第1頁/共1頁重慶市九校聯(lián)盟高2027屆（高二上）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分命審學(xué)校：合川育才中學(xué)、雙橋中學(xué)預(yù)測(cè)難度系數(shù)0.59一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故選：B.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線的一般方程化為斜截式方程，可得直線的斜率，從而求得直線的傾斜角.【詳解】由，得.所以直線的斜率為．設(shè)該直線的傾斜角為，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所?故選：A．3.若平面的法向量為，則下列各向量與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，不合題意；對(duì)于B，，符合題意；對(duì)于C，，不合題意；對(duì)于D，，不合題意.故選：B.4.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)部，所以，解得.故選：C.5.在機(jī)器人車間里，有一臺(tái)負(fù)責(zé)搬運(yùn)零件的機(jī)械臂，其運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)可抽象為：底座是一個(gè)矩形平臺(tái)，機(jī)械臂的主桿垂直于平臺(tái)所在平面（即平面），現(xiàn)要將一零件從點(diǎn)搬運(yùn)到點(diǎn)，已知，若，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】由題意可知，即，則，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，?故選：D.6.在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】選擇恰當(dāng)?shù)幕?，求得向量與夾角的余弦值，其絕對(duì)值即為與所成角的余弦值.【詳解】直三棱柱中，平面.又，所以兩兩垂直...所以，...所以與所成角的余弦值是.故選：B7.已知圓，是圓上的一條動(dòng)弦，且，設(shè)中點(diǎn)為，則到直線距離的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡圓的方程，求出圓心到直線的距離，再加上圓的半徑，即為點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)槭菆A上的一條動(dòng)弦，且，且中點(diǎn)為，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，圓心到直線的距離為，故到直線距離的最大值.故選：C.8.如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上底面正方形（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量數(shù)量積確定點(diǎn)軌跡即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，由，得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，此圓在正方形內(nèi)部，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C. D.向量在向量上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】借助模長公式可得A；借助向量平行的充要條件計(jì)算可得B；借助向量坐標(biāo)運(yùn)算可得C；借助投影向量公式計(jì)算可得D.【詳解】對(duì)于A：由模長公式得，，A正確；對(duì)于B：由題意得，因?yàn)?，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，，B正確；對(duì)于C：由題知，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：向量在向量上投影向量為，D正確.故選：ABD10.已知直線：與圓：，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相交 B.若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離C.若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相離 D.若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切【答案】CD【解析】【分析】由點(diǎn)在直線上，得.由圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，判斷A；由點(diǎn)在圓外，得，求圓心到直線的距離判斷B；由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，求圓心到直線的距離判斷C.由點(diǎn)在圓上，得，求圓心到直線的距離判斷D.【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)在直線上，得，即.此時(shí)由圓心到直線的距離，所以直線與圓相切,所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由點(diǎn)在圓外，得，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)在圓內(nèi)，得，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.所以C正確；對(duì)于D，由點(diǎn)在圓上，得，求圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.所以D正確.故選：CD.11.正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線所成角為 B.二面角的大小為C.直線與平面所成角為 D.平面平面【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可判斷A；由二面角的定義，找到二面角的平面角，判斷B；由線面角的定義作出并求得直線與平面所成角，判斷C；設(shè)正方體的棱長為a，棱的中點(diǎn)，連接，求得平面與平面所成的角，判斷D.【詳解】對(duì)于A，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以為直線與直線所成的角，連接，則，所以是正三角形，所以，所以A正確；對(duì)于B，由正方體的性質(zhì)知，平面，因?yàn)槠矫?，所以；因?yàn)?，平面，所以是二面角的平面角，易知，所以二面角的大小為，所以B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)知，平面，所以是直線與平面所成的角，易知，所以直線與平面所成角為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)正方體的棱長為a，易知與均為邊長為的正三角形，如圖，取棱的中點(diǎn)，連接，則，則為平面與平面所成角的平面角，且，又，所以，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題3小題，每小題5分，共15分12.點(diǎn)到直線的距離為_____．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式直接求解即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.13.直線：恒過定點(diǎn)_____．【答案】【解析】【分析】將直線方程變形為：，解，可得所過定點(diǎn).【詳解】由，得.由，.所以直線：恒過定點(diǎn).故答案為：14.設(shè)點(diǎn)、，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】求出直線關(guān)于對(duì)稱的直線的方程，根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且點(diǎn)在直線上，，所以直線的方程為，即直線的方程為，由題意可知，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線為直線，圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，整理可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，滿分77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在一次數(shù)學(xué)練習(xí)中，甲、乙兩人同時(shí)獨(dú)立做同一道較難的數(shù)學(xué)題，已知甲、乙能做對(duì)的概率分別是0.4和0.5．（1）求兩人都做對(duì)此數(shù)學(xué)題的概率；（2）求恰有一人做對(duì)此數(shù)學(xué)題的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式求解即可；（2）根據(jù)概率的加法與乘法公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)事件“甲做對(duì)”，事件“乙做對(duì)”，則“兩人都做對(duì)”為事件..【小問2詳解】“恰有一人做對(duì)”為事件，.16.求經(jīng)過直線：，：的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的方程：（1）傾斜角為的直線；（2）與直線平行的直線；（3）與直線垂直的直線．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求得直線l1與l2的交點(diǎn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求得直線的方程，并轉(zhuǎn)化為一般式方程；（2）根據(jù)平行求出直線l4的斜率，直接寫出其點(diǎn)斜式方程，并轉(zhuǎn)化為一般式方程；（3）根據(jù)垂直求出直線l5的斜率，直接寫出其點(diǎn)斜式方程，并轉(zhuǎn)化為一般式方程.【小問1詳解】聯(lián)立直線方程得解得：，∴交點(diǎn)∵直線的傾斜角為，∴∴直線的點(diǎn)斜式方程為：，化為一般式：.【小問2詳解】∵直線與直線平行，∴∴直線的點(diǎn)斜式方程為：，化為一般式：.【小問3詳解】∵直線與直線垂直，∴，∴∴直線的點(diǎn)斜式方程為：，化為一般式：.17.已知空間三點(diǎn)，，．（1）求向量與的夾角；（2）若，，求與夾角為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量與的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積求向量與的夾角的余弦值，進(jìn)而求得向量與的夾角；（2）根據(jù)與夾角為銳角，可得且與不共線，解不等式即得的取值范圍．【小問1詳解】由已知得：，，則，∵，∴向量與的夾角為．【小問2詳解】，∵與夾角為銳角，∴且與不共線.由，可得，解得①當(dāng)與共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得.即，解得，∵與不共線，∴②，由①②得.18.已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的一般式方程；（3）為圓上任意一點(diǎn)，在（1）的條件下，求的最小值．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分線方程，利用圓的性質(zhì)可得圓心在的垂直平分線上，求得圓心坐標(biāo)和半徑，得解；（2）分直線斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解；（3）由題表示圓上的點(diǎn)到的距離的平方，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為求出圓心到點(diǎn)的距離減去半徑即可，平方后得最小值.【小問1詳解】由題，的中點(diǎn)為，的斜率，所以的垂直平分線方程為，又圓心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，即經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)，驗(yàn)證可知與圓相切；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程為即時(shí)，圓心到直線的距離為，解得，所以的方程為，即.所以直線的一般式方程為或.【小問3詳解】由（1）知圓心為，半徑為2，表示圓上的點(diǎn)到的距離的平方.圓心到的距離，圓的半徑，因?yàn)?，所以在圓內(nèi)部，圓上點(diǎn)到的最小距離為，因此最小值為.19.如圖，正方形所在平面外一點(diǎn)滿足平面，且，．為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，解答以下問題：（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出該點(diǎn)位置，若不存在，則說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，通過證明直線的方向向量與該法向量垂直，證明線面平行；（2）由線面角的向量求法求得直線與平面所成角的余弦值；（3）設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，根據(jù)線面垂直的向量證法求得參數(shù)的值，從而判斷不存在點(diǎn)，