2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)(附答案)一、描述統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)可視化1.【單選】某校2024級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)新生體檢，測(cè)得身高（cm）的莖葉圖如下，其中莖單位為10cm、葉單位為1cm。若將數(shù)據(jù)四舍五入到整數(shù)后重新繪制箱線圖，則箱體下邊緣（Q1）最可能落在哪一區(qū)間？莖|葉15|23345678916|0112233455678917|012345678918|012A.[160,162)B.[163,165)C.[166,168)D.[169,171)答案：B解析：共43個(gè)數(shù)據(jù)，Q1位置=0.25×43=10.75，取第11個(gè)有序值。排序后第11值為163cm，故箱體下邊緣≈163cm，選B。2.【多選】關(guān)于直方圖與條形圖，下列說法正確的有A.直方圖矩形面積與頻數(shù)成比例B.條形圖矩形之間必須留空隙C.直方圖可用于展示連續(xù)型變量分布D.條形圖縱軸必須從0開始，否則易產(chǎn)生視覺誤導(dǎo)答案：ACD解析：B錯(cuò)，條形圖矩形之間可不留空隙，例如帕累托圖；A、C、D為統(tǒng)計(jì)學(xué)圖形規(guī)范。3.【計(jì)算】某城市2023年各月份PM2.5濃度（μg/m3）依次為：85,92,78,65,58,52,48,55,68,75,88,95。求其偏度系數(shù)（Pearson矩偏度）。答案：0.338解析：均值μ=73.92，標(biāo)準(zhǔn)差σ=15.87，三階中心矩μ?=1.35×103，偏度=μ?/σ3=0.338，呈右偏。4.【證明】設(shè)分組數(shù)據(jù)共k組，第i組組中值為x?，頻數(shù)為f?，總頻數(shù)n=Σf?。試證：分組方差s2=Σf?(x??x?)2/(n?1)為總體方差σ2的相合估計(jì)（n→∞時(shí)）。答案：略解析：利用Slutsky定理與連續(xù)映射定理，當(dāng)n→∞，組距→0，分組方差收斂于總體方差。二、概率論基礎(chǔ)5.【單選】設(shè)事件A,B滿足0<P(A)<1,P(B|A)=P(B|ā)，則下列一定成立的是A.A,B獨(dú)立B.A,B互斥C.P(A|B)=P(A)D.P(A∩B)=0答案：A解析：由全概率公式P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|ā)P(ā)=P(B|A)，故P(B|A)=P(B)，即獨(dú)立。6.【計(jì)算】某型號(hào)電子元件壽命T服從參數(shù)λ=0.004h?1的指數(shù)分布。已知元件已正常工作200h，求其還能繼續(xù)工作300h的概率。答案：e?1·2≈0.3012解析：指數(shù)分布無記憶性，P(T>500|T>200)=P(T>300)=e^(?0.004×300)=e?1·2。7.【綜合】設(shè)隨機(jī)變量X的密度f(x)=k(1?x2),?1≤x≤1。(1)求k；(2)求E(X)；(3)求Var(X)。答案：(1)k=3/4；(2)0；(3)1/5解析：(1)∫f(x)dx=1?k=3/4；(2)對(duì)稱區(qū)間奇函數(shù)期望0；(3)E(X2)=∫x2f(x)dx=3/4∫x2(1?x2)dx=1/5。8.【證明】若X~N(μ,σ2)，Y=aX+b，a≠0，試證Y~N(aμ+b,a2σ2)。答案：略解析：利用矩母函數(shù)M_Y(t)=E[e^{tY}]=e^{tb}M_X(at)=exp{(aμ+b)t+a2σ2t2/2}，為正態(tài)分布矩母函數(shù)。三、隨機(jī)向量與極限定理9.【單選】設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，則Cov(X,Y)為A.1/36B.1/24C.1/18D.1/12答案：C解析：邊緣密度f_X(x)=2(1?x),0≤x≤1，E(X)=1/3，E(Y)=2/3，E(XY)=1/4，Cov=1/4?(1/3)(2/3)=1/18。10.【計(jì)算】設(shè)X?,…,X?i.i.d.Poisson(λ)，用特征函數(shù)法證明樣本均值X?依分布收斂于λ。答案：略解析：φ_{X?}(t)=[exp{λ(e^{it/n}?1)}]?→exp{itλ}，即退化在λ，得X?→pλ，由連續(xù)性定理得依分布收斂。11.【綜合】某保險(xiǎn)合約承擔(dān)N件獨(dú)立同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)，每件索賠額Y?~Exp(θ)。若N~Poisson(λ)，求總索賠S=ΣY?的矩母函數(shù)，并指出其分布名稱。答案：M_S(t)=exp{λθt/(θ?t)},t<θ，為復(fù)合泊松指數(shù)分布，亦稱為Gamma(λ,θ)的混合。12.【證明】設(shè){X?}為i.i.d.序列，E(X?)=μ,Var(X?)=σ2<∞，用LindebergLévyCLT證明√n(X???μ)/σ→dN(0,1)。答案：略解析：驗(yàn)證Lindeberg條件：對(duì)任意ε>0，E[X?2I{|X?|>ε√n}]→0，由控制收斂定理即得。四、參數(shù)估計(jì)13.【單選】設(shè)X?,…,X?i.i.d.U(0,θ)，則θ的MLE為A.X?B.max(X?)C.2X?D.min(X?)答案：B解析：似然函數(shù)L(θ)=θ??I{maxX?≤θ}，在θ=max(X?)處取最大值。14.【計(jì)算】設(shè)X~Bin(n,p)，p的先驗(yàn)為Beta(α,β)，在平方損失下求p的Bayes估計(jì)，并指出當(dāng)α=β=1時(shí)的結(jié)果。答案：后驗(yàn)為Beta(α+x,β+n?x)，Bayes估計(jì)=(α+x)/(α+β+n)；α=β=1時(shí)等于(x+1)/(n+2)，為L(zhǎng)aplace平滑。15.【綜合】某生產(chǎn)線產(chǎn)品重量服從N(μ,σ2)，σ2未知。隨機(jī)抽取n=16件，測(cè)得x?=502g，s=4g。求μ的95%單側(cè)置信上限。答案：μ≤502+t?.??(15)·s/√16=502+1.753×1=503.753g解析：使用t分布，t?.??(15)=1.753。16.【證明】設(shè)T為參數(shù)θ的無偏估計(jì)，若Var(T)達(dá)到CramérRao下界，則稱T為有效估計(jì)。試證指數(shù)族分布之自然充分統(tǒng)計(jì)量即為有效估計(jì)。答案：略解析：指數(shù)族密度可寫為f(x|θ)=h(x)exp{θT(x)?A(θ)}，得分函數(shù)為T(x)?A'(θ)，信息量為A''(θ)，Var(T)=A''(θ)恰等于下界。五、假設(shè)檢驗(yàn)17.【單選】對(duì)正態(tài)總體N(μ,σ2)均值做雙側(cè)t檢驗(yàn)，顯著性水平α，當(dāng)真實(shí)均值μ=μ?≠μ?時(shí)，下列關(guān)于功效函數(shù)π(μ?)的說法正確的是A.π隨|μ??μ?|增大而減小B.π隨n增大而增大C.π隨α減小而增大D.π與σ無關(guān)答案：B解析：功效=1?β，n增大標(biāo)準(zhǔn)誤減小，非中心參數(shù)增大，功效提高。18.【計(jì)算】某電商平臺(tái)欲檢驗(yàn)新算法是否降低退貨率。舊退貨率p?=0.08，抽取n=400單，新算法退貨28單。取α=0.05，用近似正態(tài)法檢驗(yàn)H?:p≥0.08vsH?:p<0.08，并求p值。答案：z=(0.07?0.08)/√(0.08×0.92/400)=?0.01/0.0136=?0.735，p值=Φ(?0.735)=0.231>0.05，不拒絕H?。解析：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)，臨界值?1.645，?0.735>?1.645。19.【綜合】?jī)瑟?dú)立正態(tài)總體，方差未知但相等。樣本量n?=10,n?=12，x??=105,x??=100，合并方差s_p2=25。求μ??μ?的95%置信區(qū)間，并判斷是否在0.05水平下認(rèn)為μ?>μ?。答案：區(qū)間=(105?100)±t?.???(20)·√(25(1/10+1/12))=5±2.086×2.165=(0.48,9.52)，下限>0，故拒絕H?:μ?≤μ?，認(rèn)為μ?顯著大于μ?。解析：t?.???(20)=2.086。20.【證明】對(duì)指數(shù)分布Exp(θ)檢驗(yàn)H?:θ=θ?vsH?:θ≠θ?，證明似然比統(tǒng)計(jì)量Λ=2n[ln(X?/θ?)+(θ?/X??1)]，并指出其漸近分布。答案：略解析：似然比λ=L(θ?)/L(X?)，取對(duì)數(shù)乘?2，得Λ=2n[ln(X?/θ?)+θ?/X??1]，由Wilks定理，Λ→dχ2(1)。六、方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)21.【單選】單因素ANOVA中，若組間均方MSB=45，組內(nèi)均方MSE=9，k=4組，每組n=8，則F值與結(jié)論（α=0.05）為A.5,拒絕B.5,不拒絕C.0.2,拒絕D.0.2,不拒絕答案：A解析：F=MSB/MSE=45/9=5，臨界值F?.??(3,28)≈2.95，5>2.95，拒絕。22.【計(jì)算】隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，4處理3區(qū)組，得總平方和SST=240，區(qū)組平方和SSB=36，誤差平方和SSE=84。完成方差分析表并檢驗(yàn)處理效應(yīng)（α=0.05）。答案：處理SS=SST?SSB?SSE=120，df處理=3，MS處理=40，F(xiàn)=40/(84/6)=40/14=2.857，臨界F?.??(3,6)=4.76，2.857<4.76，不拒絕，處理效應(yīng)不顯著。解析：誤差df=(4?1)(3?1)=6。23.【綜合】某23全因子實(shí)驗(yàn)，因素A,B,C，每組合重復(fù)2次，共16次試驗(yàn)。用Yates算法得A效應(yīng)對(duì)比值=+24，總平方和=800。求A的主效應(yīng)平方和及其貢獻(xiàn)率。答案：SSA=(24)2/(16×2)=36，貢獻(xiàn)率=36/800=4.5%。解析：對(duì)比值除以8×2=16，平方即得SS。24.【證明】證明在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中，若處理效應(yīng)固定、誤差獨(dú)立同分布N(0,σ2)，則E(MSB)=σ2+nΣτ?2/(k?1)。答案：略解析：利用線性模型Y??=μ+τ?+ε??，Στ?=0，計(jì)算E(SSB)即可。七、回歸分析25.【單選】多元線性回歸中，若某自變量X?的VIF=8.5，則一般認(rèn)為A.無多重共線B.輕度共線C.中度共線D.嚴(yán)重共線答案：C解析：VIF>10為嚴(yán)重，5<VIF≤10為中度。26.【計(jì)算】對(duì)數(shù)據(jù)(n=20)擬合簡(jiǎn)單線性回歸y?=2.1+1.4x，已知x?=5，Σ(x??x?)2=40，σ?2=3.2。求β?的95%置信區(qū)間。答案：1.4±t?.???(18)·√(3.2/40)=1.4±2.101×0.2828=(0.806,1.994)。解析：標(biāo)準(zhǔn)誤=√(σ?2/Sxx)=√(3.2/40)=0.2828。27.【綜合】某研究建立模型Y=β?+β?X?+β?X?+ε，得ANOVA表：回歸SS=360，殘差SS=90，n=25。(1)求R2；(2)檢驗(yàn)整體顯著性(α=0.05)；(3)若新增X?后R2增至0.85，求調(diào)整R2變化。答案：(1)R2=360/(360+90)=0.8；(2)F=(360/3)/(90/21)=28，臨界F?.??(3,21)=3.07，拒絕；(3)原調(diào)整R2=1?(90/21)/(450/24)=0.771，新調(diào)整R2=1?(67.5/20)/(450/24)=0.820，提高0.049。解析：新增SS回歸=0.85×450?360=22.5，新殘差SS=90?22.5=67.5。28.【證明】證明在經(jīng)典線性模型下，最小二乘估計(jì)β?的協(xié)方差矩陣為σ2(X?X)?1。答案：略解析：β?=(X?X)?1X?Y，Cov(β?)=(X?X)?1X?Cov(Y)X(X?X)?1=σ2(X?X)?1。八、非參數(shù)與穩(wěn)健方法29.【單選】Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)適用于A.兩獨(dú)立樣本位置B.單樣本對(duì)稱性C.多組獨(dú)立樣本D.兩樣本尺度答案：B解析：符號(hào)秩檢驗(yàn)用于單樣本或配對(duì)差值對(duì)稱中心。30.【計(jì)算】?jī)山M獨(dú)立樣本，n?=n?=8，得秩和W=52（第一組），查表得雙側(cè)臨界值49~87。試在α=0.05下給出結(jié)論。答案：49≤52≤87，不拒絕，兩組位置差異不顯著。解析：Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。31.【綜合】對(duì)數(shù)據(jù)集{3,7,8,9,12,14,18,22}，求HuberM估計(jì)，其中k=1.5，迭代初值取中位數(shù)9，迭代兩次即可。答案：第一次：殘差r=?6,?2,?1,0,3,5,9,13，權(quán)重w=1,1,1,1,1,1,0.167,0.115，加權(quán)均值=(3+7+8+9+12+14+18×0.167+22×0.115)/(6+0.167+0.115)=9.36；第二次：以9.36為中心，得新均值9.38，停止。Huber估計(jì)=9.38。解析：Huber函數(shù)ψ(r)=min(k,max(?k,r))，權(quán)重w=ψ(r)/r。32.【證明】證明KruskalWallis統(tǒng)計(jì)量H=[12/(N(N+1))]ΣR?2/n??3(N+1)在H?下漸近χ2(k?1)。答案：略解析：利用秩次在H?下均勻分布，中心極限定理及卡方近似。九、貝葉斯與計(jì)算統(tǒng)計(jì)33.【單選】MCMC中，MetropolisHastings算法若提議分布對(duì)稱，則接受概率簡(jiǎn)化為A.min(1,π(θ)/π(θ))B.min(1,π(θ)/π(θ))C.min(1,logπ(θ)?logπ(θ))D.1答案：A解析：對(duì)稱提議使比率q(θ|θ)/q(θ|θ)=1。34.【計(jì)算】設(shè)X~Bin(10,θ)，觀測(cè)x=7，取平坦先驗(yàn)θ~U(0,1)，用GriddyGibbs在0.05網(wǎng)格上求后驗(yàn)均值（近似）。答案：后驗(yàn)為Beta(8,4)，均值=8/12=0.667，網(wǎng)格近似0.667。解析：網(wǎng)格足夠細(xì)時(shí)一致。35.【綜合】用Bootstrap估計(jì)相關(guān)系數(shù)r的標(biāo)準(zhǔn)誤，樣本量n=20，r=0.65，B=2000次重抽樣得se?=0.142。求r的95%Bootstrap百分位置信區(qū)間。答案：將2000個(gè)r排序，取2.5%與97.5%分位數(shù)，得(