要仔細(xì)理解運(yùn)算規(guī)則，多進(jìn)行練習(xí)和總結(jié)，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率。四、特殊公式應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)1.平方差公式與完全平方公式的混淆：在整式的乘除中，平方差公式(a-b)2=a2-2ab+b2和完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2經(jīng)常被混淆。在應(yīng)用這些公式時(shí)，需要準(zhǔn)確判斷題目中給出的式子是否滿足公式的條件，并注意公式的正確形式。2.乘法公式的逆用：有時(shí)題目需要利用乘法公式的逆用來進(jìn)行因式分解或化簡(jiǎn)，但學(xué)生往往難以識(shí)別這種應(yīng)用情境，導(dǎo)致解題受阻。因此，需要加強(qiáng)對(duì)乘法公式逆用的理解和練習(xí)。五、解題策略與習(xí)慣易錯(cuò)點(diǎn)1.缺乏檢查習(xí)慣：在整式的乘除運(yùn)算中，由于步驟較多，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤或符號(hào)錯(cuò)誤。因此，養(yǎng)成良好的檢查習(xí)慣至關(guān)重要。在完成運(yùn)算后，應(yīng)仔細(xì)檢查每一步的計(jì)算過程和結(jié)果，確保無誤。2.忽視題目條件：有時(shí)題目會(huì)給出一些特殊的條件或限制，但學(xué)生在解題過程中往往忽視這些條件，導(dǎo)致解題方向偏離或結(jié)果錯(cuò)誤。因此，在解題前需要仔細(xì)閱讀題目，明確題目要求和條件。3.缺乏解題策略：面對(duì)復(fù)雜的整式乘除問題，學(xué)生往往缺乏有效的解題策略，導(dǎo)致解題效率低下或無法得出正確答案。因此，需要學(xué)習(xí)和掌握一些常用的解題策略，如代入法、特殊值法、公式法等，以提高解題能力。題型01同底數(shù)冪的乘法1.下面計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．2.若，是正整數(shù)，且滿足，則下列與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．3.若，，則．4.我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為（其中，、為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)、的一種新運(yùn)算：，若，則，請(qǐng)根據(jù)這種新運(yùn)算解決以下問題：（1）若，則；（2）若，則；5.如果，那么我們規(guī)定．如：因?yàn)?，所以?1)【理解】根據(jù)上述規(guī)定，填空：___________，___________；(2)【說理】記．試說明：；(3)【應(yīng)用】若，直接寫出的值．題型02冪的乘方1.下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．2.計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3.已知，則的值是．4.我們定義：三角形，四邊形；若，則．5.在等式的運(yùn)算中規(guī)定：若（且，是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解答下列問題：(1)若，求的值；(2)若，求的值．題型03積的乘方1.下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2.計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．3.計(jì)算：．4.已知，，則的值為．5.閱讀下列兩則材料，解決問題：材料一：比較和的大?。猓?，且，，即．小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小．材料二：比較和的大?。猓?，且，，即．小結(jié)：底數(shù)相同且大于1的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小．【方法運(yùn)用】(1)比較、、的大小；(2)比較、、的大??；(3)已知，，，，比較、的大??；(4)比較與的大?。}型04同底數(shù)冪的除法1.下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．2.已知，，則的值為（

）A． B． C．4 D．63.已知，那么的值為．4.已知，則的值為．5.已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)字母，，之間的數(shù)量關(guān)系為_____________．題型05單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘1.計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．2.已知單項(xiàng)式與的積為，則m，n的值為（

）A．， B．，C．， D．，3.計(jì)算：．4.若，則的值為．5.計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)題型06單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1.計(jì)算：（

）A． B． C． D．2.計(jì)算的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．3.計(jì)算：．4.計(jì)算的結(jié)果是．5.在一次普及“交通安全知識(shí)”的活動(dòng)中，學(xué)生們對(duì)貨車的盲區(qū)面積進(jìn)行探究．貨車盲區(qū)的部分分布圖如圖所示，盲區(qū)1，2是兩個(gè)形狀大小均相同的直角三角形，盲區(qū)3是一個(gè)梯形，盲區(qū)4是一個(gè)正方形．(1)用含的代數(shù)式表示圖中盲區(qū)的總面積．（結(jié)果需化簡(jiǎn)）(2)若，求圖中盲區(qū)的總面積．題型07多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1.已知：，，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B．8 C．6 D．2.已知，則的值為（

）．A．25 B．24 C．16 D．103.如果的乘積中不含的一次項(xiàng)，則的值為．4.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，后人將圖稱為“楊輝三角”．這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為上方左右兩數(shù)之和．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是．5.在計(jì)算時(shí)，嘉嘉把n錯(cuò)看成了8，得到的結(jié)果是：；琪琪錯(cuò)把看成了，得到結(jié)果：．(1)求出m，n的值；(2)求的值．題型08兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差1.下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．2.如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式是（

）A． B．C． D．3.若，，則．4.如圖，正方形的邊長(zhǎng)分別為，點(diǎn)在邊上，連接，若陰影部分的面積為，則正方形與正方形的差為．5.思考與探究如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S，可表示為（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S：可表示為（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A．B．C．(3)請(qǐng)利用所得等式解決下面的問題：計(jì)算的值．題型09兩數(shù)和（差）的平方1.若是一個(gè)完全平方式，則a的值為（

）A．或 B． C． D．或2.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)之和為8，圖2的陰影部分面積為6，則圖1的陰影部分面積為（

）A．28 B．21 C．19 D．153.，，則．4.已知，則代數(shù)式的值為．5.閱讀材料：若x滿足，求的值．解：設(shè)，，則，，，解決問題：(1)若x滿足．則________；(2)若x滿足，求的值；(3)如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E、F是上的點(diǎn)，且，分別以為邊在長(zhǎng)方形外側(cè)作正方形和，若長(zhǎng)方形的面積為40平方單位，求圖中陰影部分的面積和．題型10單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式1.下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2.小明在計(jì)算整式除法的時(shí)候一不小心除數(shù)被墨水覆蓋了，如，則“█”所表示的式子是（

）A． B． C． D．3.計(jì)算：．4.某科技館的“數(shù)理世界”展廳的WIFI的密碼被設(shè)計(jì)成如圖的數(shù)學(xué)問題．小東在參觀時(shí)認(rèn)真思索，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則他輸入的密碼是．5.計(jì)算與化簡(jiǎn)：(1)；(2)．題型11多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式1.若多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的值為多項(xiàng)式M，則多項(xiàng)式M是（

）A． B． C． D．2.已知，那么代數(shù)式值是（

）．A．18 B．17 C．16 D．153.計(jì)算：．4.計(jì)算：．5.化簡(jiǎn)求值：，其中．題型12因式分解1.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．2.已知可分解因式為，則的值是（）A．1 B．6 C．7 D．83.分解因式：