一元二次方程的根與系數(shù)的關系韋達，1540

年出生于法國的波亞圖，他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學，對數(shù)學的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學上的功績，稱他為“代數(shù)學之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導入新課-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項系數(shù)化為1

對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規(guī)律嗎？講授新課PPT模板：/moban/PPT素材：/sucai/PPT背景：/beijing/

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c如何求出一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根之積、兩根之和？思考探究

有實數(shù)根的前提是什么呢？Δ=b2-4ac≥0講授新課對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ≥0時，設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2，此時x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結(jié)論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為

x1，x2，那么，注意滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數(shù)的關系人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結(jié)論稱為“韋達定理”．探究結(jié)論例1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個實數(shù)根．設方程的兩個實數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化為一般式定理應用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個實數(shù)根．設方程的兩個實數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．練習1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程無實數(shù)根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有兩個實數(shù)根．設方程的兩個實數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理應用例2

設

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個根，則(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理應用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1

變式

設

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理應用一元二次方程的根與系數(shù)的關系內(nèi)容應用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是

x1，x2，那么，課堂小結(jié)……(x1+1)(x2+1