專題1.1集合【清單01】集合與元素1.含義：一般地，我們把所研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【清單02】集合中元素的特征（1）確定性（2）互異性（3）無(wú)序性（4）廣泛性【清單03集合的表示法1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.2.描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.3.區(qū)間法：（1）一般區(qū)間的表示．設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間__[a，b]__{x|a＜x＜b}開(kāi)區(qū)間__(a，b)__{x|a≤x＜b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b]（2）特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(hào)(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.【清單04】集合的分類①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0個(gè)元素，故空集是有限集.【清單05】集合間的基本關(guān)系1.子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA2.?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.【清單06】集合的基本運(yùn)算1.交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），補(bǔ)集（1）（2）2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B．【清單07】常用數(shù)集及其關(guān)系表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.【考點(diǎn)題型一】集合的基本概念【例1】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列命題中正確的（

）A．與表示同一個(gè)集合；B．方程的所有解的集合可表示為；C．由3，4，5組成的集合可表示為或；D．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合、判斷是否為同一集合、集合元素互異性的應(yīng)用【分析】利用集合的概念和集合的表示法判斷即可.【詳解】對(duì)于A，中有一個(gè)元素0，中無(wú)任何元素，故與不是同一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)集合的無(wú)序性，可得由3，4，5組成的集合可表示為或，故C正確；對(duì)于D，由集合的確定性，很小的實(shí)數(shù)不能構(gòu)成集合，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的解集可能是（

）A．空集 B．單元素集合 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)條件，得到，再結(jié)合選項(xiàng)分析判斷，即可求解.【詳解】由，得到，解得，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，或，所以選項(xiàng)C正確，由，得到，但，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.【變式1-2】（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)（共5個(gè)）組成一個(gè)集合B．朝陽(yáng)中學(xué)年齡較小的學(xué)生組成一個(gè)集合C．與是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5組成的集合有六個(gè)元素【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合元素的確定性、互異性和無(wú)序性判斷即可.【詳解】對(duì)于A，聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)共5個(gè)，即：中國(guó)，美國(guó)，俄國(guó)，英國(guó)，法國(guó)，可以組成集合，故A正確；對(duì)于B，“年齡較小”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，無(wú)法確定集合的元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，集合的元素滿足無(wú)序性，與是相同集合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，集合的元素滿足互異性，由1，0，5，1，2，5可組成的集合，且有4個(gè)元素，故D錯(cuò)誤.故選：A【變式1-3】（多選）（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列說(shuō)法正確的有（

）A．某校高一年級(jí)視力差的學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合B．集合與集合是相同的集合C．由，，，，這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素D．在平面直角坐標(biāo)系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限內(nèi)所有的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，可以表示成集合【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合、判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】A選項(xiàng)：集合中元素需要具備確定性，而視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定；B選項(xiàng)：點(diǎn)集和數(shù)集無(wú)法相等；C選項(xiàng)：集合中相同的元素算做1個(gè)；D選項(xiàng)：可以判斷出和異號(hào).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以某校高一年級(jí)視力差的學(xué)生不能構(gòu)成集合，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，其中集合是數(shù)集，集合是點(diǎn)集，所以集合與集合不是同一集合，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋杉现性氐幕ギ愋灾@些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榈诙虻谒南笙迌?nèi)的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)異號(hào)，即，所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限內(nèi)所有的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，可以表示成集合，故選D正確，故選：CD.【變式1-4】（多選）（24-25高一上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的有（

）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是B．由1，2，3組成的集合可表示為或C．方程的解集是D．若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是等腰三角形【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合、列舉法表示集合、集合元素互異性的應(yīng)用【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，和無(wú)序性，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A：不是質(zhì)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：根據(jù)集合的無(wú)序性可知，故B正確；對(duì)C：根據(jù)集合的互異性可知方程的解集是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：根據(jù)集合的互異性可知兩兩不相等，故一定不是等腰三角形，故D正確.故選：BD.【考點(diǎn)題型二】元素與集合【例2】（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A． B．C． D．不屬于M，Q，P中的任意一個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)條件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案．【詳解】∵，∴，，∴，∴.故選：A.【變式2-1】（24-25高一上·海南儋州·階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（）①，②，③，④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系直接判斷①②③，根據(jù)的適用情況判斷④.【詳解】①是實(shí)數(shù)，故正確；②不是有理數(shù)，故正確；③，是自然數(shù)，故正確；④只能用于元素與集合之間的關(guān)系，故錯(cuò)誤；所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C.【變式2-2】（24-25高一上·天津東麗·期中）下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.【詳解】A，2是自然數(shù)，故A正確；B，是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；C，0是自然數(shù)，故C錯(cuò)誤；D，是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A【變式2-3】（24-25高一上·天津南開(kāi)·期中）給出下列關(guān)系：①；②；③；④；⑤.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】依次判斷出各數(shù)所屬于的數(shù)域范圍，再利用元素與集合的關(guān)系判定即可.【詳解】對(duì)于命題①，，所以命題①錯(cuò)誤，對(duì)于命題②，，所以命題②錯(cuò)誤，對(duì)于命題③，因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，，所以命題③錯(cuò)誤，對(duì)于命題④，因?yàn)?，所以命題④正確，對(duì)于命題⑤，因?yàn)槭菬o(wú)限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，即，所以命題⑤正確，故選：C.【變式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，則1與集合的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】代入判斷不屬于，從而得到不包含于，然后分別考查四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，這也意味著，從而只有選項(xiàng)A正確.故選：A.【考點(diǎn)題型三】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【例3】（24-25高一上·山東·期中）設(shè)集合，，已知且，則a的取值集合為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】利用元素與集合的關(guān)系，分類討論與兩種情況，結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且，若，解得或，?dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，舍去；若，，解得或，前面已經(jīng)分析不滿足要求，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)集合，，滿足集合元素的性質(zhì)，綜上，，所以的取值集合為.故答案為：.【變式3-1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)列方程，利用集合中元素的互異性確定的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故舍去；當(dāng)時(shí)，解得或（舍），此時(shí)，符合題意．故選：B.【變式3-2】（24-25高一上·重慶渝北·期中）已知集合，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)集合與元素的包含關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，解得，故選：D【變式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】由，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【變式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】由已知集合的元素，分類討論求參數(shù)值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定的值.【詳解】若，則，此時(shí)集合違背互異性，不符合要求；若，則，此時(shí)，符合要求；若，則，此時(shí)集合違背互異性，不符合要求；綜上所述，.故答案為：.【考點(diǎn)題型四】子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合滿足，則符合條件的集合有個(gè).【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】由子集及真子集的概念，可轉(zhuǎn)化為求集合真子集的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以中含有元素，故符合條件的集合個(gè)數(shù)相當(dāng)于求集合的真子集個(gè)數(shù)，故有個(gè)，故答案為：7【變式4-1】（24-25高一上·廣西北海·期中）已知集合滿足，則不同的的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】列舉出滿足要求的集合，得到答案.【詳解】由可得，，故不同的的個(gè)數(shù)為.故選：C【變式4-2】（24-25高一上·山東泰安·期中）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】先根據(jù)題意求出集合，然后利用公式可求出其子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B【變式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的個(gè)數(shù)為.【答案】14【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)集合的子集（真子集）個(gè)數(shù)的結(jié)論求解．【詳解】，有4個(gè)元素，則它的非空真子集的個(gè)數(shù)為，故答案為：14．【變式4-4】（24-25高一上·廣東佛山·期中）集合的子集個(gè)數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】先求出集合，然后由集合中元素的個(gè)數(shù)求解子集的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，則的子集個(gè)數(shù)為．故答案為：【考點(diǎn)題型五】包含關(guān)系的判斷【例5】（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）已知集合，，，則M，N，P的關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】將集合化為與相同的形式，即可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】由，又，，而為偶數(shù)，和為整數(shù)，所以.故選：B.【變式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】ABC選項(xiàng)，由數(shù)集字母表示及元素，集合與幾何關(guān)系可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由集合相等定義可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，為無(wú)理數(shù)，為有理數(shù)集，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，為整數(shù)，則，故B正確；C選項(xiàng)，為自然數(shù)，不是正整數(shù)，則不為正整數(shù)集的子集，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式5-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合，，則集合M與N的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】解方程確定集合，然后由子集、真子集的定義判斷．【詳解】解方程，得或，則，因?yàn)榍遥?，所以．又因?yàn)榈?，所以．故選：C．【變式5-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合，，則與之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：D.【變式5-4】（24-25高一上·重慶·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷A、B；根據(jù)集合的性質(zhì)判斷C；根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷D；【詳解】A選項(xiàng)，不是整數(shù)，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，是無(wú)理數(shù)，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，集合元素的無(wú)序性，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，是點(diǎn)集，是數(shù)集，兩者沒(méi)有包含關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：C【考點(diǎn)題型六】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例6】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，且，求m的取值范圍．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】分和兩種情況，得到不等式，求出答案.【詳解】，，，①時(shí)，，解得，②時(shí)，或，解得：綜上，或.所以m的取值范圍是.【變式6-1】（24-25高三上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則（

）A．3 B．1 C．0 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】依題意可得，則或，求出的值，再代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，則或，解得或或，當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，集合不滿足元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，不滿足，故舍去；同理，則則或，即或或，由以上分析可知符合題意，不符合題意，時(shí)，，，不符合題意；綜上可得.故選：C【變式6-2】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知為常數(shù)，集合，集合，且，則的所有取值構(gòu)成的集合元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】先求出集合，由，分與討論，分別求解的值即可.【詳解】集合，化簡(jiǎn)求值可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合無(wú)解，即當(dāng)時(shí)，時(shí)，即解之得，，即解之可得，所以根據(jù)集合元素的性質(zhì)可得元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【變式6-3】（多選）（24-25高一上·河北保定·期中）設(shè)集合，，且，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】求出，分，和三種情況，得到實(shí)數(shù)a的值.【詳解】，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，或2或.故選：ACD【變式6-4】（24-25高一上·廣東湛江·期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，利用數(shù)軸分析，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以利用?shù)軸分析法，可知..故答案為：.【考點(diǎn)題型七】集合的相等【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】根據(jù)結(jié)合的包含的定義和集合相等的定義判斷的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】任取，則，，所以，所以，任取，則，，所以，所以，所以，任取，則，，所以，所以，又，，所以，所以，故選：C.【變式7-1】（24-25高一上·安徽阜陽(yáng)·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】根據(jù)集合相等的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，；對(duì)于B選項(xiàng)，；對(duì)于C選項(xiàng)，為點(diǎn)集，為數(shù)集，則；對(duì)于D選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則.故選：B.【變式7-2】（多選）（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．集合中有兩個(gè)元素B．集合中沒(méi)有元素C．D．與是不同的集合【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否為同一集合、判斷元素與集合的關(guān)系、列舉法表示集合【分析】利用集合的元素個(gè)數(shù)判斷AB；利用元素與集合的關(guān)系判斷B；利用集合的元素特性判斷D.【詳解】對(duì)于A，，該集合中有兩個(gè)元素，A正確；對(duì)于B，集合中有一個(gè)元素0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由集合中元素的無(wú)序性，知與是相同的集合，D錯(cuò)誤.故答案為：BCD【變式7-3】（多選）（24-25高一上·貴州·階段練習(xí)）下列關(guān)于集合的說(shuō)法不正確的有（

）A．B．任何集合都是它自身的真子集C．若（其中），則D．集合與是同一個(gè)集合【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合是否相等、根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)、空集的概念以及判斷、子集的概念【分析】根據(jù)集合的定義，真子集的定義，集合相等的定義判斷各選項(xiàng)．【詳解】中含有一個(gè)元素，不是空集，A錯(cuò)；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B錯(cuò)；由集合相等的定義得，，C正確；集合中元素是實(shí)數(shù)，集合中元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，不是同一集合，D錯(cuò)，故選：ABD．【變式7-4】（多選）（24-25高一上·廣東陽(yáng)江·期中）下列各組中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.【詳解】A選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則兩集合不同，故A正確；B選項(xiàng)，為點(diǎn)集，為數(shù)集，則兩集合不同，故B正確；C選項(xiàng)，為數(shù)集，表示射線上的點(diǎn)，則兩集合不同，故C正確；D選項(xiàng)，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【考點(diǎn)題型八】根據(jù)集合相等求參數(shù)【例8】（24-25高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知，，若集合，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】由集合相等與集合中元素的互異性求出參數(shù)的值，進(jìn)而求出即可.【詳解】，，，，即，，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，當(dāng)時(shí)，，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，綜上，，，，故選：B.【變式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，則等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)集合相等即元素相同解出，再根據(jù)集合元素互異性求出值.【詳解】由有，解得或3，當(dāng)時(shí)，與集合元素的互異性矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故選：C.【變式8-2】（24-25高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)、集合元素互異性的應(yīng)用【分析】由已知結(jié)合集合相等的條件及集合元素的互異性即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，若，則或，解得或，當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去，故，，符合題意，此時(shí).故選：A.【變式8-3】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C．1或3 D．3【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】利用集合相等求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，且，所以，解得，故選：D【變式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)方程的解是任意實(shí)數(shù)，即可得求解.【詳解】，即關(guān)于的方程的解是任意實(shí)數(shù)，則所以所以.故選：B.【考點(diǎn)題型九】集合的基本運(yùn)算【例9】（24-25高一上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知全集，，，或求(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)集合并集的概念進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)集合交集的概念進(jìn)行計(jì)算即可.（3）根據(jù)集合補(bǔ)集的概念進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1），.（2），.（3）或x>2，或【變式9-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】利用交集概念進(jìn)行求解.【詳解】由題得，且，故．故選：B【變式9-2】（24-25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡(jiǎn)，即可得到兩集合的關(guān)系.【詳解】因?yàn)榧?，令，則，令，則，所以或，且，所以.故選：C【變式9-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】根據(jù)補(bǔ)集與并集的概念求解即可．【詳解】由題知，則，故．故選：D．【變式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】求出全集，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)槿?，，則，，所以，.故選：B.【考點(diǎn)題型十】根據(jù)集合的運(yùn)算求參數(shù)【例10】（24-25高一上·廣西北?！て谥校┮阎希?(1)若，求，.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)不存在，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】（1）根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集概念得到答案；（2）根據(jù)條件得到，從而得到方程組，方程組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)，使得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，由，得，則.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，由，得，則，方程組無(wú)解，從而假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)，使得.【變式10-1】（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）已知集合.若則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交并補(bǔ)混合運(yùn)算、根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)【分析】已知，這意味著集合與集合在中的補(bǔ)集沒(méi)有交集，那么集合是集合的子集.接下來(lái)通過(guò)分析集合的邊界與集合邊界的關(guān)系來(lái)確定的取值范圍.【詳解】.因?yàn)?，所?由于，要滿足，當(dāng)，即，解得.當(dāng)，則有.解得：.綜上，m的取值范圍為.故選：A.【變式10-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知全集，集合，.(1)求和；(2)已知，寫出集合的所有非空子集.【答案】(1)，(2)答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求集合的子集（真子集）、交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】（1）求出集合，利用交集和并集的定義可求得集合和；（2）求出集合，利用子集的定義可得出集合的所有非空子集.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，.（2）因?yàn)槿?，，則，所以，集合的所有非空子集為：、、、、、、.【變式10-3】（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知集合．(1)求P，Q；(2)若，求m的取值范圍．【答案】(1)，．(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)交集，并集，補(bǔ)集的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)集合是否為空集分類討論，結(jié)合列不等式，求解即可.【詳解】（1）由題意得，由或，得，所以．．（2）當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，或，解得或．綜上，m的取值范圍為．【變式10-4】（24-25高一上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知集合，，且.(1)若，求實(shí)數(shù)組成的集合；(2)若，求，的值.【答案】(1)(2)；【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算確定集合或參數(shù)【分析】（1）求得集合，由分類討論可得值；（2）由得，，求得，再求得，從而得集合，最后可得值．【詳解】（1）若，可得，因?yàn)?，所以．?dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，．綜上，可得實(shí)數(shù)a組成的集合為．（2）因?yàn)?，，且，，所以，，所以，解得，解，得x=2或x=6，所以，所以，所以，解得．【考點(diǎn)題型十一】集合的應(yīng)用【例11】（24-25高一上·山東德州·階段練習(xí)）某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、化學(xué)講座，其中有人聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座，人聽(tīng)了歷史講座，人聽(tīng)了化學(xué)講座，記是聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生，是聽(tīng)了歷史講座的學(xué)生，是聽(tīng)了化學(xué)講座的學(xué)生.用來(lái)表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)，若，，，，則（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】集合的應(yīng)用、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】根據(jù)的定義，結(jié)合集合，，的元素個(gè)數(shù)可得解.【詳解】A選項(xiàng)：由已知，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.【變式11-1】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）學(xué)校統(tǒng)計(jì)某班30名學(xué)生參加音樂(lè)、科學(xué)、體育3個(gè)興趣小組的情況，已知每人至少參加了1個(gè)興趣小組，其中參加音樂(lè)、科學(xué)、體育小組的人數(shù)分別為19，19，18，只同時(shí)參加了音樂(lè)和科學(xué)小組的人數(shù)為4，只同時(shí)參加了音樂(lè)和體育小組的人數(shù)為2，只同時(shí)參加了科學(xué)和體育小組的人數(shù)為4，則同時(shí)參加了3個(gè)小組的人數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用Venn圖求集合、集合的應(yīng)用【分析】設(shè)同時(shí)參加了3個(gè)小組的人數(shù)為，然后結(jié)合題意用維恩圖求解即可；【詳解】如圖，設(shè)同時(shí)參加了3個(gè)小組的人數(shù)為x，則，解得，即同時(shí)參加了3個(gè)小組的人數(shù)為8．故選：D.【變式11-2】（24-25高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開(kāi)設(shè)了籃球社團(tuán)、AI社團(tuán)、圍棋社團(tuán)，高一某班學(xué)生共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加AI社團(tuán)，有14人參加圍棋社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三個(gè)社團(tuán)，只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為(

).A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】集合的應(yīng)用、容斥原理的應(yīng)用【分析】由題意，根據(jù)容斥原理，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】有15人參加籃球社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三個(gè)社團(tuán)，所以只參加籃球社團(tuán)的9人；設(shè)同時(shí)參加AI社團(tuán)和圍棋社團(tuán)有人，因?yàn)橛?人參加AI社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，所以只參加AI社團(tuán)的有人；又因?yàn)橛?4人參加圍棋社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，所以只參加圍棋社團(tuán)的有人.綜上所述，共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，所以，解得，故只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為人.故選：A.【變式11-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉行，為了辦好這一屆具有“中國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會(huì)，杭州某高校的40名同學(xué)報(bào)名參加足球、籃球、排球三個(gè)項(xiàng)目的志愿者服務(wù)活動(dòng)，且每名同學(xué)至多參加兩個(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目.已知參加足球、籃球、排球項(xiàng)目的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加足球和籃球項(xiàng)目的有6人，同時(shí)參加足球和排球項(xiàng)目的有4人，則同時(shí)參加籃球和排球項(xiàng)目的人數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】集合的應(yīng)用【分析】由題意畫出參加三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)圖形，列方程解出即可；【詳解】

如圖所示，設(shè)同時(shí)參加籃球和排球項(xiàng)目的人數(shù)為，則有，解得，故同時(shí)參加籃球和排球項(xiàng)目的人數(shù)為4．故選：B.【變式11-4】（24-25高一上·湖北荊州·階段練習(xí)）高一某班共有54人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理的有32人，選擇化學(xué)的有24人，選擇生物的有22人，其中選擇了物理和化學(xué)的有18人，選擇了化學(xué)和生物的有10人，選擇了物理和生物的有16人.那么班上選擇物理或者化學(xué)或者生物的學(xué)生最多有人.【答案】44【知識(shí)點(diǎn)】容斥原理的應(yīng)用、集合的應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，設(shè)學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合，結(jié)合Venn圖與容斥原理可知，當(dāng)取最大值時(shí)最大，驗(yàn)證即可得.【詳解】把學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合.由題意知，且，則，

由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即.驗(yàn)證：此時(shí)各區(qū)域人數(shù)如圖所示，滿足題意所有條件.

故班上選擇物理或者化學(xué)或者生物的學(xué)生最多有人.故答案為：.【考點(diǎn)題型十二】集合的“新定義”問(wèn)題【例12】（24-25高一上·江西贛州·期中）對(duì)非空數(shù)集及實(shí)數(shù)，定義，，已知．(1)當(dāng)時(shí)，若集合為單元素集，求；(2)當(dāng)時(shí)，若集合，求的所有取值構(gòu)成的集合；(3)若中有3個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)、根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)、集合元素互異性的應(yīng)用、集合新定義【分析】（1）代入，根據(jù)列出方程求解出的值，則結(jié)果可知；（2）代入，根據(jù)列出方程組，化簡(jiǎn)方程組結(jié)合韋達(dá)定理求解出結(jié)果；（3）根據(jù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合方程組解的情況進(jìn)行分類討論，由此求解出結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，設(shè)，由，得，所以，即，得或1，故或