湘教版（2024）數(shù)學(xué)7年級(jí)上冊(cè)第3章

一次方程（組）3.6.2加減消元法問題1：消元法的基本思路？問題2：說(shuō)一說(shuō)代入消元法的主要步驟.二元一元代入消元：(4)回帶再把求出的未知數(shù)的值代入前面的代數(shù)式(3)求解求出該未知數(shù)的值(2)代入把這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程中(1)轉(zhuǎn)化把其中一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的

代數(shù)式表示(5)寫解(6)檢驗(yàn)#3.6.2加減消元法（初中七年級(jí)數(shù)學(xué)）##一、教學(xué)過(guò)程###（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）1.回顧舊知：展示方程組\(\begin{cases}x+y=10①\\x-y=2②\end{cases}\)，提問：“用代入消元法如何求解？”引導(dǎo)學(xué)生用①式表示\(x=10-y\)代入②式，或表示\(y=10-x\)代入②式求解。2.啟發(fā)思考：觀察方程組中兩個(gè)方程的未知數(shù)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)\(y\)的系數(shù)分別為1和-1，相加后為0；\(x\)的系數(shù)均為1，相減后為0。追問：“若將兩個(gè)方程直接相加或相減，能否消去一個(gè)未知數(shù)？”3.嘗試運(yùn)算：將①+②得\(2x=12\)，解得\(x=6\)；將①-②得\(2y=8\)，解得\(y=4\)，驗(yàn)證結(jié)果與代入法一致。4.引出課題：這種“通過(guò)將方程組中兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解”的方法，叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。本節(jié)課將系統(tǒng)學(xué)習(xí)加減消元法的原理、步驟和應(yīng)用。###（二）新知探究（15分鐘）1.加減消元法的核心原理：-依據(jù)：等式的基本性質(zhì)2（等式兩邊同時(shí)加、減同一個(gè)等式，等式仍成立）。-核心思想：當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加或相減，可消去該未知數(shù)，實(shí)現(xiàn)“二元→一元”的轉(zhuǎn)化。-關(guān)鍵條件：某一未知數(shù)的系數(shù)“相等”（用減法消元）或“互為相反數(shù)”（用加法消元）。2.加減消元法的基本步驟（以方程組\(\begin{cases}3x+2y=13①\\5x-2y=11②\end{cases}\)為例）：-第一步：觀——觀察未知數(shù)系數(shù)，確定消去的未知數(shù)。

方程①中\(zhòng)(y\)的系數(shù)為2，方程②中\(zhòng)(y\)的系數(shù)為-2，互為相反數(shù)，可通過(guò)“相加”消去\(y\)。-第二步：加（減）——將兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)。

①+②得：\((3x+2y)+(5x-2y)=13+11\)，化簡(jiǎn)得\(8x=24\)（\(y\)被消去，轉(zhuǎn)化為一元一次方程）。-第三步：解——解一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值。

由\(8x=24\)，解得\(x=3\)。-第四步：回代——將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。

將\(x=3\)代入①式：\(3×3+2y=13\)，即\(9+2y=13\)，解得\(y=2\)。-第五步：驗(yàn)——檢驗(yàn)并寫出解。

檢驗(yàn)：將\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)代入原方程組，①左邊\(3×3+2×2=13\)（等于右邊），②左邊\(5×3-2×2=11\)（等于右邊），因此是方程組的解。

規(guī)范表示：\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)。3.進(jìn)階情況：未知數(shù)系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)（以方程組\(\begin{cases}2x+3y=16①\\x+4y=13②\end{cases}\)為例）：-關(guān)鍵步驟：先利用等式基本性質(zhì)2，將某一未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為相等或互為相反數(shù)。-操作：選擇系數(shù)較小的未知數(shù)（如\(x\)），方程②兩邊同時(shí)乘2，得\(2x+8y=26\)③（此時(shí)\(x\)的系數(shù)與①式相等）。-消元：①-③得：\((2x+3y)-(2x+8y)=16-26\)，化簡(jiǎn)得\(-5y=-10\)，解得\(y=2\)。-回代：將\(y=2\)代入②式，得\(x+4×2=13\)，解得\(x=5\)，檢驗(yàn)后寫出解\(\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}\)。-小結(jié)：系數(shù)不匹配時(shí)，需找系數(shù)的最小公倍數(shù)，將方程變形后再消元。###（三）例題講解（12分鐘）1.例題1：系數(shù)互為相反數(shù)（加法消元）-題目：用加減法解方程組\(\begin{cases}4x+3y=5①\\2x-3y=7②\end{cases}\)-解答：

①+②得：\(6x=12\)，解得\(x=2\)；

將\(x=2\)代入①：\(4×2+3y=5\)，即\(8+3y=5\)，解得\(y=-1\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，左右兩邊均相等；

結(jié)論：\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)。-小結(jié)：某未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，直接相加消元，步驟簡(jiǎn)潔。2.例題2：系數(shù)相等（減法消元）-題目：用加減法解方程組\(\begin{cases}3x+4y=19①\\3x-2y=5②\end{cases}\)-解答：

①-②得：\(6y=14\)，解得\(y=\frac{7}{3}\)；

將\(y=\frac{7}{3}\)代入②：\(3x-2×\frac{7}{3}=5\)，即\(3x=5+\frac{14}{3}=\frac{29}{3}\)，解得\(x=\frac{29}{9}\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，左右兩邊均相等；

結(jié)論：\(\begin{cases}x=\frac{29}{9}\\y=\frac{7}{3}\end{cases}\)。-小結(jié)：某未知數(shù)系數(shù)相等時(shí)，用減法消元，注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化。3.例題3：系數(shù)需變形（找最小公倍數(shù)）-題目：用加減法解方程組\(\begin{cases}5x+2y=25①\\3x+4y=15②\end{cases}\)-解答：

分析：\(y\)的系數(shù)為2和4，最小公倍數(shù)是4，將①式乘2得\(10x+4y=50\)③；

③-②得：\(7x=35\)，解得\(x=5\)；

將\(x=5\)代入①：\(5×5+2y=25\)，解得\(y=0\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，左右兩邊均相等；

結(jié)論：\(\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)。-小結(jié)：選擇系數(shù)最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)變形，可減少計(jì)算量；變形時(shí)方程兩邊每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，不能漏乘。###（四）課堂練習(xí)（8分鐘）1.基礎(chǔ)題：-（1）用加減法解方程組\(\begin{cases}x+2y=5①\\3x-2y=3②\end{cases}\)（答案：①+②得\(4x=8\)，\(x=2\)，代入①得\(y=\frac{3}{2}\)，解為\(\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\end{cases}\)）；-（2）用加減法解方程組\(\begin{cases}2x+y=4①\\2x-3y=12②\end{cases}\)（答案：①-②得\(4y=-8\)，\(y=-2\)，代入①得\(x=3\)，解為\(\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}\)）。2.中檔題：-用加減法解方程組\(\begin{cases}3x+5y=19①\\4x-3y=6②\end{cases}\)（答案：①×3得\(9x+15y=57\)③，②×5得\(20x-15y=30\)④，③+④得\(29x=87\)，\(x=3\)，代入①得\(y=2\)，解為\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)）。3.拓展題：-已知方程組\(\begin{cases}ax+by=3\\bx+ay=7\end{cases}\)的解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，用加減法求\(a+b\)和\(a-b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a+b=3①\\2b+a=7②\end{cases}\)，①+②得\(3(a+b)=10\)，\(a+b=\frac{10}{3}\)；①-②得\(a-b=-4\)）。###（五）課堂小結(jié)（2分鐘）1.核心方法：加減消元法的五步流程——觀（看系數(shù)）、變（需變形時(shí)）、加（減）、解、回代驗(yàn)；2.關(guān)鍵技巧：-系數(shù)互為相反數(shù)→相加消元；系數(shù)相等→相減消元；-系數(shù)不匹配→找最小公倍數(shù)，變形后再消元；-變形時(shí)方程兩邊每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，避免漏乘。3.思想方法：延續(xù)“消元轉(zhuǎn)化”思想，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化歸思想；4.方法對(duì)比：代入法適合有系數(shù)為1或-1的方程，加減法適合系數(shù)成倍數(shù)或易變形的方程，可根據(jù)方程組特點(diǎn)靈活選擇。用加減消元法解二元一次方程組1下面二元一次方程組中未知數(shù)y的系數(shù)有什么特點(diǎn)?這對(duì)解方程組有什么啟發(fā)?7x＋3y＝1，2x－3y＝8.#3.6.1代入消元法（初中七年級(jí)數(shù)學(xué)）##一、教學(xué)過(guò)程###（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）1.回顧舊知：展示二元一次方程組\(\begin{cases}x+y=30\\2x+5y=99\end{cases}\)（源于上節(jié)課人民幣問題），提問：“我們已經(jīng)知道這是二元一次方程組，如何求出它的解？”引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課用一元一次方程的解法，設(shè)\(x\)為2元人民幣張數(shù)，\(y=30-x\)，代入第二個(gè)方程求解。2.提煉思路：“將其中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，就能把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程”，這種方法就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的“代入消元法”。3.引出課題：明確代入消元法的核心是“消元”——消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為已學(xué)的一元一次方程求解。###（二）新知探究（15分鐘）1.代入消元法的定義：-給出定義：通過(guò)將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程，進(jìn)而求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。-核心思想：“消元轉(zhuǎn)化”——二元→一元，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。2.代入消元法的步驟（以方程組\(\begin{cases}x+y=30①\\2x+5y=99②\end{cases}\)為例）：-第一步：變——用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)。

選擇系數(shù)簡(jiǎn)單的方程（如方程①），解出其中一個(gè)未知數(shù)（通常選系數(shù)為1或-1的）。由①得：\(x=30-y\)③（將\(y\)移到右邊，用含\(y\)的式子表示\(x\)）。-第二步：代——代入另一個(gè)方程消元。

將③代入②（注意：不能代入原方程①，否則無(wú)法消元），替換掉②中的\(x\)，得到一元一次方程：\(2(30-y)+5y=99\)。-第三步：解——解一元一次方程。

去括號(hào)：\(60-2y+5y=99\)；合并同類項(xiàng)：\(3y=39\)；化系數(shù)為1：\(y=13\)。-第四步：回代——求出另一個(gè)未知數(shù)的值。

將\(y=13\)代入③（或①），得\(x=30-13=17\)。-第五步：驗(yàn)——檢驗(yàn)并寫出解。

檢驗(yàn)：將\(\begin{cases}x=17\\y=13\end{cases}\)代入原方程組，①左邊\(17+13=30\)（等于右邊），②左邊\(2×17+5×13=34+65=99\)（等于右邊），因此是方程組的解。

規(guī)范表示：方程組的解記為\(\begin{cases}x=17\\y=13\end{cases}\)。3.步驟口訣總結(jié)：“一變二代三求解，回代檢驗(yàn)寫答案”，幫助學(xué)生記憶。###（三）例題講解（12分鐘）1.例題1：用代入法解方程組\(\begin{cases}y=2x-3①\\3x+2y=8②\end{cases}\)-分析：方程①已直接用含\(x\)的式子表示\(y\)，可直接代入②。-解答：

①

代入②：\(3x+2(2x-3)=8\)；

去括號(hào)：\(3x+4x-6=8\)；

合并同類項(xiàng)：\(7x=14\)；

解得：\(x=2\)；

回代：將\(x=2\)代入①，得\(y=2×2-3=1\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，左右兩邊均相等；

結(jié)論：方程組的解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。-小結(jié)：當(dāng)方程組中有一個(gè)方程直接給出未知數(shù)的表達(dá)式時(shí)，可直接代入，步驟更簡(jiǎn)潔。2.例題2：用代入法解方程組\(\begin{cases}2x+y=5①\\3x-4y=2②\end{cases}\)-分析：方程①中\(zhòng)(y\)的系數(shù)為1，優(yōu)先解出\(y\)。-解答：

由①得：\(y=5-2x\)③；

③代入②：\(3x-4(5-2x)=2\)；

去括號(hào)：\(3x-20+8x=2\)；

合并同類項(xiàng)：\(11x=22\)；

解得：\(x=2\)；

回代：將\(x=2\)代入③，得\(y=5-2×2=1\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，左右兩邊均相等；

結(jié)論：方程組的解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。-小結(jié)：選擇系數(shù)絕對(duì)值較?。ㄈ?或-1）的未知數(shù)進(jìn)行表示，可減少計(jì)算量。3.例題3：用代入法解方程組\(\begin{cases}3x+4y=19①\\x-y=4②\end{cases}\)-分析：方程②中\(zhòng)(x\)和\(y\)的系數(shù)均為1，可解出\(x=y+4\)或\(y=x-4\)。-解答：

由②得：\(x=y+4\)③；

③代入①：\(3(y+4)+4y=19\)；

去括號(hào)：\(3y+12+4y=19\)；

合并同類項(xiàng)：\(7y=7\)；

解得：\(y=1\)；

回代：將\(y=1\)代入③，得\(x=1+4=5\)；

檢驗(yàn)：代入原方程組，①左邊\(3×5+4×1=19\)，②左邊\(5-1=4\)，均等于右邊；

結(jié)論：方程組的解為\(\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}\)。-小結(jié)：解未知數(shù)時(shí)，注意移項(xiàng)要變號(hào)，代入后去括號(hào)要準(zhǔn)確，避免漏乘。###（四）課堂練習(xí)（8分鐘）1.基礎(chǔ)題：-（1）用代入法解方程組\(\begin{cases}x=3y-2①\\2x+y=18②\end{cases}\)（答案：將①代入②得\(2(3y-2)+y=18\)，解得\(y=2\)，\(x=4\)，解為\(\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}\)）；-（2）用代入法解方程組\(\begin{cases}3x+y=7①\\2x-y=3②\end{cases}\)（答案：由①得\(y=7-3x\)，代入②得\(2x-(7-3x)=3\)，解得\(x=2\)，\(y=1\)，解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)）。2.中檔題：-用代入法解方程組\(\begin{cases}2x-3y=1①\\x+2y=4②\end{cases}\)（答案：由②得\(x=4-2y\)，代入①得\(2(4-2y)-3y=1\)，解得\(y=1\)，\(x=2\)，解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)）。3.拓展題：-已知方程組\(\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}\)的解為\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a+b=7\\2b+a=8\end{cases}\)，由第一個(gè)方程得\(b=7-2a\)，代入第二個(gè)方程解得\(a=2\)，\(b=3\)）。###（五）課堂小結(jié)（2分鐘）1.核心方法：代入消元法的五步流程——變（表示未知數(shù)）、代（代入消元）、解（解一元方程）、回代（求另一個(gè)未知數(shù)）、驗(yàn)（檢驗(yàn)寫解）；2.關(guān)鍵技巧：選擇系數(shù)簡(jiǎn)單（如1、-1）的方程和未知數(shù)進(jìn)行表示，減少計(jì)算量；代入時(shí)要代入另一個(gè)方程，避免循環(huán)；3.核心思想：消元轉(zhuǎn)化，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，體現(xiàn)“化未知為已知”的數(shù)學(xué)思想；4.后續(xù)銜接：下節(jié)課將學(xué)習(xí)另一種消元方法——加減消元法，進(jìn)一步豐富解二元一次方程組的工具。7x＋3y＝1，2x－3y＝8.合作探究+3y和–3y

互為相反數(shù)，

①+②試試！按照這個(gè)思路，你能消去一個(gè)未知數(shù)嗎？①②①左邊＋

②左邊

＝

①右邊＋②右邊7x+3y+2x－3y＝99x＝9(7x＋3y)

＋

(2x－3y)

＝

1＋

8合作探究解方程：解：由

①+②得把

x用1代入方程①，得7×1+3y=1，解得

y=－2.9x=9，兩邊都除以9，得

x=1.7x＋3y＝1，2x－3y＝8.①②因此，是原二元一次方程組的解.

x=1，y=－2例1解二元一次方程組：2x＋3y＝－1，2x－5y＝7.①②解：由

①－②得把

y

用

－1代入方程①，得3x＋3×(－1)＝－1，解得

x＝1.8y＝－8，兩邊都除以8，得

y＝－1.因此，是原二元一次方程組的解.

x＝1，y＝－1典例精析1.同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，把兩個(gè)方程的兩邊分別

.相加2.同一未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，把兩個(gè)方程的兩邊分別

.相減方法總結(jié)3x+5y=21，①2x–5y=-11.②1.解方程：解：由

①+②得將

x=2代入①得6+5y=21，解得

y=3.所以原方程組的解是

x=2，

y=3.5x=10，兩邊都除以5，得

x=2.練一練x+3y=8,①5x+3y=16.②2.請(qǐng)用加減法解二元一次方程組：解：由②－①

得4x

=8，

解得

y=2.所以原方程組的解為x=2，y=2.將

x用2代入①得2+3y=8，

兩邊都除以4，得

x=2.議一議例2解二元一次方程組：2x＋3y＝－11，6x－5y＝9.2x+3y＝-11,6x-5y＝9.6x+9y＝-33，6x-5y＝9.如何消去某個(gè)未知數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一方程14y＝-42①②①×3③-②③②2x+3y＝-11,6x-5y＝9.10x+15y＝-55,18x-15y＝27.28x＝-28①②③④①×5②×3③+④消x消y例2解二元一次方程組：2x＋3y＝－