2026屆湖南長沙市麓山國際實驗學校數學高一上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，則A.最大值為2，且圖象關于點對稱B.周期為，且圖象關于點對稱C.最大值為2，且圖象關于對稱D.周期為，且圖象關于點對稱2．如下圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中①②與成角③與為異面直線④以上四個命題中，正確的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④3．定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若，是銳角三角形的兩個內角，則下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.4．在平行四邊形中，設，，，，下列式子中不正確是（）A. B.C. D.5．采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣方法抽到的號碼為.抽到的人中，編號落入區(qū)間的人做問卷，編號落入區(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數為A. B.C. D.6．函數的定義域是（）A. B.C. D.7．若，，則等于（）A. B.3C. D.8．已知向量，，若，則實數的值為（）A.或 B.C. D.或39．已知，則直線通過()象限A.第一、二、三 B.第一、二、四C.第一、三、四 D.第二、三、四10．下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若a，，則C.若，，則 D.若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數是定義在R上的奇函數，當時，2，則在R上的解析式為________.12．在中，，，且在上，則線段的長為______13．過點且與直線垂直的直線方程為___________.14．設函數，若函數滿足對，都有，則實數的取值范圍是_______.15．已知，則___________.（用含a的代數式表示）16．在平面直角坐標系中，動點P到兩條直線與的距離之和等于2，則點P到坐標原點的距離的最小值為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某保險公司決定每月給推銷員確定具體的銷售目標，對推銷員實行目標管理.銷售目標確定的適當與否，直接影響公司的經濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）①根據圖中數據，求出月銷售額在小組內的頻率；②根據直方圖估計，月銷售目標定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務？并說明理由；（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經驗，求選出的推銷員來自同一個小組的概率.18．已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標：（2）先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若當時，關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.19．人口問題是世界普遍關注的問題，通過對若干個大城市的統(tǒng)計分析，針對人口密度分布進行模擬研究，發(fā)現人口密度與到城市中心的距離之間呈現負指數關系．指數模型是經典的城市人口密度空間分布的模型之一，該模型的計算是基于圈層距離法獲取距城市中心距離和人口密度數據的，具體而言就是以某市中心位置為圓心，以不同的距離為半徑劃分圈層，測量和分析不同圈層中的人口狀況．其中x是圈層序號，將圈層序號是x的區(qū)域稱為“x環(huán)”（時，1環(huán)表示距離城市中心0～3公里的圈層；時，2環(huán)表示距離城市中心3～6公里的圈層；以此類推）；是城市中心的人口密度（單位：萬人/平方公里），為x環(huán)的人口密度（單位：萬人/平方公里）；b為常數；．下表為某市2006年和2016年人口分布的相關數據：年份b20062.20.1320162.30.10（1）求該市2006年2環(huán)處的人口密度（參考數據：，結果保留一位小數）；（2）2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，求該環(huán)是這個城市的多少環(huán)．（參考數據：）20．已知向量，.（1）求的值；（2）若向量滿足，，求向量的坐標.21．已知A（﹣1，0），B（1，0），動點G滿足GA⊥GB，記動點G的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）如圖，點M是C上任意一點，過點（3，0）且與x軸垂直的直線為l，直線AM與l相交于點E，直線BM與l相交于點F，求證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點T，并求出點T的坐標

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】，∵，∴，則的最大值為；∵，∴周期；當時，圖象關于某一點對稱，∴當，求出，即圖象關于對稱，故選A考點：三角函數的性質．2、D【解析】由已知中正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：由正方體的幾何特征可得：①不平行，不正確；

②AN∥BM，所以，CN與BM所成的角就是∠ANC=60°角，正確；③與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；④易證，故，正確；故選D3、A【解析】根據題意，先得到是周期為的函數，再由函數單調性和奇偶性，得出在區(qū)間上是增函數；根據三角形是銳角三角，得到，得出，從而可得出結果.【詳解】因為偶函數滿足，所以函數是周期為的函數，又在區(qū)間上是減函數，所以在區(qū)間上是減函數，因為偶函數關于軸對稱，所以在區(qū)間上是增函數；又，是銳角三角形的兩個內角，所以，即，因此，即，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數的基本性質比較大小，涉及正弦函數的單調性，屬于中檔題.4、B【解析】根據向量加減法計算，再進行判斷選擇.【詳解】;;;故選：B【點睛】本題考查向量加減法，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5、C【解析】從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則抽樣距為k＝，因為第一組號碼為9，則第二組號碼為9＋1×30＝39，…，第n組號碼為9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)考點：系統(tǒng)抽樣.6、D【解析】由函數解析式有意義可得出關于實數的不等式組，由此可求得原函數的定義域.【詳解】函數有意義，只需且，解得且因此，函數的定義域為.故選：D.7、A【解析】根據已知確定，從而求得，進而求得，根據誘導公式即求得答案.【詳解】因為，，所以，則，故，故選：A8、A【解析】先求的坐標，再由向量垂直數量積為0，利用坐標運算即可得解.【詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.9、A【解析】根據判斷、、的正負號，即可判斷直線通過的象限【詳解】因為，所以，①若則，，直線通過第一、二、三象限②若則，，直線通過第一、二、三象限【點睛】本題考查直線，作為選擇題10、C【解析】結合特殊值、差比較法確定正確選項.【詳解】A：令，；，，則，，不滿足，故A錯誤；B：a，b異號時，不等式不成立，故B錯誤；C：，，，，即，故C正確；D：令，，不成立，故D錯誤.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由是定義域在上的奇函數，根據奇函數的性質，可推得的解析式.【詳解】當時，2，即，設，則，，又為奇函數，，所以在R上的解析式為.故答案為：.12、1【解析】∵，∴，∴，∵且在上，∴線段為的角平分線，∴，以A為原點，如圖建立平面直角坐標系，則，D∴故答案為113、【解析】利用垂直關系設出直線方程，待定系數法求出，從而求出答案.【詳解】設與直線垂直的直線為，將代入方程，，解得：，則與直線垂直的直線為.故答案為：14、【解析】首先根據題意可得出函數在上單調遞增；然后根據分段函數單調性的判斷方法，同時結合二次函數的單調性即可求出答案.【詳解】因為函數滿足對，都有，所以函數在上單調遞增.當時，，此時滿足在上單調遞增，且；當時，，其對稱軸為，當時，上單調遞增，所以要滿足題意，需，即；當時，在上單調遞增，所以要滿足題意，需，即；當時，單調遞增，且滿足，所以滿足題意.綜上知，實數的取值范圍是.故答案為：.15、【解析】利用換底公式化簡，根據對數的運算法則求解即可【詳解】因為，所以故答案為：.16、【解析】∵3x﹣y=0與x+3y=0的互相垂直，且交點為原點，∴設點P到兩條直線的距離分別為a，b，則a≥0，b≥0，則a+b=2，即b=2﹣a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知===，∵0≤a≤2，∴當a=1時，的距離，故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②17，理由見解析（2）【解析】（1）①利用各組的頻率和為1求解，②由題意可得的推銷員不能完成該目標，而前兩組的頻率和，前三組的頻率和為，所以月銷售目標應在第3組，從而可求得結果，（2）由頻率分布直方圖結合題意可得待選的推銷員一共有4人，然后利用列舉法求解概率【小問1詳解】①月銷售額在小組內的頻率為.②若要使的推銷員能完成月銷售額目標，則意味著的推銷員不能完成該目標.根據題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為0.18，故估計月銷售額目標應定為（萬元）.【小問2詳解】根據直方圖可知，月銷售額為和的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人.設這4人分別為，則樣本空間為{}，一共有6種情況其中2人來自同一組的情況有2種所以選出的推銷員來自同一個小組的概率.18、（1），（2）【解析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高點可求得的值，即可得的解析式，由正弦函數的對稱中心可得對稱中心；（2）由圖象的平移變換求得的解析式，由正弦函數的性質可得的值域，令的取值為的值域，解不等式即可求解.【小問1詳解】由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由可得，因為，所以，，所以.令可得，所以對稱中心為.【小問2詳解】由題意可得：，當時，，，若關于的方程有實數根，則有實根，所以，可得：.所以實數的取值范圍為.19、（1）1.7（2）4【解析】（2）根據表中數據，由求解；（2）根據2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，由求解.【小問1詳解】解：由表中數據得：；【小問2詳解】因為2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，所以，即，所以，解得，所以該環(huán)是這個城市的4環(huán).20、（1）7；（2）.【解析】(1)先計算,再求模即可；（2）設，進而計算，，再根據垂直與共線的坐標關系求解即可.【詳解】解：（1）因為向量，，所以，所以（2）設，，因為，，所以，解得所以21、（1）x2+y2＝1；（2）證明見解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解析】(1)由可得,列出等式即可求動點的軌跡方程;(2)設出點M的坐標,我們可以得到直線AM、直線BM的方程,與直線方程聯(lián)立求得點E、點F的坐標,進而得到以為直徑的圓的方程,最后求出定點坐標.【詳解】（1）設G（x，y）（x≠±1），因為GA⊥GB，所以，整理得C的方程為x2+y2＝1（x≠±1）；（2）設點M（x0，y0）（x0≠±1），