湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級上冊第5章

直角三角形5.2.1勾股定理一般三角形1.三角形內(nèi)角和為180?.

2.兩邊之和大于第三邊，

兩邊之差小于第三邊.

直角三角形1.三角形內(nèi)角和為180?.

2.兩邊之和大于第三邊，

兩邊之差小于第三邊.

3.斜邊中線等于斜邊一半.

4.兩銳角互余.知識回顧#5.2.1勾股定理（七年級數(shù)學(xué)課件）##幻燈片1：封面-標題：5.2.1勾股定理-副標題：七年級數(shù)學(xué)（下冊/上冊，根據(jù)教材版本調(diào)整）-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：目錄1.情境導(dǎo)入：直角三角形的三邊關(guān)系之謎2.探究活動：直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系3.勾股定理的內(nèi)容與符號表示4.勾股定理的推理證明（經(jīng)典方法）5.勾股定理的基礎(chǔ)應(yīng)用（已知兩邊求第三邊）6.勾股定理的實際應(yīng)用（生活場景）7.易錯點辨析8.課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題+提升題）9.課堂小結(jié)10.作業(yè)布置##幻燈片3：情境導(dǎo)入——古代文明與數(shù)學(xué)之謎-圖片展示：-古埃及金字塔的正方形底座（邊長與斜高的關(guān)系）-中國古代“趙爽弦圖”郵票-直角三角形門框、梯子靠墻形成的直角三角形-情境提問：1.古埃及人建造金字塔時，如何確保底座的角是直角？（用12根等長繩子圍成3-4-5的三角形，其中最長邊所對的角為直角）2.梯子靠在墻上，梯子長度、地面距離墻的長度、墻的高度之間有什么關(guān)系？-引出課題：直角三角形的三邊之間存在著特殊的數(shù)量關(guān)系，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的——勾股定理，它是幾何中最著名的定理之一，承載著古今中外數(shù)學(xué)家的智慧。##幻燈片4：探究活動——直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系###探究目標：發(fā)現(xiàn)直角三角形兩直角邊的平方和與斜邊的平方之間的關(guān)系。###探究材料：方格紙（邊長為1的小正方形）、直尺、鉛筆、直角三角形紙片（3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm等）。###探究步驟：1.方格紙測量法：-在方格紙上畫Rt△ABC，∠C=90°，兩直角邊AC=3，BC=4（每格邊長為1）；-分別以AC、BC、AB為邊長作正方形，計算三個正方形的面積（小正方形個數(shù)）：-S?（AC為邊）=3×3=9；-S?（BC為邊）=4×4=16；-S?（AB為邊）=25（用“割補法”：將斜邊正方形分割為4個直角三角形和1個小正方形，面積=4×(3×4÷2)+1=25）；-觀察規(guī)律：S?+S?=9+16=25=S?。2.更換數(shù)據(jù)驗證：-畫Rt△DEF，∠D=90°，DE=5，DF=12，計算正方形面積：-S?=52=25，S?=122=144，S?=132=169，驗證25+144=169；-用直角三角形紙片測量邊長，計算平方和，觀察是否滿足“兩直角邊平方和=斜邊平方”。###探究結(jié)論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。##幻燈片5：勾股定理的內(nèi)容與符號表示###定理內(nèi)容：**直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方**。###相關(guān)概念（圖文標注）：-勾：直角三角形中較短的直角邊（如AC）；-股：直角三角形中較長的直角邊（如BC）；-弦：直角三角形的斜邊（如AB）。-文字簡述：“勾三股四弦五”（特指3-4-5型直角三角形）。###符號表示：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則：$$a^2+b^2=c^2$$-變形公式（已知兩邊求第三邊）：-斜邊：$c=\sqrt{a^2+b^2}$（$c>0$）；-直角邊：$a=\sqrt{c^2-b^2}$（$a>0$），$b=\sqrt{c^2-a^2}$（$b>0$）。##幻燈片6：勾股定理的推理證明——趙爽弦圖法（中國古代經(jīng)典證明）###已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。###求證：$a^2+b^2=c^2$。###證明過程（圖文結(jié)合）：1.構(gòu)造圖形：-以Rt△ABC的三邊為邊長，分別向外作正方形，得到邊長為a的正方形BCDE、邊長為b的正方形ACFG、邊長為c的正方形ABHI；-將正方形ABHI內(nèi)部作4個與Rt△ABC全等的直角三角形，頂點在正方形內(nèi)部交于一點，形成中間的小正方形（邊長為$b-a$）。2.面積法推導(dǎo)：-正方形ABHI的面積（兩種表示方法）：

①

直接表示：$S=c^2$；

②

間接表示：4個直角三角形面積+中間小正方形面積：$S=4×(\frac{1}{2}ab)+(b-a)^2$；-等式成立：$c^2=4×(\frac{1}{2}ab)+(b-a)^2$；-化簡右邊：$2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2$；-故：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得證。###補充證明：美國總統(tǒng)伽菲爾德國證法（簡潔易懂）-構(gòu)造直角梯形：以a、b為上底和下底，a+b為高，內(nèi)部包含兩個全等直角三角形和一個等腰直角三角形；-梯形面積=三個三角形面積之和，化簡后可得$a^2+b^2=c^2$。##幻燈片7：例題解析1——基礎(chǔ)應(yīng)用（已知兩直角邊求斜邊）-例題1：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求斜邊AB的長度。-解題思路：

直接套用勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入數(shù)據(jù)計算斜邊。-解答過程：∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知），∴$AC^2+BC^2=AB^2$（勾股定理）。∵AC=6cm，BC=8cm（已知），∴$AB^2=6^2+8^2=36+64=100$?！逜B>0（邊長為正），∴$AB=\sqrt{100}=10$cm。

答：斜邊AB的長度為10cm。##幻燈片8：例題解析2——基礎(chǔ)應(yīng)用（已知斜邊和一直角邊求另一直角邊）-例題2：

如圖，在Rt△DEF中，∠D=90°，斜邊EF=13cm，直角邊DE=5cm，求DF的長度。-解題思路：

用勾股定理變形公式$b=\sqrt{c^2-a^2}$計算另一直角邊。-解答過程：∵在Rt△DEF中，∠D=90°（已知），∴$DE^2+DF^2=EF^2$（勾股定理）。

變形得：$DF^2=EF^2-DE^2$?！逧F=13cm，DE=5cm（已知），∴$DF^2=13^2-5^2=169-25=144$?！逥F>0，∴$DF=\sqrt{144}=12$cm。

答：DF的長度為12cm。##幻燈片9：例題解析3——實際應(yīng)用（梯子靠墻問題）-例題3：

一架梯子靠在墻上，梯子頂端到地面的高度為4m，梯子底部到墻的距離為3m，求梯子的長度。-解題思路：

梯子、墻、地面構(gòu)成直角三角形，梯子為斜邊，套用勾股定理求解。-解答過程：

設(shè)梯子長度為xm，∵梯子頂端到地面的高度（4m）、底部到墻的距離（3m）為直角邊，梯子為斜邊，∴$3^2+4^2=x^2$（勾股定理）。

解得：$x^2=9+16=25$，$x=5$（x>0）。

答：梯子的長度為5m。##幻燈片10：例題解析4——實際應(yīng)用（折疊問題）-例題4：

如圖，將長方形ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE與CD交于點F，已知AB=8cm，BC=6cm，求CF的長度。-解題思路：

折疊后△ABC≌△AEC，得AE=AB=8cm，CE=BC=6cm，設(shè)CF=xcm，用勾股定理列方程求解。-解答過程：

設(shè)CF=xcm，則DF=CD-CF=8-xcm（AB=CD=8cm）?！哒郫B后△ABC≌△AEC，∴∠EAC=∠BAC。∵長方形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∴∠EAC=∠DCA，∴CF=AF=xcm（等角對等邊）。

在Rt△ADF中，∠D=90°，AD=BC=6cm，∴$AD^2+DF^2=AF^2$（勾股定理）。

代入得：$6^2+(8-x)^2=x^2$，

化簡：$36+64-16x+x^2=x^2$，

解得：$16x=100$，$x=6.25$。

答：CF的長度為6.25cm（或$\frac{25}{4}$cm）。##幻燈片11：易錯點辨析-易錯點1：忽略“直角三角形”前提（誤用于銳角三角形或鈍角三角形）；-糾正：勾股定理僅適用于直角三角形，非直角三角形的三邊不滿足$a^2+b^2=c^2$。-易錯點2：混淆“直角邊”和“斜邊”（把斜邊當作直角邊代入公式）；-糾正：先明確直角三角形的直角，找出斜邊（最長的邊），再代入公式，避免出現(xiàn)“$c^2+a^2=b^2$”的錯誤。-易錯點3：計算時忘記開平方（如求出$c^2=25$，直接寫$c=25$）；-糾正：勾股定理求邊長時，需對平方和（或平方差）開平方，注意邊長為正數(shù)。-易錯點4：單位不統(tǒng)一（如一邊為3cm，另一邊為4m，直接代入計算）；-糾正：先統(tǒng)一單位（如將4m化為400cm），再進行計算。##幻燈片12：課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題）1.填空：

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，則c=______；

（2）在Rt△DEF中，∠E=90°，c=10，a=6，則b=______；

（3）直角三角形的兩直角邊分別為3cm和4cm，斜邊長為______cm。

（答案：（1）13；（2）8；（3）5）2.選擇：

下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A.2，3，4B.3，4，6C.5，12，13D.4，5，6

（答案：C，52+122=132）##幻燈片13：課堂練習(xí)（提升題）1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，AC=20cm，求△ABC的面積。

（解答：先求BC：$BC^2=25^2-20^2=625-400=225$，BC=15cm；面積=$\frac{1}{2}×20×15=150$cm2）2.如圖，一艘輪船從A港出發(fā)，向東北方向行駛了10√2km到達B港，再向東南方向行駛了10km到達C港，求A港到C港的直線距離。

（解答：東北方向與東南方向垂直，AB=10√2km，BC=10km，Rt△ABC中，AC2=(10√2)2+102=200+100=300，AC=10√3km）##幻燈片14：課堂小結(jié)-本節(jié)課重點內(nèi)容回顧：1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（$a^2+b^2=c^2$）；2.核心應(yīng)用：-已知兩直角邊求斜邊：$c=\sqrt{a^2+b^2}$；-已知斜邊和一直角邊求另一直角邊：$a=\sqrt{c^2-b^2}$；-解決實際問題：梯子靠墻、折疊、航行等（先構(gòu)造直角三角形，再套用定理）；3.關(guān)鍵提醒：-必須在直角三角形中應(yīng)用；-明確直角邊和斜邊，避免代入錯誤；-計算時注意單位統(tǒng)一和開平方。##幻燈片15：作業(yè)布置1.基礎(chǔ)作業(yè)：-教材習(xí)題XX頁第1、2、3題；-計算下列直角三角形的未知邊長度：

①∠C=90°，a=7，b=24，求c；

②∠B=90°，c=10，a=6，求b。2.提升作業(yè)：-如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求CD的長度（提示：用面積法，△ABC面積=$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AB×CD$）；-思考：如果一個三角形的三邊滿足$a^2+b^2=c^2$，這個三角形是直角三角形嗎？（為下節(jié)課“勾股定理的逆定理”鋪墊）相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.課堂導(dǎo)入請你觀察一下地面的圖案，從中發(fā)現(xiàn)了什么？思考1

圖中三個正方形的面積有什么關(guān)系？

知識點：勾股定理的認識與證明新知探究兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.S1=S2+S3你是如何得到呢？思考2等腰直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.c2=a2+b2abc你能說一下思路嗎？探究等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

如圖，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A'

，B'

，C'

的面積，看看能得出什么結(jié)論？ABCA'

B'

C'

面積/格434259139你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？我發(fā)現(xiàn)SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'

命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.通過上面的思考和探究，我們可以猜想：是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？這就需要我們對一般的直角三角形進行證明．有哪些證明方法呢？證法一：趙爽弦圖

bbaaccab邊長分別為a，b的兩個正方形分割成四個直角三角形和一個小正方形.四個直角三角形和一個小正方形拼接成邊長為c的大正方形.bbaacacb如圖，左邊圖形的面積=

a2+b2，右邊圖形的面積=c2.∵右邊圖形由左邊圖形拼接而成，∴得到a2+b2=c2.證法二：加菲爾德總統(tǒng)拼圖bbaacc┐┌┌

∴a2+b2=c2.證法三：畢達哥拉斯拼圖bbbbaaaaccccbbbbaabaacc分別計算左右兩個正方形的面積，你能得出什么結(jié)論？bbbbaaaaccccbbbbaabaacc

證法四：劉徽“青朱出入圖”

abc青出青出青入青入朱入朱出青方朱方BCAa（勾）c（弦）b（股）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.BCAa（