2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期12月三校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷（說明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評(píng)分依據(jù)．）填空題（本大題滿分54分，前6題每題4分，后6題每題5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分）1.已知函數(shù)，則.【答案】0【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：分段函數(shù)解析式求函數(shù)值.【詳解】由解析式知.故答案為：02.函數(shù)且的圖像必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)（過定點(diǎn)）【詳解】令，可得，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.3.全集是實(shí)數(shù)集，則集合，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】簡單指數(shù)不等式、補(bǔ)集的概念【詳解】，則.4.已知，，化簡：.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】冪指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（教材習(xí)題改編）【詳解】5.已知，用表示.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)運(yùn)算：換底公式、積商冪運(yùn)算【詳解】6.已知是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)不等式【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的嚴(yán)格增函數(shù)，且，可得，解得，所以不等式的解集為為.故答案為：.7.已知集合對(duì)任意恒成立，，則．【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】三角不等式、絕對(duì)值不等式、交集運(yùn)算【詳解】根據(jù)三角不等式，時(shí)等號(hào)成立，所以，即.因?yàn)?，即，所?8.記.若函數(shù)是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為.【答案】【考點(diǎn)分析】二次函數(shù)對(duì)稱性，偶函數(shù)概念，運(yùn)用基本不等式求范圍?！驹斀狻坑膳己瘮?shù)的性質(zhì)可得出，該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，而，因此，該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為.9.若（，），且，則．【答案】5【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)運(yùn)算；函數(shù)的奇偶性（對(duì)稱性），從特殊到一般的思想方法【詳解】，故，從而。本題顯然不可能求出、，故只能考慮函數(shù)的對(duì)稱性.10.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值集合是.【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，不等式恰成立問題，函數(shù)圖像性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想方法.【解析】依題意在時(shí)恰成立，則在恰成立，則，可得.11.已知，：不存在正數(shù)，使得不等式成立，若是的充分條件，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【考點(diǎn)】利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，均值不等式求最值，命題的否定形式，邏輯初步，邏輯推理【詳解】設(shè)，則在嚴(yán)格遞增，又，所以，即，故.故：由題意是的充分條件，則，所以有，故實(shí)數(shù)，故實(shí)數(shù)m的最小值為.12.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是.【答案】【考點(diǎn)】分段形式的函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)、分式函數(shù)的值域【詳解】由圖象可得，若，且，則所以.選擇題（本大題滿分18分，前2題每題4分，后2題每題5分，每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）13.已知，，，，若，且，則A．B．C．D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】集合符號(hào)，元素與集合的關(guān)系.【詳解】，則Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)流感累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0．95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為()A60B．63C．66D．69【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)情境題，指對(duì)數(shù)運(yùn)算.【詳解】，所以，則，所以，，解得．故選：C．15.已知、、滿足，且，那么下列各式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D．【知識(shí)點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)，作差法比較大小.【詳解】，且得，其他都不正確。16．設(shè)函數(shù)，，對(duì)于實(shí)數(shù)、，給出以下命題：命題：；命題：；命題：．下列選項(xiàng)中正確的是（A）A.、都是的充分條件B.、中僅是的充分條件C.、中僅是的充分條件D.、都不是的充分條件解：設(shè)，顯然其為奇函數(shù)，且是R上的嚴(yán)格增函數(shù)。由命題，于是，于是命題恒成立;命題，顯然，參考前面的證明可知：當(dāng)當(dāng)時(shí)，其可以得出，有前面證明可知結(jié)論正確。下面只需判斷當(dāng)時(shí)，是否成立即可。注意到，于是于是由命題可以推得命題q正確。三、解答題（本大題滿分78分）解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要步驟．17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知，集合；(1)當(dāng)時(shí)，求和；(2)已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【詳解】（1）由，得，解得或，則或；…………………（3分）；當(dāng)時(shí)，，解得.………………（6分）（2）由，得，①當(dāng)時(shí)，得，符合題意；………………（2分）②當(dāng)時(shí)，若，則，由，得，此時(shí)；………………（4分）若，則，此時(shí)恒成立，故符合題意；………（6分）綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．………………（8分）18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)若，求函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，……………………（3分）所以；…………（6分）（2），令，問題等價(jià)于求的值域，（3分）函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，，（6分）函數(shù)的值域?yàn)椋?分）19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）某學(xué)校計(jì)劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地.因場(chǎng)地的背面靠墻，無須建造費(fèi)用，設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地前面墻體的長為米（）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊(duì)參加競(jìng)標(biāo)，甲隊(duì)的報(bào)價(jià)方案為：場(chǎng)地前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計(jì)元；乙隊(duì)給出的整體報(bào)價(jià)為元（）.假設(shè)甲、乙工程隊(duì)均不考慮其他因素.若項(xiàng)目由甲工程隊(duì)完成，則至少要付給甲工程隊(duì)多少費(fèi)用？若乙工程隊(duì)要確保競(jìng)標(biāo)成功，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若倉庫前面墻體的長為米（），則左右兩面墻寬度為，則甲工程整體報(bào)價(jià)為，……（2分），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，……（4分）因此至少要付給甲工程隊(duì)57600元…………（6分）（2）若乙隊(duì)要確保競(jìng)標(biāo)成功則，……（2分）所以，則，……（4分）因?yàn)椋院瘮?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，（6分）故，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.……（8分）20.（本題滿分16分，第1小題4分，第1小題6分，第2小題8分）已知冪函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格增函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)定義域內(nèi)的滿足，求證：（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趨^(qū)間，使得在上的值域也為，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解】(1)冪函數(shù)，所以，（2分）在內(nèi)是嚴(yán)格增函數(shù)，解得，故．（4分）(2)，假設(shè)，（2分）則，又，（4分）與矛盾.故（6分）(3)因?yàn)樵谏蠂?yán)格減，且是“交嘉”函數(shù)，所以，（2分）兩式相減得：得（*），（4分）因?yàn)?，所以，則，所以，所以，代入，得，（6分）令，，則，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（8分）21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意的和，都有，且，我們就稱這個(gè)函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”．(1)判斷并證明“優(yōu)美函數(shù)”的奇偶性；(2)若優(yōu)美函數(shù)的值域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，判斷并證明優(yōu)美函數(shù)的單調(diào)性；(3)若題（2）中優(yōu)美函數(shù)還滿足，且不等式對(duì)任意的恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，得，解得或，又不存在，使得，∴，…………………（2分）令，得，∴，∴為奇函數(shù).…………………（4分）（2）任取，設(shè)，，……（2分），，又，，則，，∴，，……（5分）∴在上是嚴(yán)格遞增函數(shù).……（6分）（另外表達(dá)：由（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則……（2分）任取，且，則，故且．所以，；……（5分）所以，函數(shù)在上嚴(yán)格遞增．……………（6分）（3），則，………（1分），………（2分）又不等式對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，………………（3分）又在上嚴(yán)格遞增，∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，……（4分）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，………（5分）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，解得，…（7分）綜上，，………（8分）2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期12月三校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷雙向細(xì)目表題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考查要求分值題型得分難度1集合的運(yùn)算基本概念4填空填空2指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)基本性質(zhì)4填空3指數(shù)不等式與補(bǔ)集概念基本運(yùn)算4填空4冪指數(shù)運(yùn)算基本運(yùn)算4填空5對(duì)數(shù)運(yùn)算基本運(yùn)算4填空6函數(shù)的單調(diào)性與簡單對(duì)數(shù)不等式基本性質(zhì)4填空7三角不等式、絕對(duì)值不等式與集合運(yùn)算基本運(yùn)算5填空8函數(shù)奇偶性、基本不等式基本運(yùn)算5填空9函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性/對(duì)稱性）分析計(jì)算5填空10函數(shù)與不等式基本性質(zhì)5填空11函數(shù)與不等式，均值不等式分析計(jì)算5填空12函數(shù)與方程綜合分析計(jì)算5填空13集合符號(hào)與基本運(yùn)算基本概念5選擇14對(duì)數(shù)運(yùn)算（數(shù)學(xué)情境題）基本運(yùn)算5選擇15不等式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)5選擇16函數(shù)性質(zhì)綜合、邏輯初步分析運(yùn)算5選擇171分式不等式