專題5.1統(tǒng)計【清單01】幾個概念總體：統(tǒng)計中所考察對象的全體叫做總體．個體：總體中的每一個考察對象叫做個體．樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做樣本．樣本容量：樣本的個體的數(shù)目叫做樣本容量．【清單02】簡單隨機抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．【清單03】分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．【清單04】數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1.最值：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值，反映這組數(shù)據(jù)的極端情況.2眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；3.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平；4.平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；5．百分位：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.6.極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差．7.方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．8.標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])標準差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度．標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼藴什钶^大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小.【清單05】數(shù)據(jù)的直觀表示1.柱形圖（條形圖）：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本(或某個范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖．2.折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖．3.扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．4.莖葉圖莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．①“葉”位置只有一個數(shù)字，而“莖”位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②莖葉圖上重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.【清單06】頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖1．頻數(shù)分布直方圖的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．第四步：做出有關(guān)圖示2.頻率分布直方圖(1)找出最值，計算極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差．(2)合理分組，確定區(qū)間：決定組距與組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來．這時應(yīng)注意：①一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；②為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；③當樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5～12組．④將數(shù)據(jù)分組：按組距將數(shù)據(jù)分組，分組時，各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間．(3)整理數(shù)據(jù)（4）做出有關(guān)圖示.【清單07】用樣本估計總體常用結(jié)論與知識拓展1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.【考點題型一】簡單隨機抽樣【例1】（23-24高一下·福建寧德·階段練習）某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個樣本，下面提供隨機數(shù)表的第1行到第2行：66

67

40

37

14

64

05

71

11

05

65

09

95

86

68

76

83

20

37

9057

16

03

11

63

14

90

84

45

21

75

73

88

05

90

52

23

59

43

10若從表中第1行第7列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個樣本編號是．【變式1-1】（2024高三·全國·專題練習）在對101個人進行一次抽樣時，先采用抽簽法從中剔除1個人，再在剩余的100個人中隨機抽取10個人，那么下列說法正確的是（

）A．這種抽樣方法對于被剔除的個體是不公平的，因為他們失去了被抽到的機會B．每個人在整個抽樣過程中被抽到的機會均等C．由于采用了兩步進行抽樣，所以無法判斷每個人被抽到的可能性是多少D．每個人被抽到的可能性不相等【變式1-2】（2024高三·全國·專題練習）為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績，從中抽取了200名學生的成績進行調(diào)查分析，在這個問題中，被抽取的200名學生的成績是（

）A．總體 B．個體C．樣本 D．樣本量【變式1-3】（22-23高二上·陜西咸陽·開學考試）省農(nóng)科站要檢測某品牌種子的發(fā)芽率，計劃采用隨機數(shù)表法從該品牌800粒種子中抽取60粒進行檢測，現(xiàn)將這800粒種子編號如下001，002，…，800，若從隨機數(shù)表第8行第7列的數(shù)7開始向右讀，則所抽取的第4粒種子的編號是.（如下是隨機數(shù)表第8行至第9行）63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

58

07

44

39

52

38

79

33

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

42

07

44

38

15

51

0

13

42

99

66

02

79

54【變式1-4】（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習）總體由編號為1，2，?，99，100的100個個體組成，現(xiàn)用隨機數(shù)法選取60個個體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若干個1~100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)的開始部分數(shù)據(jù)，如下表，則選出來的第5個個體的編號為8

44

2

17

8

31

57

4

55

688

8

31

47

7

21

76

33

50

63【考點題型二】分層抽樣中的計算問題【例2】（22-23高三上·云南曲靖·階段練習）珠江源位于云南東部曲靖市以北47公里處，整個景區(qū)由馬雄山珠江源?花山湖和城區(qū)部分景點組成，總面積50平方公里.珠江源風景區(qū)是森林公園?省級風景名勝區(qū)?國際水利風景名勝區(qū).景區(qū)森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脈隔雙盤”的奇異景觀.其美景吸引著大批的游客前往參觀，某旅行社分年齡段統(tǒng)計了前往珠江源的老?中?青旅客的人數(shù)比為5：2：3，現(xiàn)使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名，若青年旅客抽到90人，則下列說法正確的是（

）A．被抽到的老年旅客和中年旅客人數(shù)之和超過200B．n=300C．中年旅客抽到40人D．老年旅客抽到150人【變式2-1】（24-25高三上·河南許昌·期中）唐代以來，牡丹之盛，以“洛陽牡丹甲天下”的美名流傳于世．唐已知根據(jù)花瓣類型可將牡丹分為單瓣類、重瓣類、千瓣類三類，現(xiàn)有牡丹花n朵，千瓣類比單瓣類多30朵，采用分層抽樣方法從中選出12朵牡丹進行觀察研究，其中單瓣類有4朵，重瓣類有2朵，千瓣類有6朵，則n＝（

）A．360 B．270 C．240 D．180【變式2-2】（24-25高二上·四川成都·期中）某校高一年級有900名學生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為81的樣本，其中抽取男生和女生的人數(shù)分別為45，36，則該校高一年級的女生人數(shù)為（

）A．350 B．400 C．500 D．550【變式2-3】（24-25高二上·四川成都·階段練習）某學校高二年級選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學人數(shù)分別為240，90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學進行某項調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出的同學人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．6【變式2-4】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習）某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量為（

）A．150 B．180 C．200 D．250【考點題型三】數(shù)據(jù)的數(shù)字特征【例3】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知一組數(shù)據(jù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是B．的平均數(shù)小于的平均數(shù)C．的方差大于的方差D．的極差小于的極差【變式3-1】（24-25高二上·山東青島·期中）為了了解某班學生數(shù)學成績，利用分層隨機抽樣抽取了一個10人的樣本，統(tǒng)計如下表：則可估計全班學生數(shù)學的平均分和方差分別為（

）學生數(shù)平均分方差男生6804女生4752A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11【變式3-2】（24-25高二上·四川成都·期中）2024年度最具幸福感城市調(diào)查推選活動于9月16日正式啟動，在100個地級及以上的候選城市名單中，成都市入選.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高，現(xiàn)隨機抽取10位成都市居民，他們的幸福感指數(shù)分別為4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，則下列說法錯誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為7.5 B．該組數(shù)據(jù)的極差為5C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7【變式3-3】（24-25高一上·四川雅安·開學考試）已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說法錯誤的是（）A．極差是5 B．眾數(shù)是8 C．中位數(shù)是9 D．方差是2.8【變式3-4】（24-25高一上·湖南永州·開學考試）為了迎接中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某班50名同學進行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計如下表，其中兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．成績\分919293949596979899100人數(shù)■■1235681012下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（

）A．平均數(shù)，方差 B．中位數(shù)，方差 C．中位數(shù)，眾數(shù) D．平均數(shù)，眾數(shù)【考點題型四】數(shù)據(jù)的直觀表示【例4】（多選）（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）為倡導(dǎo)健康生活方式，某大學社團聯(lián)合學生會倡議全校學生參與“每日萬步行”健走活動．如圖為該校甲、乙兩名同學在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（

）A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)小于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的標準差小于甲的日步數(shù)的標準差D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的第75百分位數(shù)是12400【變式4-1】（多選題）（23-24高一下·四川樂山·期末）小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是（

）A．娛樂開支比通信開支多5元B．日常開支比食品中的肉類開支多100元C．娛樂開支金額為100元D．肉類開支占儲蓄開支的【變式4-2】（多選）（23-24高一下·重慶巫山·期末）某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（

）A．該校高一學生總數(shù)為B．該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為96C．該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多D．用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取人，則生史地組合抽取人【變式4-3】（多選）（24-25高三上·河北邯鄲·開學考試）某公司計劃組織秋游活動，定制了一套文化衫，女職工需要不同尺碼文化衫的頻數(shù)如圖．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．文化衫尺碼的眾數(shù)為187 B．文化衫尺碼的平均數(shù)為165C．文化衫尺碼的方差為28 D．文化衫尺碼的中位數(shù)為165【變式4-4】（多選）（22-23高二上·浙江溫州·開學考試）甲、乙兩個跑步愛好者利用微信運動記錄了去年下半年每個月的跑步里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A．甲跑步里程的極差等于110B．乙跑步里程的中位數(shù)是270C．分別記甲、乙下半年每月跑步里程的平均數(shù)為，，則D．分別記甲乙下半年每月跑步里程的標準差為，，則【考點題型五】頻率分布直方圖中的數(shù)字特征【例5】（多選）（23-24高一下·江蘇常州·期末）某校1000名學生在高一測試中數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），則（

）

A．B．約有200人的成績不低于110分C．約有60人的成績低于70分D．本次考試的平均分約為93.6分【變式5-1】（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）某大學生暑假到工廠參加勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長度（單位：厘米），將所得數(shù)據(jù)分成6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中不正確的是（

）

A．B．長度的平均數(shù)是93C．長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間內(nèi)D．長度落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為35【變式5-2】（24-25高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．則下列說法錯誤的是（

）

A．估計該年級學生成績的眾數(shù)約為75B．C．估計該年級學生成績的75百分位數(shù)約為85D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)約為87.50【變式5-3】（23-24高一下·河北張家口·期末）某時間段公路上車速的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A． B．車速的眾數(shù)估計值是70C．車速的平均數(shù)估計值大于其中位數(shù)的估計值 D．車速的中位數(shù)估計值是62.5【變式5-4】（24-25高二上·湖北·階段練習）某校組織50名學生參加慶祝中華人民共和國成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這50名學生的成績都在區(qū)間內(nèi)，按分數(shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．成績在上的人數(shù)最少B．成績不低于80分的學生所占比例為C．50名學生成績的極差為50D．50名學生成績的平均分小于中位數(shù)【考點題型六】頻率分布直方圖的應(yīng)用【例6】（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意程度，從地區(qū)隨機抽取了名用戶，從地區(qū)隨機抽取了名用戶，請用戶根據(jù)滿意程度對該公司產(chǎn)品評分，該公司將收集到的數(shù)據(jù)按照、、、分組，繪制成評分頻率分布直方圖如圖．(1)從地區(qū)滿意程度評分的第百分位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替，估計地區(qū)抽取的名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，地區(qū)抽取的名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，以及兩地區(qū)抽取的名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為，試比較和的大小．【變式6-1】（23-24高一下·青?！て谀榱私饽撑慵馁|(zhì)量，質(zhì)檢員從這批產(chǎn)品中隨機抽取100件產(chǎn)品，測量它們的直徑（單位：mm），根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，將其按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計這批零件的直徑的中位數(shù)；(2)已知這批零件共有10000件，若零件的直徑在內(nèi)為優(yōu)等品，估計這批零件中優(yōu)等品的件數(shù)．【變式6-2】（2024高一下·江蘇·專題練習）某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級