專題09對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)【清單01】對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算法則對(duì)數(shù)的定義一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則①外和內(nèi)乘：②外差內(nèi)除：③提公次方法：④特殊對(duì)數(shù)：⑤指中有對(duì)，沒(méi)心沒(méi)肺，真數(shù)為幾，直接取幾：3、換底公式①常用換底②倒數(shù)原理③約分技巧【清單02】對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).對(duì)數(shù)函數(shù)的特征(1)logax的系數(shù)是1；(2)logax的底數(shù)是不等于1的正數(shù)；(3)logax的真數(shù)僅含自變量x.注意：對(duì)數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱【清單03】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.y＝logax(a>0，且a≠1)圖像a>10<a<1圖象性質(zhì)①定義域：(0，＋∞)②值域：R③當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1，0)④當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0④當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函數(shù)⑤在(0，＋∞)上是減函數(shù)2.底數(shù)大小和對(duì)數(shù)圖像關(guān)系形如：確定大小關(guān)系其中，先畫(huà)一條的直線，明確交點(diǎn)，由左至右底數(shù)越來(lái)越大.故【清單04】求有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和最值問(wèn)題(1)求與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值)，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性求解，若需換元，需考慮新元的取值范圍．(2)對(duì)于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解． 【考點(diǎn)題型一】對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算【例1】.【變式1-1】.已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，即，故，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式1-2】.計(jì)算的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】.故選：C.【變式1-3】.若，，則的值是（

）A．3 B． C．8 D．【答案】A【詳解】由，得，而，所以.故選：A【變式1-4】.（多選）下列各式的值等于6的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【變式1-5】.=.【答案】【詳解】.故答案為：.【變式1-6】.（1）求值:（2）求值:【答案】（1）；（2）【詳解】（1）原式.（2）原式.【變式1-7】計(jì)算下列各式的值：(1).(2).【答案】(1).【詳解】（1）原式.（2）.【考點(diǎn)題型二】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像【例2】.函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于，必有，故CD錯(cuò)誤；又，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)在軸下方圖象翻折到上方可得函數(shù)的圖象，再將其在軸右側(cè)圖象翻折到左側(cè)，右側(cè)不變，可得函數(shù)的圖象，進(jìn)而將得到的函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，故A正確.故選：A.【變式2-1】.已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】因?yàn)?，若，則，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C．【變式2-2】.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)增區(qū)間為.【答案】，【詳解】當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，∴當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∵函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f?x=fx，∴是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則的單調(diào)增區(qū)間為，.故答案為：，.【變式2-3】.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是．【答案】2【詳解】當(dāng)時(shí)，或，都滿足；當(dāng)時(shí)，，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.綜合得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故答案為：2.【變式2-4】.若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，且的值域?yàn)?，∴，?dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．又函數(shù)，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以的大致圖象應(yīng)為選項(xiàng)A．故選：A．【變式2-5】.已知指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.故選：B【考點(diǎn)題型三】對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例3】.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在單調(diào)遞減，且，即有，即，解得，故選：B．【變式3-1】.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為增函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù).故選：C.【變式3-2】.設(shè)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(

).A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槿粼谏蠁握{(diào)遞增，且，可得，即，解得，即a的取值范圍為.故選：.【變式3-3】.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，令，即，解得或（舍去），所以，由函數(shù)新定義可得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B.【變式3-4】.已知，若在上單調(diào)，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)，則在上單調(diào)，且時(shí)，，故，解得或.故選：D【變式3-5】.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，由，可得，所以的定義域?yàn)?，所以，又，設(shè)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的值域，由二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故選：A.【變式3-6】.已知函數(shù)且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．【答案】(1)(2)或．【詳解】（1），，即，解得或（舍）．（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，由題意得，，解得．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，由題意得，，解得．綜上，或．【考點(diǎn)題型四】對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【例4】.若函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，．【答案】－22【詳解】∵函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，∴將代入，得．又當(dāng)，且時(shí)，恒成立，，．故答案為：；【變式4-1】.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，令，解得，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，所以，故答案為：【變式4-2】.指數(shù)函數(shù)（且）過(guò)點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】【詳解】由（且）可知，時(shí)，，則點(diǎn)為，由可得，兩邊取對(duì)數(shù)得，，交換可得，，即與是一對(duì)反函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故經(jīng)過(guò)點(diǎn).故答案為：【變式4-3】.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，①由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，即，②解①②得（舍去）．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)镽，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知其在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【考點(diǎn)題型五】對(duì)數(shù)大小比較【例5】.已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樵诙x域上都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即.故選：B【變式5-1】.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，∵，∴，∴，故選：A.【變式5-2】.設(shè)則的大小關(guān)系為

（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D【變式5-3】.設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，且，所以，即；因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且，所以，即；所以.故選B.【變式5-4】.設(shè)，，，，則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以，即；又因?yàn)?，，所以，所以．故選：A．【變式5-5】.定義在R上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，設(shè)，，則a,b,c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭窃赗上的奇函數(shù)，且任意，都有，所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以?故選：C.【考點(diǎn)題型六】對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例6】.設(shè)常數(shù)，，.(1)已知y=fx的圖象過(guò)點(diǎn)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，令，則有，，函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以，，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都有恒成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為：.（3）因?yàn)?，則，化為，整理有：，因?yàn)?，所以，所以原式可化為：，令，則有，，所以方程有兩個(gè)根，設(shè)為、，且，，所以，，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，，，，，，又因?yàn)?，所?【變式6-1】.若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，且對(duì)任意，，①且，②對(duì)于①，，結(jié)合，得.若，由②知對(duì)任意，矛盾；若，由②知對(duì)任意，即，則，得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，①②同時(shí)成立.故選：C【變式6-2】.若為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】B【詳解】函數(shù)中，，解得或，由為偶函數(shù)，得，即，整理得，即，而不恒為0，所以.故選：B【變式6-3】.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】即f3=0在0,+∞上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又∵是定義在上的奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上可知，的解集為，故選：D.【變式6-4】.（多選）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足對(duì)任意，都有的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】對(duì)任意，都有，則在上單調(diào)遞增；所以是在上單調(diào)遞增的奇函數(shù).對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，，不是奇函?shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與在上都為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，，所以是在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C，，易知在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)镽，函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，，是奇函數(shù)，D正確.故選：BD.【變式6-5】.已知函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，記．若y=gx在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴與互為反函數(shù)，∴，∴，令，函數(shù)可化為，對(duì)稱軸為直線.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，∴，解得，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，∴，解得.綜上得，的取值范圍是.故選：D.【變式6-6】.已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求a的值；(2)求滿足的x的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f?x=?f則，即，則.（2）由（1）知，，由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，由，，即，即，即，則，解得，又，則，即x的取值范圍為0,1.【變式6-7】.已知函數(shù)，記集合為的定義域．(1)求集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)奇函數(shù)(3)【詳解】（1）由真數(shù)大于0可知，，.（2）可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故為奇函數(shù)．（3）令，對(duì)稱軸，在上，，又在上遞減，故的值域是：．【變式6-8】.已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得，解得，因此，不等式的解集為.（2）因?yàn)?，令，由可得，可得，由?duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，由題意可得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.檢測(cè)訓(xùn)練1.已知，則的大小關(guān)系為（

）．A．B．C．D．【答案】C【詳解】由于，故.故選：C2.已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A3.已知函數(shù)，其中，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)槭莤∈R上的單調(diào)遞減函數(shù)，是x∈R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以是x∈R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以.故選：B.4.三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：，，，即.故選：A.5.（多選）若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】依題意，，若，則，C選項(xiàng)正確.若中一個(gè)大于，一個(gè)位于與之間，則，此時(shí)，A選項(xiàng)正確.若，則，所以B選項(xiàng)正確.綜上所述，ABC選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC6.（多選）若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有②對(duì)于定義域上任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，下列函數(shù)中的“函數(shù)”（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】由于，所以是奇函數(shù)；由于對(duì)于定義域上任意，當(dāng)時(shí)，恒有，所以在上單調(diào)遞增.A選項(xiàng)，是偶函數(shù)，不符合題意.B選項(xiàng)，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意.C選項(xiàng)，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意.D選項(xiàng)，是偶函數(shù)，不符合題意.故選：BC7.（多選）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，所以在上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以是奇函數(shù)，故D正確.故選：BD.8.若為常數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為．【答案】【詳解】是奇函數(shù)，，即，，即，，展開(kāi)整理得，要使等式恒成立，則有，即，解得．當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或，即定義域?yàn)榛颍x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，成立．故答案為：-1.9.已知，，則用，表示【答案】【詳解】由，，可得，又由.故答案為：.10.已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的大小關(guān)系為．（用“”連接）【答案】.【詳解】由題意可知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，即，所以，而，故，則.故答案為：11.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則.【答案】1【詳解】解：，所以，，所以．故答案為：1．求下列各式的值：..（2）．【答案】（2）．【詳解】解：（2）．求下列各式的值：（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）2；（2）4【詳解】（1）原式；（2）由已知可得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，解得（舍去），或，所以14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，解得，故.（2），令，，可得，，其對(duì)稱軸為直線，當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，綜上可知，15.