哈爾濱鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招數(shù)學(xué)模擬試題(附答案)

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目規(guī)定的.

1.若集合加={0,1},I={04,2,3,4,5}，則為()

A.{0,1}B.{2,345}C.{0,2,345}

D.{1,2,345}

2.函數(shù))，=5tan(2x+l)的最小正周期為()

IFIT

A.-B.-C.7tD.2兀

42

3.函數(shù)=lg—的定義域為()

x-4

A.(1,4)B.[1,4)C.(-00,1)J(4,+oo)

D.(^o,l]v(4,+oo)

4

4.若tana=3,tanQ=—，則tan(a-/?)等于()

A.-3B.--C.3

3

D.-

3

u

5.設(shè)(f+i)(2x+l)9=4+4*+2)+4(X+2)2+??+all(x+2)f

則4)+4+/+…+4的值為()

A.-2B.-1C.1

D.2

6.一袋中裝有大小相似，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球，從中有放回地每次取一

種球，共取2次，則獲得兩個球的編號和不不不小于15的概率為（）

A.—C

32,1

D.—

64

7.連接拋物線f=4），的焦點尸與點M（1,0）所得的線段與拋物線交于點A,設(shè)點。

為坐標(biāo)原點，則三角形0AM的面積為（)

A.-1+V2B.--V2C.1+V2

2

D.-+V2

2

8.若0<x<],則下列命題對的的是（)

A?2

A.sinx<-xB.sinx>-xC.sinx<-x

717171

C.3

D.sinjc>—x

71

9.四面體A48的外接球球心在CD上，且C￡>=2,AD=6,在外接球面上兩點

A8間的球面距離是（）

A兀

A.-CD

6-T-T

4

10.設(shè)〃：/*）=1+2/+〃優(yōu)+1在（-00,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，，則〃是q的

)

A.充足不必要條件B.必要不充足條件

\C.充足必要條件D.既不充足也不必要條件

11.四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不一樣、內(nèi)空高度相

等、杯口半徑相等的毀@杯,如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的二

分之一.設(shè)剩余酒的礴灰左到右敝為h2,%,h4,則它們的大小關(guān)系對的的

是（^7°

"7u~nuin

CZ>XC^>cz^

A./^>/^>h4B.%%

C.7^>/?2>h4D.h2>hA>h｝

X~y21

12.設(shè)橢圓三+2=1（。>〃>0）的離心率為e=：,右焦點為F（c,0）,方程

crlr2

eve+bx-c=0的兩個實根分別為王和々，則點P（%，/）（）

A.必在圓/+丁=2上B.必在圓/+_/=2外

C.必在圓/+V=2內(nèi)D.以上三種情形均有也許

二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.請把答案填在答題卡上.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。48C的對角線08的兩端點分別為0（0,0）,

5（1,1）,則.

14.已知等差數(shù)歹1」｛q｝的前〃項和為S”，若S12=21，則生+%+4+?！?

15.已知函數(shù)y=/（x）存在反國數(shù)），=尸。），若函數(shù)），=/（1+幻的圖象通過點

（3,1），則函數(shù)），=（尤）的圖象必通過點.

16.如圖，正方體AC的棱長為1,過點作平面48。的垂線，垂足為點〃.有下列

四個命題

A.點”是△A3。的垂心

B.A"垂直平面

c.二面角C-AA-C的正切值為正

D.點〃到平面AAGA的距離為:

4

其中真命題的代號是.（寫出所有真命題的代號）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字闡明，證明過程或演算環(huán)

節(jié).

17.(本小題滿分12分)

cr+1(0<x<c)g

X滿足

I2F(c^x<l)8

(1)求常數(shù)。的值；

(2)解不等式/a)￥+i.

O

18.(本小題滿分12分)

JT

如圖，函數(shù)y=2COS(GX+6)(XWR,g>0,()W。)的圖

象與)，軸相交于點(0,6),且該函數(shù)的最小正周期為兀.

(1)求6和。的值;

(2)已知點4(^，0),點P是該函數(shù)圖象上一點，點

。(如凡)是PA的中點，當(dāng)為=當(dāng)，小￡T，兀時，求

%的值.

19.(本小題滿分12分)

栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苒，然后再進(jìn)行移栽.已知甲、乙兩種果樹成苒的

概率分別為0.6,().5,移栽后成活的概率分別為().7,0.9.

(1)求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苒的概率；

(2)求恰好有一種果樹能培育感苒且移栽成活的概率.

20.(本小題滿分12分)

右圖是一種直三棱柱(認(rèn)為AgG底面)被一平面所載得到的幾何體，截面為

ABC.已知A4=片G=1,/人圈。1=90,A4=4,BB]

(1)設(shè)點。是A8的中點，證明：OC〃平面4AG;

(2)求AB與平面AACQ所成的角的大小;

(3)求此幾何體的體積.

21.(本小題滿分12分)

設(shè)｛〃“｝為等比數(shù)列，q=l,%=3.

(1)求最小的自然數(shù)〃，使22007;

1079/7

(2)求和：T)n=------+-------------

%444“

22.(本小題滿分14分)

設(shè)動點P到點4(-1,0)和鳥(1。)的距離分別為4和4,N不7=2。，且存在常數(shù)

%(0</1<1),使得445小2。=2.

y

A

(i)證明：動點P的軌跡。為雙曲線，并求出。的方程；

(2)如圖，過點工的直線與雙曲線C的右支交于AB兩點.問：與否存在力,使

△6A8是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出力的值；若不存在，闡

明理由.

參照答案

一、選擇題

1.B2,B3.A4.D5.A6.D7.B8.B

9.C

10.C11.A12.C

二、填空題

13.114.715.（1,4）16.A,B,C

三、解答題

17.解：（1）由于（）<c<l,因此。2<C；

由/（不）=2,即03+1=￡,c.

oo2

一x十1,0<x<—

（2）由（1）得/⑴=,2

由/（幻>2?+1得，

O

當(dāng)0<x<：時，解得<x<^~,

當(dāng)二WX<1時I解得—■A：<—,

228

因此f（x）>-^―+1的解集為“

848

18.解：（1）將x=0,y=\[5代入函數(shù)y=2cos（s十8）中彳導(dǎo)cos。二號,

由于0W9W工,因此。二色.

26

r\r\

由已知T=71,且69>。，得。=—=--=2.

T7C

(2)由于點梏,0),Q(x°,%)是R4的中點，=-

因此點尸的坐標(biāo)為(2x0-.

又由于點P在)，=23伍+小的圖象上，且X七〈兀，因此

7兀1/5兀119兀IIH/日/57i1E5/5兀13兀

—^4x0-—，從而彳導(dǎo)4%--=,或4/一-r二丁，

6666666

即小=4或-%==?

J■

19.解：分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件A,4;分別記甲、乙兩種果樹苗移栽成

活為事件四,B2,P(A)=0.6,P(A,)=0.5,P(B,)=0.7fP(B2)=0.9.

(1)甲、乙兩種果樹至少有一種成苗的概率為

P(A+42)=1-嗝.A)=1-0.4x().5=0.8;

(2)解法一：分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件AB,

則P(A)=P(43J=0.42,P(3)=P(4與)=0.45.

恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為

P(AB+AB)=0.42x0.55+0.58x0.45=0.492.

解法二：恰好有一種果樹栽培成活的概率為

P(AB[A+4隹4,B.、+AA3,+4AB[B、)=0.492.

20.

解法一：

(1)證明：作。O〃4Al交A出于。，連G。.

由于。是AB的中點，

因此00=3(明+5用)=3=(7。］.

則oocc是平行四邊形，因此有OC〃G。，

CQu平面CMA，且。c<z平面CMA

則oc〃面A4G.

(2)解：如圖，過B作截面處2。2〃面A罔G，分別交AA,CG于4，G，

作B”J.A2G于〃，

由于平面43c2,平面"CC，則的，面A4CC.

連結(jié)A”，則/8A”就是AB與面A4GC所成的角.

由于8”二號,AB=45,因此sinN8A”=^二噂

48與面A4CC所成的角為NBA"=arcsin等

(3)由于B"=*，因此.

4,如為正等；

JQG-A必,？=S4AMG?8B=3?2=1.

3

所求幾何體的體積為V=十-ABC

VB-/U:C:C^BjC,22=2

解法二：

(1)證明：如圖，認(rèn)為用原點建立空間直角坐標(biāo)系，則40,1,4),8(0,0,2),

C(l,0,3),由于。是A8的中點,因此。(0,；,3

乙

oc=1,——,0

2

易知，〃=(0,0,1)是平面AB?的一種法向量.

由oc?〃=()且oca平面A4G知oc〃平面48c.

(2)設(shè)AB與面A4,GC所成的角為。.

求得AA=(0,0,4),AG=(L-1，O).

A.A?m=0z=0

設(shè)tn=(x,y,z)是平面AA^C的一種法向量,則由得

AQ"?=ox-y=0

獲得y=1：，〃=(1,10).

又由于A3=(0,-L—2)

因此,cos<m,AB>=〃:芳=一貝Jin0=.

\?m\]AB\10s10

叵

因此AB與面AAG。所成的角為arcsin

To"

(3)同解法一

/\w-l

21.解：(1)由已知條件得=卜”=3"T,

由于36<2007<3’,因此，使可》2007成立的最小自然數(shù)，=8.

,..._12342〃人

(2)由于。=----F-r+r,.......①

2w13323332M2

\__l_2_3__±_2n-l2n

22〃o々2+Q3々4+o2/J-IO2M'..................

①+②得：/="+一*…-

32/,2H

丁一聲

3

3?32n-3-8z?

4.32M

22.解：(1)在△尸大鳥中，忻用=2

4=d；+-2d4cos20=(d「d?)2+44d?sin20

(J,-J,)2=4-4/1

|4-4|=2ji=I(不不小干2的常數(shù))

故動點P的軌跡C是以耳，F(xiàn)2為焦點，實軸長2a=的雙曲線.

,x2V2

方程為T一—-二1.

1—%A

(2)措施一：在△4￡B中，設(shè)|