《最短路徑問題（第二課時）》教案教學目標教學目標：（1）利用平移、軸對稱解決最短路徑的問題，進一步感悟化歸思想．（2）培養(yǎng)培養(yǎng)用符號語言和圖形語言表達數學問題的能力．教學重點：利用平移、軸對稱解決最短路徑的問題教學難點：體會圖形的變化在解決最短路徑問題中的作用，感悟化歸思想教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘復習引入上節(jié)課我們研究了兩類最短路徑問題：1.A，B在直線l異側時：如圖，在直線l上求作一點C，使得CA+CB最短．思考：（1）作圖方法：連接AB，交直線l于點C，點C即為所求．（2）依據：“兩點之間，線段最短”，2.當A、B在直線l同側時（牧馬人飲馬問題）（2）作法：通過軸對稱轉移線段，轉化為研究過的A、B兩點在直線異側的問題．利用“兩點之間，線段最短”，找到滿足條件的點C．同時，我們通過幾何推理，證明了這個作法的正確性．12分鐘探索新知本節(jié)課我們繼續(xù)研究“最短路徑”問題．例：造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BABA思考：（1）實際問題，首先做什么？將實際問題抽象為數學問題，用文、圖、示的語言表達．圖形語言：A、B兩點看作兩個定點，河的兩岸看成兩條平行線a和b．N為直線b上的一個動點．先畫一個一般的點N．橋垂直于河的兩岸，即MN垂直于直線b，交直線a于M．文字/符號語言：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。◣缀萎嫲逖菔荆?）問題是否可以簡化？由于河的寬度是固定的，當AM+NB最小時，AM+MN+NB最?。詥栴}轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最?。?）能否通過圖形的變化（軸對稱、平移等），將問題轉化為我們研究過的問題呢？將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到A’，則AA'=MN，AM+NB=A’N所以問題轉化為：當點N在直線b的什么位置時，A’N+NB最?。?）這是我們上節(jié)課講的哪種類型？兩點在直線異側，連接A’，B兩點，與直線b的交點即為N．依據：兩點之間，線段最短．（5）結論在點N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的．（6）用文字和符號語言整理一下作法總結：①實際問題可以抽象為數學問題，用文、圖、示的語言表達．②利用平移，實現線段的轉移．平移：沿直線方向移動．軸對稱：繞某一點旋轉．③把已知問題轉化為容易解決的問題，體會化歸思想．思考（6）如何證明這條路徑最短？在直線b上任取一點N′，過N′作N′M′⊥a連接AM′，A′N′，N′B由平移性質可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由兩點之間，線段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.總結④學會用符號語言進行推理和表達6分鐘能力提升練習：已知線段a，點A、B在直線l的同側，在直線l上求作兩點P、Q（點P在點Q的左側）且PQ＝a，使得四邊形APQB的周長最?。伎迹?）哪些點是定點，哪些是動點？A，B為定點，P，Q為直線l上的動點，且PQ=a，距離不變．先從一般的點P和相應的點Q出發(fā)，畫圖觀察．（2）問題是否可以簡化？由于AB、PQ的長度是固定的．當AP+QB最小時，四邊形APQB的周長最?。?）如何通過平移、軸對稱等方式轉移線段，從而轉化為我們研究過的問題？將AP沿直線l的方向平移，點P移動到點Q，點A移動到A’，則AA'=PQ，AP+QB=A’所以問題轉化為：當點Q在直線l的什么位置時，A’Q+QB最?。?）這是我們研究過的哪種類型？兩點在直線異側，連接A’，B兩點，與直線l的交點即為Q．依據：兩點之間，線段最短．（5）如何證明這條路徑最短？總結：將復雜的問題轉化為簡單的問題，將未知的問題轉化為已知（已解決）的問題．2分鐘課堂小結課堂小結：比較本節(jié)課研究的兩個問題（1）最短路徑的依據：兩點直線，線段最短（2）方法：利用軸對稱、平移等變化，將已知問題轉化為容易解決的問題。（3）思想：化歸思想。課后作業(yè)如圖，點A、B、C在直線l的同側，在直線l上，求作一點P，使得四邊形APBC的周長最小；知能演練提升一、能力提升1.如圖,OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點M出發(fā)爬到OA邊上任意一點E,再爬到OB邊上任意一點F,然后爬回點M處,則小螞蟻爬行的路徑最短可為()A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm2.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點M,N,使△AMN的周長最小,則∠AMN+∠ANM的度數為()A.60° B.120° C.90° D.45°3.如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,A,B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD.若點A到河岸CD的中點的距離為500m,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家,所走的最短路程是m.

4.如圖,某公路(視為x軸)的同一側有A,B,C三個村莊,要在公路邊建一貨棧(即在x軸上找一點)D,向A,B,C三個村莊運送農用物資,路線是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).試問在公路上是否存在點D使送貨路程之和最短?若存在,請在圖中畫出點D所在的位置;若不存在,請說明理由.5.如圖,單位A與B分別位于一條封閉式街道的兩旁,現在準備合作修建一條過街天橋(橋必須與街道垂直).在圖中畫出橋,使由A到B的路程最短.二、創(chuàng)新應用★6.某中學八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成如圖所示的兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,BO桌面上擺滿了糖果,站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設計一條行走路線,使其所走的總路程最短.

知能演練·提升一、能力提升1.B設CD與OA的交點為E,與OB的交點為F.因為OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,所以ME=CE,MF=DF,所以小螞蟻爬行的路徑最短為CD=10cm,故選B.2.B如圖,作點A關于BC和CD的對稱點A',A″,連接A'A″,交BC于點M,交CD于點N,則A'A″即為△AMN的周長的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故選B.3.10004.解存在點D使所走路線D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作點A關于x軸的對稱點A';(2)連接A'C,交x軸于點D.如圖.則點D(3,0)就是要建貨棧的位置.5.解設橋為CD,則這個問題中的路程為AD,CD,CB三條線段之和,其中線段CD是定值,因此只需要考慮使AD+CB最短.它們