廣東省2022屆高三開學(xué)階段性質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r150分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡.卜.對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案

寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={x|V-3x+2>0},8=1x|—則AH（CM）=

x+1

A.(0,1)U(2,+a))B.(-00-HU(2,4-00)

c.(-00-1)U(0,1)u(2,+00)D.(-00-DU(0,1)U(2,+00)

已知出=6i，則2

2.

z-1

A15B.」+冬615

A.]+TcD.----------------1

22-4T122

3.己知圓錐的母線長為1,其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形,則該圓錐的軸截面

面積為

A2后V2

A.—^―D.

B.孚方

4.卜列區(qū)間中，函數(shù)/（工）=3sin2-2尤））單調(diào)遞增的區(qū)間是

7T7t(713笈'

A.B.4,2jC.D.，）

且，￡9,2乃），則sinJ+cos。=

5.若tanO=—2,

，\3有R亞c亞D3石

A.kB.飛一C,一飛-D.--

6.已知直線/過拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)尸，與拋物線。交于48兩點(diǎn)，且

IA8|,|AF\,\8可成等差數(shù)列，則直線/的斜率k=

A.±1B.±V2C.±21).±272

7.若過點(diǎn)3力)3>0)可以作曲線y=》3-3x的三條切線,則

A.b<-3aB.-3a<b<a3~3a

C.b>a3-3aD.b——3a或Z?=/-3a

8.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》，《星火》的票價為5()

元/人，每人限購一張票，甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張

100兀鈔，他們六人排成一列到售票處買票，血售票處一開始沒有準(zhǔn)備50兀零錢，那么

他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購票時售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài).

A.720B.360C.180D.90

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，

按照分層抽樣的原則拍取了容量為50的樣本，經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170cm,

方差為.17cm'；女生身高樣本均值為160cm,方差為30cm2.下列說法中正確的是

A.男生樣本量為30B.每個女生人樣的概率均為：

C.所有樣本的均值為166cmD.所有樣本的方差為22.2cm2

.，?.I....

10.已知。AOB=|QA|=5|OB|=1,點(diǎn)P滿足OP=xOA+)，O8(x,)，￡/?),則下列說

法中正確的是

A.當(dāng)x+y=l時，|而|的最小值為1B.當(dāng)/+丁=]時，?而|=]

11——

C.當(dāng)工=一時，A4BP的面積為定值D.當(dāng)》=一時，|AP|=|8P|

2,2

11.已知點(diǎn)P在圓。：*-4)2+()，-5u=5上，點(diǎn)A(4,O),8(0,2),則下列說法中正確

的是

A.點(diǎn)、P到直線A-的距離小于6B.,點(diǎn)尸到直線A8的距離大于2

471

C.cos/APB的最大值為?D.NAP8的最大值為巴

52

12.已知函數(shù)/(x)=lnx+l-ax有兩個零點(diǎn)芭，、x2(Xj<x2),則

A.。的取值范圍為(—8,1)B.+x2-XjX2>1

C.x{+x2>2D.—H--->2

AX2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

X

13.已知函數(shù)/(為:書工①〉。,。聲1)是偶函數(shù)，則/(x)的最大值為_______.

J+1

X2V2

14.已知橢圓C:/+方=1(。>〃>0)的左頂點(diǎn)為力，上頂點(diǎn)為8,右焦點(diǎn)為F,且

△A8b是等腰三角形，則橢圓。的離心率為.

15.(3/+21+?。的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

16.將正三角形(1)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為

底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)：將圖(2)

的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正

三角形，然后去掉底邊，得到圖(3)；如此類推，將圖(〃)

的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作三

角形，然后去掉底邊，得到圖(加1).上述作圖過程不斷的

進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線.若圖(1)中正

三角形的邊長為1,則圖(加的周長為,圖(力的

面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%+an_｝=2n(nN2,〃￡N“).

(1)記2=的〃，求數(shù)列｛〃』的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sn.

18.（12分）

有專家指出，與新冠病毒感染者密切接觸過的人，被感染的概率是9%.王某被確診為

新冠病毒感染者后，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備對王某的密切接觸者共78人逐?進(jìn)行核酸檢測.

（1）設(shè)乃為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）核酸檢測并不是100%準(zhǔn)確，有可能出現(xiàn)假陰性（新冠病毒感染者的檢測結(jié)果為陰性，

即漏診）或假陽性（非新冠病毒感染者的檢測結(jié)果為陽性，即誤診）.假設(shè)當(dāng)?shù)睾怂?/p>

檢測的靈敏度為9戡（即假陰性率為2%）,特異度為99%（即假陽性率為1%）.已知王

某的一個密切接觸者趙某的核酸檢測結(jié)果為陽性，求他被感染的概率（結(jié)果保留3

位有效數(shù)字）.

19.（12分）

已知A4BC中，NABC=JZA8C的平分線交AC于點(diǎn)。，BD=2瓜

3

（1）若AO=2OC,求AC的長度；

（2）求AA/TC面枳的最小值.

20.（12分）

如圖，在三棱錐P—A8C中，側(cè)面PAC是等邊三角形，AB上BC,PA=PB.

（1）證明：平面平面A8C

PM

⑵若4c=2A/L點(diǎn)M在棱PC上.且二面角例一八月一「的大小為45°,求上上.

PC

21.（12分）

3

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知動點(diǎn)P到點(diǎn)b(2,0)的距離與它到直線x=1的距離之

比為手.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)過點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線/?/2-4交曲線C于4,8兩點(diǎn)，/2交曲線。于S,7兩

點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,線段ST的中點(diǎn)為N.證明：直線用N過定點(diǎn)，并求出

該定點(diǎn)坐標(biāo).

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=log/,其中

(1)若不等式/(工)之1一%恒成立，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)討論方程/(X)=/的解的個數(shù).

數(shù)學(xué)參考答案

選擇題(1-8小題每題5分，共40分；9-12題每小題5分，全部選對的得5分，部分選對

的得2分，有選錯的得0分。）

題號123456

答案DABCCD

題號789101112

答案BCACADBCDBCD

1.【答案】D

【解析】/i=(-00,1)11(2,+00),B=(-l,0],(；8=(-co,—l]U(0,M)，,故

力n([B)=(y,TU(0,DU(2,m).

2.【答案】A

【解析】z=土■廬」-正i,故，、3i.

1-62222

3.【答案】B

【解析】依題意，該圓錐的底面周長為型，故底面半徑為1,高為卜=延.因此,

33'3

軸板面面枳為Lx逑=逑.

339

4.【答案】C

【解析】/(x)=3sinfi-2x=-3sin12x-g,令2K:+]42x-；424幾+?(〃wZ),解得

kn+^<x^kit+y--(keZ),故f(x)的增區(qū)間是船+^^向+^^(A€Z).又因?yàn)?/p>

5兀1In

,故選c.

5.【答案】C

【解析】因?yàn)椤Ｊ堑谒南笙藿?，所以cos0>O.因此,

tan。=-=-2nsin28+cos2=5cos2=1

COS0

cos0=sin0--=>sin+cos0--

555

6.【答案】D

【解析】依題意，忸.=|4用-|">|4F卜忸F|n|4F|=2|M|.由三率恒等式(拋物線的定義),

1=71+^--=>A=±2>/2,

2+1

7.【答案】B

【解析】曲線y=V-3x在點(diǎn)-3。處的切線y--3f)=(3t2-3)(攵T)過點(diǎn)(a,b)當(dāng)且僅當(dāng)

Z>-(/3-3/)=(3r2-3)(a-/).令g(f)u(3/-3)“-a)_(/一3令+6,則

g'⑴=所-3)+6/(/-a)-(3/:-3)=6t(t-a).

由此可知g(f)在(f,0)和(a,+8)單調(diào)遞增，在(0,㈤單調(diào)遞戒.蚊g(f)有三個零點(diǎn)當(dāng)良僅當(dāng)

g(0)=3A+Z)>0,,

g(a)=-(a3-3a)+b<0,

8.【答案】C

【解析】如果售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)，那么敢到的妙票順序可以是:

(50,50,50,100,.100,100),

(50,50,100,50,100,100),

(50,50,100,100,50,100),

(50,100,50,50,100,)00),

(50,100,50,100,50,100),

共5種，故六人共有5A；A；=180有種不同的排隊(duì)順序符合要求.

9.【答案】AC

【解析】男生樣本量為300x2)=30,故選項(xiàng)A正確：每個學(xué)生入樣的梭率均為父?=’,故

50050010

選項(xiàng)B錯誤；記男生樣本為必，必，…,J],均值為歹，方差為耳；女生樣本為4/2,…,Z20，均值

為3,方差為磺：所有樣本均值為亍，方差為則

3020

"+卷)

/二|八|型八型=%+'=166皿

50505,5

±

23020

-2(乂-行+2G廣斤

50,?|7-i

1川20

一

一-2(必_1+亨_君2+￡(2/_彳+丞一月2

5101-1/?|

-3030

-2

502(匕-刃2+30(7-X)+2g3-y)(y-x)

1=1

2020

+Z(z廠z)2+20(z-x)2+22(Z廠z)[z-,r)

川/=1

323L_\22222

=-^+-(y-x)+,s女+,(z-x)2

=50.2cm2.

故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤.

10.【答案】AD

【解析】依題意，|5卜1"麗卜2,406=60。.當(dāng)x+y=l時，點(diǎn)P在直線相上，

故口斗的最小值為點(diǎn)O到直線力8的距離j5|二l,故選項(xiàng)A正確：由

|OPp=OP2=x2OA2+y2OB22xy^OAOBx2+4y2+2xy

可知|西=10/+4必+2h=1,故選項(xiàng)B錯誤；當(dāng)x=g時，點(diǎn)P在過線段04中點(diǎn)且平行于

直線08的直線上，△力8尸的面積不為定值，故選項(xiàng)C錯誤：當(dāng)y時，點(diǎn)尸在過線段08中點(diǎn)

且平行于直線,。4的直線(即線段48的垂直平分線)上，|萬卜|麗故選項(xiàng)D正確.

11.【答案】BCD

【解析】線段48的中點(diǎn)為M(2,l),線段力8的垂直平分線y=2x-3過圓心C(4,5),所以

點(diǎn)〃到直統(tǒng)/"的距離的最小值為|CW|.遙=">2,最大依為|。切+后=3—)6,故選項(xiàng)A

錯誤，選項(xiàng)B正確.由正弦定理可知，當(dāng)△48尸的外接圓與圓。的內(nèi)切時，NAPB最小,此時

4

(：8/4尸8最大，且85/428=852乙"＞河=1；當(dāng)△4BP的外接圓與圓C的外切時，乙4PB最大,

此時44尸8=四.故選項(xiàng)C、D正確.

2

12.【答案】BCD

【解析】令g(止等⑶=二^,

X0(0,1)1(1,+8)4-00

g'(x)+0一

g(x)-oo/10

故。的取值范圍為(0,1),選項(xiàng)A錯誤；故演》2-(再+々)+1=?一1)(々-1)<。，

選項(xiàng)B正確：令6(幻=8。)-8(2-刈，則當(dāng)0<x<l時，

G'(x)=g'(x)+g，(2-x)

\nxln(2-x)

=""(2-x)2

x-1(2-x)-l

X2(2-X)2

_4(5

427)2>a

G(x)在(0,1)遞增，故G(X|)<G(D=0,即g(X2)=g(X)<g(2-xJ，Z>2-演，選項(xiàng)C正確:

——是函數(shù)，!(x)==x(l-lnx)-?的兩個零點(diǎn)，A'(x)=Tnx,

士占axjyx)

X0(0,1)1(L+oo)+00

h'(x)+0一

KG0/1\-OC

令"(x)=Mx)-力(2-x),則當(dāng)Ovxvl時,

H\x)=h,(x)+h,(2-x)

=-lnx-ln(2-x)

=0,

iA(iA(iAI?

”(x)在(0,1)遞增，故H(xJ〈H(l)=O,即力一=力一<h2——，—>2,選項(xiàng)D正確.

填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.【答案】彳14.【答案】---15.【答案】21016.【答案】3x]§J：—§-----

【答案】1

13.

【解析】依題意,/(-x)=/(x)=>=—=4=0=6,故

37+13a+l3X+1a

11_

fW

㈣,+（可r⑼.㈣72

故當(dāng)且僅當(dāng)(J5)'=1即1=0時取等號.因此，/(X)的最大值為，

M.【答案】"

【解析】顯然AF>BF,故48=片廠，即&+從=4十%即2八d=/十/+24,

即2c2+2GC-Q2=0,即Ze?+2e-1=。，解得e=-----(舍去負(fù)根).

2

15.【答案】210

29

【解析】展開式的V項(xiàng)為c]0(3x)-1+C[(2X)2./=21Of,即/項(xiàng)的系數(shù)為2io.

16.【答案】3x(§*吟*x.

【解析】圖伽)中每條邊變?yōu)閳D(〃+1)中的4條邊，

長度變?yōu)樵瓉淼?,故圖⑹共有3x4”、條邊，每條邊的長度

均為.因此，圖?的周長為3x(：J.設(shè)圖但)的面

積為S,.陰5)變?yōu)槔?〃+1)時，每條邊上多了一個面積為

半x(g)的正三角形，故

SM=SN+3X4IX^X(獷

因此,

旦￡

s=

t41

解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.【答案】（10分）

（1）依題意，a2+a1=4,故,=々2=3........................1分

因?yàn)槿A〃+2+=4〃+4,a2n+l+a2tl=4〃+2，

所以2+l一女=出“.2一。2〃=（。2〃+2+?2加）一（6的+出〃）

=（4/24-4）-（4774-2）=2..........................3分

因此，｛"｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為2=2〃+1........5分

⑵解法一：因?yàn)槌隹?。2”-1=4〃.由（1）知。2,1=4〃一。2〃=2〃-1?......6

分

當(dāng)〃=2攵(keN")時，

Sn=(4+。3+…+〃2”1)+(。2+4+…+。2&)

=(1+3+---+2A:-1)+I3+5+---+2Z:+1)

(\+2k-\)k(1+2&+1)%

=-------------1-------------

22

=k(2k+2)

n(n+2)

—.

2

當(dāng)〃=2攵-1(女￡/^)時，

Sn=Sm-%+|

5+l)(n+3)

=---------------------(n+2)9分

2

n(n+2)-1

-?

2

〃("+",〃為奇數(shù)，

因此，Sn=\/4°、.......10分

嗎2,〃為偶數(shù)

解法二：當(dāng)〃=2%（火￡N'）時,

S”=(。|+〃2)+(。3+〃4)+',?+(。21+a2k)

=4+8+?一+4%

(4+4Q/..

=................................i7T

2

=攵(2攵+2)

_〃(〃+2)

-?

2

當(dāng)〃=22+1(攵￡乂°)時，

S〃=%+(。2+/)+(%+?5)+，--+(^2*+。22)

=1+6+10+…+(依+2)

[(6+4攵+2)?攵

=1H---------------------

2

=k(2k+4)+1.............9分

5-1)(〃+3)

=-------------------F1

2

n(n+2)-1

-2

1x3-1

由于S|=4=l=f也滿足上式，故

""2)7,〃為奇數(shù)，

Sn=\/.............10分

嗎0,〃為偶數(shù)

18.【答案】（12分）

⑴依題意，X?8(78,0.09),2分

故4X)=78x0.09=7.02.4分

⑵設(shè)事件力為“核酸檢測結(jié)果為陽性”，事件8為“密切接觸者被感染”.

依題意,P(B)=0.09,P(A18)=0.98,P(A|萬)=001.............................6分

所以

P(A)=P(A3UA豆)

=P(AB)+P(AB)

=P(B)-P(A|B)+P(B)-P(A|B).........................9分

=0.09x0.98+0.91x0.01

=0.0973,

P(g|4)=誦=型型!竺=08x098,090b?

P(A)P(A)0.0973

因此，已知密切接觸者趙某的核酸檢測結(jié)果為陽性的條件下，他被感染的概率為

90.6%..........................................................................................................12分

19.【答案】(12分)

AT)C4R

(1)因?yàn)椤?—=2,設(shè)8C=a,則A8=2a......................2分

DCSABCDBC

在AA5C中，由余弦定理，AC2=+BC2-2ABBCcosZABC=3a2,…3分

由A4MACN+AC2,可得NACB=衛(wèi),故NB4C=?—/A8C—NACB='.

26

.......................................4分

又4ABD=ZCBD=-ZABC=-,.................................................................5分

26

所以40=80=24，AC=-AD=3y/3.................................................6分

2

(2)設(shè)則NCO3=〃-8,ABAD=—-0,

(66J6

TT

^BCD=e--.

6

/AAccti十升±gA3BD_2V3sin^..

在△A3。中，由正弦定理，----------=----------,故43=---7-----\?…7分

sinZADBsinZBAD.(4)

smen+—

I6j

在幼。中，由正弦定理，———=一處一，故8C=2夕in。..出分

sinZBDCsinZBCD.(乃、

snin8---

I6j

囚此,

S&\BC=耳A98csinZABC

3V3sin2<9

sinl6^+—IsinlO--71

66J

3百sin*

中sine+'cose

sin?！猚ose

22

38siifO

10分

-sur^-icos2^

44

3V3sin2^

sin29--

4

34I+^7)

=4-y3,

當(dāng)且僅當(dāng)sin6=l即8=工時取等號,故A48C面積的最小值為4后........12分

2

20.【答案】(12分)

(1)設(shè)AC中點(diǎn)為。，連接尸。，區(qū)O.

在等邊三角形PAC中，有PO_LAC.1分

在直角三角形ABC中，有OA=OB=OC.

又PA=PB=PC,所以APOA二APOBNAPOC,進(jìn)而有NPOB=NPQA=90°,

即尸O_LQ8...................................................................................................：3分

又ACnO3=O,ACu平面ABC,O3u平面A8C,所以PO_L平面ABC

...........................................................4分

又POu平面PAC,所以平面PAC_L平面ABC..........................................5分

⑵不妨設(shè)尸4=4.在直角三角形ABC中，

Afi1

cosZGAB=-=-=>ZCAB=60°.在底面4BC內(nèi)作。。JLAC,則由（1）可知

AC2

OD,OC,OP兩兩垂直.以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.................................................6分

則4。,一2,0)，B(V3-1,0),C(0,2,0),0(0,0,2后)，

瓶=(⑸,0),AC=(0,4,0),AP=(0,2,273),PC=(0,2-273)...........7分

設(shè)麗=APC=(0,22,-2732)(0<2<1),

則而二Q+麗=(0,2(1+/I),273(1-2)).

小病=2(1+A)y+2V3(1-，)z=0,

設(shè)平面M43的法向量為〃=(x,y,z),則<一二)

n-AB=>J3x+y=0.

....................................................................................8分

令尤=九一1,yiiJn=a-l,V3(l-2)-l-Z)............................10分

又加=(0,0,26)是平面ABC的一個法向量，所以

cos45°=|cos(OP,/?\|==--------------------------,..........11分

1'71口斗同VU-1)2+3(l-/l)2+(l+/l)2

11

解得4二上,即二=±.................................................12

3PC3

分

21.【答案】(12分)

p/、優(yōu)肝育』(x-2,+y2_2、，3

(1)設(shè)P(x,y),依題意，~=~~’..................2

x—

2

分

2

化簡整理得曲線C的方程為千一)，2=1................................4分

⑵設(shè)&X],y),3(%,必)?

①若直線。4都存在且不為零，設(shè)直線4的方程為丁=-久-2),則直線4的方程為

y=k（x-2）

由消去y,整理得(3公-1)/.-\2k2x+\2k2+3=O.

丁一丁二1

當(dāng)322-1=0時，這個方程變?yōu)橐?工+7=0,只有一解，直線4與曲線。只有一個交

點(diǎn)，不合題意；當(dāng)3公_140時,

A=144Z:4-4(31-1)(12抬+3)=12(1+1)>0

直線4與曲線。恒有兩個交點(diǎn).

12人2

由韋達(dá)定理，%+%=*1，........................................5分

12女2—1

(6k2\

故線段A3的中點(diǎn)為M熊二T.TTA「…..............................6分

3KT3k~-1)

同理，線段PQ的中點(diǎn)為m（/7，三冬］...............................7分

k3KDKtj

2k2k

⑴若⑺】，則2空軍=春

.....................8

3依一13-k2

分

直線MN的方程為尹D一k二EDlk'（6、7k

即y=。*-3).

3-K2>-3(1-^2)

9分

此時，直線MN恒過點(diǎn)（3,0）.

(ii)若左=±1,則M(3,l),N(3,-l)或M(3,-1),N(3,1),直線MN的方程為x=3.

此時，直線MN也過點(diǎn)（3,0）.........................................10分

②若直線人〃中其中一條的斜率為0,另一條的斜率不存在，不妨設(shè)4的斜率為0,則

4：y=0,4：x=2.此時，直線MN的方程為y=（）.

此時，直線MN也過點(diǎn)（3,0）.........................................11分

綜上，直線MN過定點(diǎn)（3,0）.........................................12分

22.【答案】(12分)

⑴令g(x)=/(x)-(l-x)=log“龍+1-1,則g(l)=0,g'(x)=—+L…1

x\x\a

分

當(dāng)xcfo,——!一］時，gf(x)<0：當(dāng)xw1—7^—時.g'(x)>0.

Vina)IInoJ

所以g(x)在(0,——二］單調(diào)遞減，在/一一L,”］單調(diào)遞增...............2分

V\najIInQJ

①若Q=L,則--L=i,g(x)2g1_J_］=o,符合題意：..........3分

eInQ〈InaJ

11(1A

②若0<。<,，則0<---<1,g---<^(1)=0,不合題意：......4分

eIna\\naJ

③若！則一一->i,J一一L]<g(i)=o,不合題意：.........5分

e\na<\naJ

綜上，a=—.......................................................5分

e

(2)令〃")