《垂直于弦的直徑（第一課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理，并初步會用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題；?2.培養(yǎng)觀察、分析、邏輯推理和歸納概括能力.??????????????教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的證明及應(yīng)用.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動動手探究1.提出問題：如圖，剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？2.動手操作：多次對折圓形紙片.3.得出結(jié)論：在折疊過程中引導(dǎo)學(xué)生觀察對折后的兩部分是否能重合，能得到什么結(jié)論？結(jié)論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.如何證明圓是軸對稱圖形？4、圓的軸對稱性的證明證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點(diǎn)也在圓上.如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AA＇⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A＇，垂足為M，連接OA,OA＇.在OAA＇中，∵OA=OA＇，∴OAA＇是等腰三角形.又AA＇⊥CD，∴AM=MA＇即CD是AA＇的垂直平分線.這就是說，對于圓上的任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A＇,因此⊙O關(guān)于直線CD對稱.即圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.這種證明方法是證明一個圖形是軸對稱圖形的常用方法.⌒⌒⌒⌒⌒探究新知提出問題：如果我們在⊙O中任意畫一條弦AB，如圖，觀察下面的圖形，它還是軸對稱圖形嗎？若是，你能找到它的對稱軸嗎？動手操作：學(xué)生通過動手實(shí)驗(yàn)不難得出只要作出垂直于弦AB的直徑，沿著這條直徑所在的直線對折即可.該圖形是軸對稱圖形，對稱軸是垂直弦的直徑所在的直線.觀察猜想：設(shè)直徑CD與弦AB垂直于點(diǎn)E（如圖）,在沿直徑CD所在直線對折的過程中，觀察圖中還有哪些相等的線段和相等的??？AE=BE,猜想：如果有一條直徑垂直于弦，那么它就能平分這條弦，也能平分這條弦所對的兩條弧.4.驗(yàn)證猜想：利用圓的對稱性證明可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B是對稱點(diǎn)，把圓沿著直徑CD所在直線折疊時，點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，.因此，AE=BE.由此驗(yàn)證了猜想的正確性，這一重要結(jié)論稱為垂徑定理.5.歸納定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.符號語言：注意：定理中的兩個條件缺一不可①過圓心，②垂直于弦.結(jié)論是③平分弦,④平分弦所對的優(yōu)弧,⑤平分弦所對的劣弧.6.鞏固定理：下列圖形中，AB是⊙O的弦，它們是否適用垂徑定理找到相等的線段或相等的??？.新知應(yīng)用例1如圖，在⊙O中，若弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.分析：因?yàn)橐蟀霃?，所以還要連結(jié)OA.OE⊥AB,利用勾股定理可得⊙O的半徑.解題過程如下：例2如圖，在⊙O中，直徑OC⊥AB，垂足為E，CE=2cm，求⊙O的半徑.例2如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.思路1：連接OA，OB，OC，OD．證明△OAC≌△OBD（證明△OAD≌△OBC）．思路2：連接OA，OB，OC，OD．過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．思路3：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理．證明：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E.∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC＝BD．思考1：在應(yīng)用垂徑定理的過程中，常用的輔助線是什么？歸納1.在圓中，解決有關(guān)弦的問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”作為輔助線。實(shí)際上，只需從圓心做一條與弦垂直的線段即可。思考2：如果我們設(shè)圓的半徑為，圓心到弦的距離為，弦長為，你能找到它們?nèi)咧g的關(guān)系式嗎？歸納2.這樣把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來，容易得到圓的半徑，圓心到弦的距離，弦長之間的關(guān)系式.課堂小結(jié)1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.布置作業(yè)1.如圖，⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則∠AOB＝度，點(diǎn)O到AB的距離為.2.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16,以C為圓心，AC為半徑的圓交斜邊AB于D，求AD的長．3.如圖，在⊙O中，AB、AC是兩條互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E.求證：四邊形ADOE是正方形.知能演練提升一、能力提升1.如圖,AB是☉O的弦,半徑OA=2,∠AOB=120°,則弦AB的長為()A.22 B.23 C.5 D.322.如圖,☉O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交☉O于B,C點(diǎn),則BC等于()A.63 B.62 C.33 D.323.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題:“今有圓材埋在壁中,不知大小.以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何?”意思是:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小.用鋸去鋸這木材,鋸口深ED=1寸,鋸道長AB=1尺(注:尺、寸是我國古代計(jì)量單位,1米=3尺,1尺=10寸).問這根圓形木材的直徑是寸.

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足為M,連接OA.若△AOM中有一個角是30°,OM=23,則弦AB的長為.

★5.小敏利用課余時間制作了一個臉盆架,它的截面圖如圖所示,垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm,則該臉盆的半徑為cm.6.如圖,在☉O中,OD平分弦AB,OE平分弦AC,求證:AM=AN.7.如圖,將一個兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上,使其一邊經(jīng)過圓心O,另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)D,E,量出半徑OC=5cm,弦DE=8cm.求直尺的寬.二、創(chuàng)新應(yīng)用★8.如圖,鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交會,∠QON=30°.在點(diǎn)A處有一棟居民樓,AO=200m,如果火車行駛時,周圍200m以內(nèi)會受噪音影響,那么火車在鐵路MN上沿ON方向行駛時,居民樓會受到影響.如果火車行駛的速度是72km/h,那么居民樓受噪音影響的時間約為多少秒?(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,結(jié)果精確到0.1s)知能演練·提升一、能力提升1.B2.A3.264.12或45.25如圖,設(shè)圓心為O,連接OB,OC,則OC⊥AB,設(shè)垂足為點(diǎn)D,圓的半徑為r.由垂徑定理,得BD=20,OD=r-10,根據(jù)勾股定理,得(r-10)2+202=r2,解得r=25.6.證明∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.∵OD=OE,∴∠D=∠E.∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.7.解如圖,過點(diǎn)O作OM⊥DE,垂足為M,連接OD.則DM=12DE∵DE=8cm,∴DM=4cm.在Rt△ODM中,∵OD=OC=5cm,∴OM=OD2-DM∴直尺的寬度為3cm.二、創(chuàng)新應(yīng)用8.分析要求居民樓受噪音影響的時間,首先要求出受噪音影響的路段.以A為圓心,200m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)受噪音的影響,☉A與MN的交點(diǎn)之間的線段即為受影響的路段,利用垂徑定理與勾股定理即可求出此線段的長度.解如圖,過點(diǎn)A作AD⊥MN,垂足為D,∠AOD=30°