3/3專題03不等式及其應用、基本不等式（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律3.1不等式的基本性質（對稱性、傳遞性、可加/乘性）能依據(jù)性質進行簡單的數(shù)值比較和不等式推導?；A題，乘負變號是必考點。3.2基本不等式的形式與推導能準確寫出基本不等式，理解其幾何意義。理解性考點，是應用的基礎。3.3“一正二定三相等”的運用條件能準確判斷給定問題是否滿足基本不等式的使用條件。高頻易錯點，是解題的第一步，常被忽略。3.4直接利用基本不等式求最值能對符合“積定”或“和定”條件的表達式直接應用公式求最值。最基礎的考查方式。3.5“配湊法”應用基本不等式能通過拆項、添項、湊系數(shù)等技巧，將表達式轉化為可用基本不等式的形式。期末解答題核心考法，是能力的區(qū)分點。3.6換元法（化繁為簡）當表達式復雜時，能通過代換簡化問題，轉化為基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式條件最值問題。3.7“1”的代換法（條件等式）當已知條件能巧妙地運用或變形“1”，可將目標式乘以“1”進行計算。高頻題型，技巧性強，是高分的關鍵。3.8分式型最值問題能處理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函數(shù)，通過分離常數(shù)、換元或基本不等式求最值。常見中檔題，分離常數(shù)是常用技巧。3.9二次使用基本不等式（連續(xù)放縮）能判斷在什么情況下需要兩次或多次使用基本不等式，并保證每次放縮的等號能同時成立。難度最高的題型之一，常用于證明或求復雜式子的最值，對邏輯嚴謹性要求高。3.10恒成立問題中求參數(shù)范圍（綜合應用）對于恒成立的問題，能將其轉化為求目標式的最小值或最大值，從而確定參數(shù)a的范圍。期末壓軸題常見模式，綜合性強，易錯點在于混淆“≥最大值”與“≤最小值”的邏輯關系。3.11基本不等式在實際問題（如面積、成本最優(yōu)化）中的應用能根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值。命題趨勢偏向應用，考查數(shù)學建模能力知識點01等式的性質性質1如果，那么；性質2如果，，那么；性質3如果，那么；性質4如果，那么；性質5如果，，那么；知識點02比較兩個實數(shù)大小兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質來定義的，有：；；另外，若，則有；；.知識點03不等式的性質性質別名性質內容1對稱性a>b?ba2傳遞性a>b,b>c?ac3可加性a>b?a+cb+c推論1：a+b>c?a>c?b；推論2：a>b,c>d?a+c>b+d4可乘性a>b,c>0?acbca>b,c<0?ac<bc；推論3：a>b>0,c>d>0?ac>bd；推論4：a>b>0?anbn（推論5：a>b>0?5取倒數(shù)a>b,ab>0?1a1知識點04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2說明：①對于非負數(shù)a,b，我們把a+b2稱為a,b的，ab稱為a,b②我們把不等式ab≤a+b③“當且僅當a=b時取‘=’號”這句話的含義是：一方面是當時，有ab=a+b2④結構特點：和式與積式的關系.知識點05利用基本不等式求最值①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值；②已知x，y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值．知識點06幾個重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a變形式：（a，b∈R）（當且僅當a=b時取等號）.（2）基本不等式：（a>0，b>0）（當且僅當a=b時取等號）.變形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，則ba+ab≥2知識點07基本不等式鏈拓展.m>n時，知識點08權方和不等式的二維形式若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握權方和不等式的初級應用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)知識點09糖水不等式定理若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;知識點10糖水不等式的倒數(shù)形式:設,則有:題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確解｜題｜技｜巧直接法：依據(jù)不等式基本性質（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性等），結合已知條件直接推導判斷。（2）特殊值法：選取滿足已知條件的特殊數(shù)值代入不等式，驗證是否成立。（3）作差（商）法：對不等式兩邊作差（商），結合已知條件判斷差（商）的正負，進而確定不等式是否成立（作商法需注意正負），部分復雜式子判斷可用此思路延伸?！镜淅?】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多選）已知，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2】（24-25高一上·安徽安慶·期末）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．題型二由不等式關系，求解不等式范圍解｜題｜技｜巧（1）直接運算：依據(jù)不等式基本性質，對已知不等式變形求解即可．（2）線性組合：若求多個式子線性組合的范圍，先將目標式表示為已知范圍式子的線性組合，再利用不等式性質，分別求各組合部分范圍后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·廣東汕尾·期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知實數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多選）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為題型三作差法比較式子大小關系【典例1】）若，，則（用“”、“”或“”填空）．【典例2】已知，且，則.（填中最恰當?shù)囊粋€）【變式1】已知，，設，，則與的大小關系為．【變式2】（用不等號“”或“”填空）題型四糖水不等式及其應用【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假設全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是（

）A． B．C． D．【變式1】克糖水中含有克糖，糖的質量與糖水的質量比為，這個質量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設全部溶解），生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：．(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．題型五直接用基本不等式求和或積的最值解｜題｜技｜巧（1）定條件：確認“一正（各項為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號能取到，即存在實數(shù)使等號成立）”.（2）選公式：和定求積最大，用；積定求和最小，用.（3）代計算：代入定值，結合等號成立條件（驗證是否滿足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）已知實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．5【典例2】（24-25高一上·陜西漢中·期末）若，且，則（

）A．有最小值為 B．有最大值為C．有最小值為 D．有最大值為【變式1】（24-25高一上·重慶·期末）已知都是正實數(shù)，若，則的最大值為.【變式3】（24-25高一上·河北秦皇島·期末）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3】（24-25高一上·廣東東莞·期末）（多選）若a，，且，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為6 B．的最小值為6C．a(chǎn)b的最大值為9 D．a(chǎn)b的最小值為9題型六巧用“1”或常數(shù)關系及拼湊法求最值（含權方和不等式的應用）解｜題｜技｜巧（1）找“1”或常數(shù)：觀察條件，將已知等式變形出“1”或常數(shù)，用于構造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼湊：用變形出的“1”或常數(shù)，將目標式與含“1”或常數(shù)的式子相乘展開，湊出能用基本不等式求解的式子。（3）驗證等號：展開后用基本不等式求最值，同時驗證等號成立條件，確保最值有效。【典例1】（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·山西·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知，則的最小值為.【變式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多選）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為題型七二次與二次（一次）的商式求最值【典例1】已知，則的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【典例2】設，則（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·廣東江門·期末）若，則的最小值是.【變式2】若，則的最小值為.題型八換元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【典例2】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【變式1】已知正實數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【變式2】已知，，，則的最大值為．【變式3】若對恒有，則的取值范圍是題型九兩次應用基本不等式求最值【典例1】對任意的正實數(shù)a,b,c，滿足b+c=1，則8ab2+a【變式1】已知實數(shù)m，n滿足m>2n>0，則m2+2【變式2】已知正數(shù)a，b滿足，，則的最小值為.題型十條件等式變形求最值【典例1】（多選）已知兩個實數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·重慶·期末）（多選）已知且滿足，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）已知，則下列正確的是（）A．B．的最小值為2C．的最小值為D．的最小值為【變式2】已知且，則的最大值為，最小值為．題型十一利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍【典例1】（24-25高一上·山東聊城·期末）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【變式3】已知，且，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十二基本不等式的應用【典例1】如圖所示，某小區(qū)要建造一個一面靠墻的無蓋長方體垃圾池，垃圾池的容積為50m3，為了合理利用地形，要求垃圾池靠墻一面的長為5m，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為180元（不計靠墻一面的造價），設垃圾池的高為，墻高5m.當垃圾池的總造價最低時，垃圾池的高應為（

）A． B．3 C． D．4【典例2】“谷子”經(jīng)濟發(fā)展越來越快，某公司要生產(chǎn)1000個玩偶，已知該公司每小時生產(chǎn)玩偶數(shù)量固定，且每小時的生產(chǎn)成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與生產(chǎn)速度x（個∕時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元，為使全程生產(chǎn)成本最低，該公司的生產(chǎn)速度是個∕時．【典例3】如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園.設菜園的長為米，寬為米.(1)若菜園面積為49平方米，則，為何值時，所用籬笆總長最?。孔钚≈禐槎嗌?？(2)若使用的籬笆總長為40米，當，為多少時，有最小值？并求出最小值.【變式1】據(jù)市場調查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【變式2】某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層的厚度（單位：厘米）滿足關系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，則的最小值是萬元．【變式3】2025年上海奇跡花園國際藝術花展于9月20日正式啟幕，本次花展首次實現(xiàn)沉浸IP展、花卉景觀、跨界藝術、光影夜花園四展合一，為市民游客打造一個可游、可賞、可感的秋季治愈系童話世界.某公園受此啟發(fā)打算設計一個八邊形活動區(qū)域，該區(qū)域的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的十字形區(qū)域，十字形的面積為.計劃在正方形上建一座花壇，造價為2100元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪地磚，造價為105元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為40元.設長為，總造價為元，求：(1)設長為，用表示，并求出的取值范圍；(2)如何設計可使總造價最低，并求出最低造價.【變式4】某學校為了更好地美化校園，計劃修建一個如圖所示的總面積為的花園．圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區(qū)域將種植牡丹、郁金香、月季（圖中區(qū)域的形狀、大小完全相同）．設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為．

(1)用含有的代數(shù)式表示；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，才能使鮮花種植的總面積最大？最大面積為多少？期末基礎通關練（測試時間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·廣東惠州·期末）若，則有（

）A．最小值3 B．最小值6C．最大值6 D．最大值32．（24-25高一上·福建廈門·期末）若，，，則（

）．A． B． C． D．3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一個直角三角形的斜邊長為8，則其面積的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．184．（24-25高一上·北京密云·期末）設，且，則（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，則的最小值為（

）A．25 B．6 C．10 D．56．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為2元，為使平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品（

）A．12件 B．24件 C．36件 D．40件7．（24-25高一上·廣東清遠·期末）已知實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．22 D．268．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高一下·貴州六盤水·期末）下列選項為真命題的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，，則10．（24-25高一下·湖南婁底·期末）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．期末重難突破練（測試時間：40分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．82．（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．43．（24-25高一上·重慶黔江·期末）已知實數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．84．（24-25高一上·山東淄博·期末）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或5．（24-25