第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)通過(guò)具體的函數(shù)模型分析實(shí)際問(wèn)題.2.能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行分析，建立合適的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)不同數(shù)學(xué)模型進(jìn)行比較并擇優(yōu)選擇.知識(shí)匯總1.常見的函數(shù)模型：（1）一次函數(shù)模型：（k，b為常數(shù)，）.（2）二次函數(shù)模型：（a，b，c為常數(shù)，）.（3）指數(shù)函數(shù)模型：（a，b，c為常數(shù)，，，且）.（4）對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（m，a，n為常數(shù)，，，且）.（5）冪函數(shù)模型：（a，n，b為常數(shù)，）.2.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程：（1）審題：弄清題意，分清條件和要求的結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的函數(shù)模型；（3）求模：推理并求解函數(shù)模型；（4）還原：用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律.習(xí)題檢測(cè)1.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù).現(xiàn)有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，5分鐘以后物體的溫度是40℃，則k約等于（參考數(shù)據(jù)：）()A.0.22 B.0.27 C.0.36 D.0.552.著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度(單位：，滿足：)若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時(shí)間為()(參考數(shù)據(jù)：)A.39分鐘 B.41分鐘 C.43分鐘 D.45分鐘3.一般來(lái)說(shuō)，事物總是經(jīng)過(guò)發(fā)生、發(fā)展、成熟三個(gè)階段，每個(gè)階段的發(fā)展速度各不相同，通常在發(fā)生階段變化速度較為緩慢、在發(fā)展階段變化速度加快、在成熟階段變化速度又趨于緩慢，按照上述三個(gè)階段發(fā)展規(guī)律得到的變化曲線稱為生長(zhǎng)曲線.美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式為(，，)，，該函數(shù)也可以簡(jiǎn)化為(，，)的形式.已知描述的是一種果樹的高度隨著時(shí)間x(單位：年)的變化規(guī)律，若剛栽種時(shí)該果樹的高為1m，經(jīng)過(guò)一年，該果樹的高為2.5m，則該果樹的高度超過(guò)8m，至少需要()A.4年 B.3年 C.5年 D.2年4.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：)A.72 B.74 C.76 D.785.根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂(lè)場(chǎng)所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂(lè)場(chǎng)所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度(單位：)與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間(單位：周)近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂(lè)場(chǎng)所竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為()A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.某醫(yī)用放射性物質(zhì)原來(lái)的質(zhì)量為a，每年衰減的百分比相同，當(dāng)衰減一半時(shí)，所用的時(shí)間是10年.已知到今年為止，剩余的質(zhì)量為原來(lái)的，則該放射物質(zhì)已經(jīng)衰減了__________年.7.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，則“心宿二”的亮度大約是“天津四”的_____倍.（結(jié)果精確到0.01.當(dāng)較小時(shí)，）8.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強(qiáng)m與參考聲強(qiáng)（約為，單位：）之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（單位：分貝）與噴出的泉水高度xdm滿足關(guān)系式，現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為50dm，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)B同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm.9.近年來(lái)，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)，我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五號(hào)載人飛船搭載航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸飛往中國(guó)空間站，與神舟十四航天員“會(huì)師”太空，12月4日晩神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲安全順利出艙，圓滿完成飛行任務(wù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，m(kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，M(kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為.（1）當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；（2）經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來(lái)的2倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：，，)

答案以及解析1.答案：A解析：由題意得，，，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，，所以，故選：A.2.答案：B解析：由題知，，，，，，，.故選B.3.答案：A解析：由題可得，則，解得，，所以，由函數(shù)解析式可知，在上單調(diào)遞增，且，，故該果樹的高度超過(guò)8m，至少需要4年.故選A.4.答案：B解析：由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次.故選B.5.答案：B解析：由題意可知，，，，解得.設(shè)該文化娛樂(lè)場(chǎng)所竣工后放置周后甲醛濃度達(dá)到安企開放標(biāo)準(zhǔn)，則，整理得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，則，即.故至少需要放置的時(shí)間為6周.故選B.6.答案：5解析：設(shè)衰減的百分比為x，，由題意知，，解得，設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余的質(zhì)量為原來(lái)的，則，即，解得.7.答案：1.26解析：由題意，兩顆星的星等與亮度滿足：，令“心宿二”的星等，“天津四“的星等，則，所以，即，所以，則”心宿二“的亮度大約是”天津四“的1.26倍，8.答案：45解析：設(shè)B同學(xué)的聲強(qiáng)為，噴出泉水高度為xdm，則A同學(xué)的聲強(qiáng)為，