/5.9弧長及扇形的面積知識(shí)梳理關(guān)鍵概念：弧長：圓上兩點(diǎn)間的曲線段長度，取決于圓心角大小和圓的半徑；扇形：由圓心角（n°）和兩條半徑（r圓環(huán)：兩個(gè)同心圓所夾的區(qū)域，大圓半徑為R，小圓半徑為r（R>核心公式：弧長公式：l=nπr180（n扇形面積公式：直接用圓心角和半徑：扇形S扇形用弧長和半徑：扇形S扇形=1圓環(huán)面積公式：圓環(huán)S圓環(huán)公式關(guān)聯(lián)與推導(dǎo)：扇形面積與圓面積的關(guān)系：扇形面積是所在圓面積的n360（因圓心角占周角的n弧長與扇形面積的關(guān)聯(lián)：由弧長公式l=nπr180變形得nπr=180l同步訓(xùn)練一、單選題1．一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積是（

）A．3π B．2π C．322．如圖，⊙O的半徑為4，直徑AB，CD互相垂直，則AC的長是（

A．π B．2π C．3π 3．如圖，某小區(qū)擬修建一個(gè)自行車棚，從側(cè)面看，棚頂?shù)闹螚U可看成AB?．已知AB?所在圓為⊙O，且∠AOB=45°A．5π8m B．25π8m4．如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊使AB?經(jīng)過圓心O，過點(diǎn)O作直徑CD⊥AB于點(diǎn)E，AB=6，連接AD，則A．3π3 B．23π3 5．“太湖之星”摩天輪是世界第二大水上摩天輪，其示意圖如圖所示，該摩天輪高115m（即最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離），圓心O到MN的距離為65m，摩天輪迅速旋轉(zhuǎn)一圈用時(shí)20min．某轎廂從點(diǎn)A出發(fā)，8min后到達(dá)點(diǎn)A．8π B．20π C．40π6．如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)，若AC?BCA．23π B．6π C．247．如圖，已知扇形OAB，在其內(nèi)部作一個(gè)菱形ODCE，其中點(diǎn)D、E分別在OA、OB上，點(diǎn)C在AB上．若OA=2，∠AOB=60°A．π3?33 B．π3?二、填空題8．如圖，在△ABC中，∠A=80°，半徑為2cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OC9．如圖，已知AB?，CD?的弧長之差為4π，∠AOB=120°10．將任意半徑為r的圓按如圖所示的方式折疊得到一個(gè)月牙形，若折痕到圓心的距離d=1211．如圖，點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，直徑AB=4，∠ABC12．如圖，線段AB=BC=CD=3，AB∥CD，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，當(dāng)⊙O三、解答題13．如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，求此扇形的面積是多少？14．如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，AD=6，15．如圖，△OAB中，OA=OB，⊙O與AB相切于點(diǎn)C，與OA交于點(diǎn)E，與AO的延長線交于點(diǎn)D，連接(1)判斷BD與⊙O(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π16．綜合與探究如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，△ABC為等邊三角形，AD=1(1)求證：∠ADB(2)①尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B作BM∥CD，交DA的延長線于點(diǎn)②求證：MA=(3)求BC的長．參考答案1．A【分析】本題考查了扇形的面積公式．根據(jù)扇形的面積公式nπr【詳解】解：∵一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是3，∴這個(gè)扇形的面積是120°×3故選：A．2．B【分析】本題考查弧長的計(jì)算，先利用直徑AB、CD互相垂直，得出∠AOC【詳解】解：∵直徑AB、CD互相垂直，∴∠AOC∴AC的長為90π故選：B．3．C【分析】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，掌握弧長公式l=nπr180（其中n直接運(yùn)用弧長公式求得AB?【詳解】解：∵∠AOB=45°，∴AB=45×π故選C．4．D【分析】本題主要考查垂徑定理與勾股定理，弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，合理作圖是關(guān)鍵．如圖所示，連接OA,AC，根據(jù)折疊，垂徑定理，勾股定理，可證△AOC是等邊三角形，∠【詳解】解：如圖所示，連接OA,∴OA=由折疊可得OE=EC=∵CD⊥∴AE=BE=在Rt△AOE中，設(shè)OE=x，則∴2x解得，x=∴OE=∴△AOC∴∠AOC=60°，則∴AD?的長為=故選：D．5．C【分析】本題主要考查了弧長計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．先求出摩天輪半徑，再求出∠AOB【詳解】解：∵最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離為115m，圓心O到MN的距離為65∴摩天輪的半徑為115?65=50m∵摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時(shí)20min，轎廂從點(diǎn)A出發(fā)，8min后到達(dá)點(diǎn)B∴∠AOB∴該轎廂所經(jīng)過的路徑長度為：144π故選：C．6．D【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，連接OA、OC、OD、OB，過點(diǎn)O作【詳解】解：連接OA、OC、OD、∴AE=∴AE?CE∴AD由圓環(huán)的面積公式可得：S=========12π故選：D．7．C【分析】本題考查了扇形面積與菱形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用菱形性質(zhì)確定角度，結(jié)合三角函數(shù)求高，通過“陰影面積=扇形面積?菱形面積”計(jì)算．連接OC，由菱形性質(zhì)得∠BOC=30°；過C作CH⊥OB，用含【詳解】解：連接OC，過C作CH⊥OB于∵四邊形ODCE是菱形，∠AOB∴OD=DC=又OC=∴CH=由OD∥CE得∠CEH∴EH=12即CE2?12∴菱形ODCE的面積=OE扇形OAB的面積=6∴陰影面積=2故選：C．8．13【分析】本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，扇形面積；根據(jù)題意先求得∠BOC【詳解】解：∵⊙O是△∴OB,OC∴∠∵∠∴∠∴∠BOC=180°?∴圖中陰影部分的面積是130故答案為：1399．12+24【分析】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握弧長公式．由弧長公式可得120π?OA【詳解】解：根據(jù)題意得：120π∴OA?∴AC=∵OC=15∴CD?的弧長=∴AB?的弧長=10∴陰影部分的周長AC+BD+CD?故答案為：12+24π10．2【分析】記圓心為O，弦為DC，作OB⊥DC于點(diǎn)B，連接OC，OD，利用勾股定理推出BC，進(jìn)而利用垂徑定理得到DC，再根據(jù)解直角三角形，推出【詳解】解：記圓心為O，弦為DC，作OB⊥DC于點(diǎn)B，連接OC，∴DC=2由題意知，OC=r，∴BC=∴DC∵cos∴∠BOC同理可得∠BOD∴∠DOC∴弓形面積為：120π結(jié)合折疊性質(zhì)可知，月牙形面積為πr則月牙形與原圓面積之比為πr故答案為：2π【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)．11．π3/【分析】本題考查了圓周角定理和扇形面積公式；解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理將已知的圓周角∠ABC轉(zhuǎn)換為圓心角∠AOC，再代入扇形面積公式計(jì)算；先根據(jù)CA為公共弧，得【詳解】解：∵CA為公共弧，直徑AB=4，∠∴∠COA=2∠ABC∴S故答案為π312．9+【分析】根據(jù)題意，得出圓心O的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再結(jié)合弧長公式，分別求了各部分的長，再相加即可．【詳解】解：如圖所示，圖中的圓與AB、BC、CD都相切，連接結(jié)相關(guān)線段，圖中的圓都是等圓，∴∠=∠CMHOA=∴OA∥BE，BF∥∴四邊形OABE是矩形，四邊形BNHF是矩形，四邊形HMDG是矩形，∠EBF∴OE=AB，F(xiàn)H=∵AB=3，∠∴HM=∴EF的長為60∵AB∥∴∠BCD∵NC、CM是⊙H∴NC=在Rt△HNC與NC∴Rt△∴∠HCN=∠HCM在Rt△∵∠HCN∴∠CHN∴HC=2∵HN=1，C∴CN∴CN=∴MC=∴BN=DM=∴FH+∴圓心O經(jīng)過的路徑長是：OE+故答案為：9+1【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長，切線的性質(zhì)定理，應(yīng)用切線長定理求解，求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟知弧長的計(jì)算公式．13．2【分析】本題考查的是圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖，連接AB，證明AB為圓的直徑，再利用勾股定理求解AC，再利用扇形面積公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接AB，∵∠ACB∴AB為圓的直徑，AB∴A∴AC∴S=14．弦AC所對的劣弧的長為3π2，弦AC【分析】本題主要考查了求弧長，圓周角定理；連接OC，CD，可證明∠ADC=∠CAD，由直徑所對的圓周角是直角得到∠【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵AC=∴∠ABC∵∠ABC∴∠ADC∵AD是⊙O∴∠ACD∴∠ADC∴∠AOC∵AD=6∴OA=∴弦AC所對的劣弧的長為90π×3180=315．(1)相切，理由見解析(2)2【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)得出OD⊥（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得∠OBC=∠OBD，結(jié)合等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)可求出∠A=30°，∠AOC=60°【詳解】（1）證明：BD是⊙O如圖所示，連接OC，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴∠OCB在△OBC和△OC=∴△OBC∴∠ODB=∠OCB∵OD是⊙∴BD是⊙（2）解：∵△OBC∴∠OBC∵OA∴∠A∴∠A∵∠ODB∴∠A+∠OBC∴∠A∵∠OCB∴∠AOC=60°，∴AC∴==2316．(1)證明見解析(2)①作圖見解析②證明見解析(3)2【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、尺規(guī)作圖、勾股定理、垂徑定理；解題的關(guān)鍵是利用等邊三角形和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)角度關(guān)系，通過角度相等證明三角形全等，進(jìn)而找到邊的關(guān)系．（1）利用等邊三角形性質(zhì)得弧相等，再根據(jù)圓周角定理證明角相等；（2）①尺規(guī)作圖過點(diǎn)作平行線，利用全等三角形對應(yīng)角相等，以及內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的原理進(jìn)行作圖；②先通過平行線和圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)推導(dǎo)角度，證明△DCB（3）根據(jù)（2）得出的全等，證明△MDB為等邊三角形，求出BD長度，過點(diǎn)C作CK⊥BD于K，利用60°和30°，以及勾股定理，求出BC的長度，過點(diǎn)O作OG【詳解】（1）∵△ABC∴AB∴AB∴∠（2）①解：尺規(guī)作圖如下：步驟一：以點(diǎn)C為圓心，任意長為半徑作圓弧，交直線CD于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CB）于點(diǎn)F；步驟二：以點(diǎn)B為圓心，以相同的長為半徑作圓弧，交射線BC于點(diǎn)G（使得BG=CF，即點(diǎn)G在射線BC上且步驟三：以點(diǎn)G為圓心，以線段EF的長為半徑作圓弧，交步驟三中所作的圓弧于點(diǎn)H（取與點(diǎn)E位于直線BC相反側(cè)的交點(diǎn)）；步驟四：過點(diǎn)B和點(diǎn)H作直線，則直線BH即