江蘇省2026屆百校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則中元素的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．4．在平面四邊形中，，點M在邊（含端點）上運動，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知隨機變量，且，則展開式中各項系數(shù)之和為（

）A．32 B．64 C． D．6．已知拋物線的焦點為是C上一點，對于x軸上一點，都有，則t的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原來的圖像重合，當(dāng)時，，則（

）A． B．2 C． D．8．一個棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，若球與正方體的三個面和球相切，球與正方體的三個面和球相切，依次類推，球與正方體的三個面和球相切，設(shè)球的半徑為，體積為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．二、多選題9．記等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，若，則（

）A． B．成等比數(shù)列C．沒有最小值 D．10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與該雙曲線交于兩點，且點在第三象限，軸于點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．的最小值為4C．D．若，則內(nèi)切圓的周長為11．已知定義在復(fù)數(shù)集C上的函數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，記的模為，則（

）A．B．C．的實部的最大值為D．三、填空題12．4人站成一排，其中甲不站在兩邊的排法種數(shù)為．13．已知圓臺的上底面半徑為2，母線與底面所成角的余弦值為，該圓臺的體積為，則該圓臺的母線長為．14．已知橢圓的上頂點和右焦點分別為，動點P在直線上，外接圓的半徑為r，當(dāng)r取得最小值時，的面積為．四、解答題15．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求A；(2)若，求b的大小．16．教育部辦公廳要求中小學(xué)校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動、家校協(xié)同聯(lián)動等多種形式加強教育引導(dǎo)，讓家長和中小學(xué)生科學(xué)認(rèn)識體質(zhì)健康的影響因素，了解運動在增強體質(zhì)、促進健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強體質(zhì)健康管理的意識和能力．某學(xué)校為了了解學(xué)生的身體健康與身體素質(zhì)狀況，隨機抽取了50名同學(xué)的體測結(jié)果（“合格”或“優(yōu)秀”），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：性別體測結(jié)果合計合格優(yōu)秀男生22830女生61420合計84250(1)能否有的把握認(rèn)為體測結(jié)果與性別有關(guān)？(2)用樣本估計總體，頻率估計概率．現(xiàn)等可能地從男、女生中抽取一個性別，然后再從選好的性別中隨機抽取1名學(xué)生的體測結(jié)果，已知抽出的學(xué)生體測結(jié)果是“優(yōu)秀”，求這名學(xué)生是男生的概率．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82817．在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，是的中點，點分別在線段與上（不含端點），且．(1)證明：平面．(2)求平面與平面的夾角大?。?3)若平面，求的最小值．18．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若對任意恒成立，求a的取值范圍；(3)證明：．19．已知曲線，兩曲線的離心率均為，其中分別是的左、右頂點．(1)分別求的方程．(2)已知Q是上一點，分別交直線和于兩點，以為直徑的圓記為圓D．（i）判斷圓D是否過定點．若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．（ii）P是上一點，當(dāng)圓D的面積最小時，過點P作圓D的兩條切線，切點為，求面積的取值范圍．

參考答案1．B【詳解】由，則.故選：B.2．D【詳解】由，則，當(dāng)時，成立，故“”是“”的不充分條件；由當(dāng)，顯然，但，即不成立，故“”是“”的不必要條件.綜上所述“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．A【詳解】由得，所以，故選：A.4．C【詳解】如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)則，，所以，設(shè)，則，所以，所以，因為，所以，即的取值范圍是，故選：C.5．A【詳解】因為，所以，解得，設(shè)，則當(dāng)時，，故選：A.6．B【詳解】因為拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線.設(shè)，則對，，整理得，所以因為，所以，所以，又，所以的取值范圍為，故選：B.7．D【詳解】由函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原來的圖像重合，則是函數(shù)的一個周期，所以，化簡可得，其中，由，則，可得，令，解得，其中，所以函數(shù)的對稱中心為，其中，令，化簡可得，則故函數(shù)在上的對稱中心為，由，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，且，則，即，所以.故選：D.8．C【詳解】因為正方體棱長為，所以內(nèi)切球的半徑（內(nèi)切球直徑等于正方體棱長）,對于球：球與正方體的三個面相切，故其球心坐標(biāo)為；球與球相切，兩球心距離為，該距離等于，由此得到遞推關(guān)系：，整理得，所以是首項，公比的等比數(shù)列.對于A：，A正確；對于B：以上已證明，B正確；對于C：等比數(shù)列前項和，因為，所以，所以，C錯誤；對于D：球的體積，，因為是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以所以，D正確；故選：C.9．ABD【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以A正確；對于B，數(shù)列的通項公式為，可得，則滿足，所以成等比數(shù)列，所以B正確；對于C，由等差數(shù)列的前項和公式，可得，所以當(dāng)時，取得最小值，所以C不正確；對于D，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，則，所以D正確.故選：ABD.10．BCD【詳解】由題意可知，，則，所以，即，兩點關(guān)于原點對稱，且點在第三象限，設(shè)，則.選項A，因為兩點關(guān)于原點對稱，所以原點是的中點，若，則，所以，且，所以，得，，不可能，所以無法取到，所以A錯誤；選項B，由雙曲線的定義可知，，所以，因為軸于點，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，所以B正確；選項C，因為，又漸近線的斜率為，所以，所以，所以C正確；選項D，已知，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則三角形面積，又，，則，而，則，所以內(nèi)切圓的周長為，所以D正確.故選：BCD.11．AD【詳解】對于A，由，所以，所以A正確；對于B，由函數(shù)，代入，可得，可得因為為含有的虛數(shù)，而為實數(shù)，所以不能比較大小，所以B不正確；對于C，由的實部為，可得由函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值，所以C錯誤；對于D，由，可得，所以，取，可得，因為，此時滿足，即成立，所以D正確.故選：AD.12．【詳解】由題意知，人站成一排，若甲不站在兩邊，則甲有種站法，其余人，有種站法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的站法.故答案為：.13．/【詳解】如圖，由題意可知，，則，過點作，垂足為，設(shè)，則在中，，圓臺上底面面積，下底面面積，則圓臺的體積，化簡得，所以，則，，在中，，所以該圓臺的母線長為.故答案為：.14．2【詳解】由橢圓的方程，得，所以，，所以，，設(shè)，圓心，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，整理得，所以，所以，所以由，，所以當(dāng)時，最小，此時，所以，所以.故答案為：215．(1)(2)【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，即，即即，所以，又因為為三角形的內(nèi)角，可得，所以，因為，所以，所以.（2）解：由（1）知，且，根據(jù)正弦定理知，可得，因為，所以，所以為直角三角形，所以.16．(1)能有的把握認(rèn)為體測結(jié)果與性別有關(guān)(2)【詳解】（1）由題意可得，則，故能有的把握認(rèn)為體測結(jié)果與性別有關(guān).（2）設(shè){抽取的一人為優(yōu)秀}，{抽取的一人為男生}，則{抽取的一人為合格}，{抽取的一人為女生}，可得，，，，所以，故.17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點，連接，因為分別為的中點，所以且，又且，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為點在線段上，則平面即為平面，因為平面，，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又，所以，所以平面與平面的夾角為，即平面與平面的夾角大小為.（3）設(shè)點，則，，由得，則，則，同理，由可得，則，設(shè)平面的法向量，因為，，所以，令，則，，則，由平面得，化簡可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.18．(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）當(dāng)時，，，即切點坐標(biāo)為，又可得，即切線斜率為，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）當(dāng)時，若單調(diào)遞減，則滿足條件，因此需在恒成立，即在恒成立，所以設(shè)，則當(dāng)時，恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以在單調(diào)遞增，所以，所以，得；當(dāng)時，，，所以存在，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時，不滿足條件，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，且時，，即，令，則，所以，即，所以.19．(1)曲線，曲線；(2)（i）圓過定點；（ii）【詳解】（1）因為，則，可知曲線的焦點在軸上，曲線的焦點在軸上；對于曲線，，解得：；對于曲線，，解得：；即，所以曲線，曲線.（2）（i）