一、分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”演講人分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”總結(jié)：從“零散”到“系統(tǒng)”的認(rèn)知提升實(shí)戰(zhàn)演練：在題目中深化理解增根與無解的聯(lián)系與區(qū)別：從“特殊”到“一般”增根的定義與本質(zhì)：被“過濾”的“假解”目錄2025八年級數(shù)學(xué)上冊微專題分式方程的增根與無解課件各位同學(xué)、老師們：大家好！今天我們聚焦八年級數(shù)學(xué)上冊的一個關(guān)鍵微專題——“分式方程的增根與無解”。作為一線數(shù)學(xué)教師，我在多年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，這兩個概念是分式方程學(xué)習(xí)的“易混淆區(qū)”，也是考試中高頻出錯點(diǎn)。許多同學(xué)能熟練解分式方程，卻常因分不清“增根”與“無解”而失分。今天，我們就從基礎(chǔ)出發(fā)，抽絲剝繭，逐步揭開它們的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別。01分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”要理解增根與無解，首先需要回顧分式方程的基本解法。分式方程與整式方程的核心區(qū)別在于分母含未知數(shù)，因此解分式方程的基本思路是“化分式為整式”，具體步驟可總結(jié)為：1.去分母：方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程；2.解整式方程：按整式方程的解法（如移項、合并同類項、系數(shù)化為1等）求出未知數(shù)的值；3.檢驗(yàn)：將求得的解代入原分式方程的分母（或最簡公分母），若分母不為0，則是原方程的解；若分母為0，則是增根，需舍去。這三步中，“去分母”是關(guān)鍵操作，也正是這一步為增根的產(chǎn)生埋下了“伏筆”。為什么？因?yàn)槿シ帜笗r，我們默認(rèn)了“最簡公分母不為0”（否則方程無意義），但整式方程的解可能恰好使最簡公分母為0，此時這個解就不滿足原分式方程的定義域要求，成為增根。分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”舉個教學(xué)中的真實(shí)例子：解分式方程$\frac{1}{x-2}=\frac{x}{2-x}+1$。第一步，觀察分母為$x-2$和$2-x$（即$-(x-2)$），最簡公分母為$x-2$；第二步，方程兩邊同乘$x-2$，得$1=-x+(x-2)$；第三步，解整式方程：$1=-x+x-2$→$1=-2$，顯然矛盾，此時原方程無解？不，這里我故意設(shè)了個“陷阱”——實(shí)際解整式方程時，正確展開應(yīng)為$1=-x+(x-2)$，即$1=-x+x-2$→$1=-2$，這說明整式方程無解，因此原分式方程也無解。分式方程的解法回顧：增根產(chǎn)生的“土壤”但如果換一個例子，比如$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-1}$，去分母后得$2(x-1)=x+1$，解得$x=3$，代入原分母$x+1=4≠0$，$x-1=2≠0$，所以$x=3$是原方程的解。通過這兩個例子，我們能初步感受到：分式方程的解是否有效，與“去分母”后的整式方程的解是否滿足原方程的定義域密切相關(guān)。而“增根”和“無解”正是這種關(guān)聯(lián)性的兩種表現(xiàn)。02增根的定義與本質(zhì)：被“過濾”的“假解”增根的定義教材中明確指出：增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的不適合原分式方程的根。簡單來說，增根是整式方程的解，但代入原分式方程會使分母為0，因此被排除。增根的產(chǎn)生原因從代數(shù)操作看，增根的產(chǎn)生是由于“去分母”這一步擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍。原分式方程中，未知數(shù)的取值需使所有分母不為0（即定義域受限）；而整式方程中，未知數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù)（或整式有意義的范圍）。因此，整式方程的解可能落在原分式方程的定義域之外，成為增根。舉個學(xué)生常犯的錯誤案例：解方程$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$。去分母時，最簡公分母是$(x-1)(x+2)$，方程兩邊同乘后得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$；展開整式方程：$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$→$x^2+2x-x^2-x+2=3$→$x+2=3$→$x=1$；增根的產(chǎn)生原因檢驗(yàn)：將$x=1$代入原分母$x-1=0$，因此$x=1$是增根，原方程無解。這里，整式方程的解$x=1$恰好使最簡公分母為0，因此被判定為增根。這說明：增根一定是使最簡公分母為0的解，但使最簡公分母為0的解不一定是增根——只有當(dāng)它同時是整式方程的解時，才是增根。增根的判定方法要判定一個解是否為增根，只需將其代入原分式方程的分母（或最簡公分母），若分母為0，則是增根。具體步驟可總結(jié)為：確定原分式方程的所有分母，找出最簡公分母；解整式方程，得到可能的解；將可能的解代入最簡公分母，若結(jié)果為0，則是增根；否則是有效解。例如，解方程$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$，最簡公分母為$x(x+1)$，去分母得$2(x+1)=3x$，解得$x=2$。代入最簡公分母$2×3=6≠0$，因此$x=2$是有效解。若解得$x=0$，則代入最簡公分母為0，是增根。增根的判定方法三、分式方程無解的兩種情形：增根的“延伸”與整式方程的“矛盾”分式方程“無解”是比“有增根”更寬泛的概念。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分式方程無解主要有兩種情形：情形一：整式方程的所有解都是增根即整式方程有解，但這些解全部使原分式方程的分母為0，因此原方程無有效解。01原方程分母為$x-1$和$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最簡公分母為$(x-1)(x+1)$；03檢驗(yàn)：$x=1$代入最簡公分母$(1-1)(1+1)=0$，因此$x=1$是增根，原方程無解。05案例1：解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}$。02去分母得$x+1=2$，解得$x=1$；04這里，整式方程的解$x=1$是唯一解，但它是增根，因此原方程無解。06情形二：整式方程本身無解即去分母后得到的整式方程無實(shí)數(shù)解（如化簡后得到矛盾式），此時原分式方程自然無解。案例2：解方程$\frac{x}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}$。最簡公分母為$x-2$，去分母得$x=2(x-2)+2$；展開整式方程：$x=2x-4+2$→$x=2x-2$→$-x=-2$→$x=2$；檢驗(yàn)：$x=2$代入分母$x-2=0$，是增根，原方程無解？不，這里我故意寫錯了！正確展開應(yīng)為$x=2(x-2)+2$→$x=2x-4+2$→$x=2x-2$→$-x=-2$→$x=2$，但代入分母確實(shí)為0，所以原方程無解。情形二：整式方程本身無解但如果是另一個例子，比如解方程$\frac{1}{x}+1=\frac{1}{x}$，去分母得$1+x=1$→$x=0$，但$x=0$使原分母為0，且整式方程的解只有$x=0$，因此原方程無解。再舉一個整式方程本身無解的例子：解方程$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x+1)(x-1)}$。最簡公分母為$(x+1)(x-1)$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+1$；展開整式方程：$2x-2=3x+3+1$→$2x-2=3x+4$→$-x=6$→$x=-6$；情形二：整式方程本身無解檢驗(yàn)：$x=-6$代入分母$x+1=-5≠0$，$x-1=-7≠0$，因此$x=-6$是有效解，原方程有解。若修改方程為$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{5}{(x+1)(x-1)}$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+5$→$2x-2=3x+3+5$→$2x-2=3x+8$→$-x=10$→$x=-10$，檢驗(yàn)有效，原方程有解。若再修改為$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{x+4}{(x+1)(x-1)}$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+x+4$→$2x-2=3x+3+x+4$→$2x-2=4x+7$→$-2x=9$→$x=-\frac{9}{2}$，檢驗(yàn)有效。情形二：整式方程本身無解那什么時候整式方程本身無解呢？例如解方程$\frac{1}{x-1}+1=\frac{2}{x-1}$，去分母得$1+(x-1)=2$→$x=2$，檢驗(yàn)$x=2$時分母$x-1=1≠0$，因此是有效解。但如果方程是$\frac{1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}$，去分母得$1+(x-1)=1$→$x=1$，檢驗(yàn)$x=1$時分母為0，是增根，原方程無解。再極端一點(diǎn)，解方程$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2$，去分母得$x=1+2(x-1)$→$x=1+2x-2$→$x=2x-1$→$-x=-1$→$x=1$，檢驗(yàn)$x=1$時分母為0，是增根，原方程無解。情形二：整式方程本身無解如果整式方程化簡后得到“0=1”這樣的矛盾式，例如解方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x}+1$，去分母得$1=2+x$→$x=-1$，但代入原方程左邊$\frac{1}{-1}=-1$，右邊$\frac{2}{-1}+1=-2+1=-1$，所以$x=-1$是有效解。這說明，只有當(dāng)整式方程化簡后出現(xiàn)“恒不成立”的等式時，才會無解。例如，解方程$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x-2}+1$，去分母得$1=3+(x-2)$→$1=3+x-2$→$1=x+1$→$x=0$，檢驗(yàn)$x=0$時分母$x-2=-2≠0$，有效解。情形二：整式方程本身無解哦，看來我之前的例子不夠典型。正確的整式方程無解的情況應(yīng)該是：去分母后得到的整式方程化簡后為“0=非0數(shù)”，例如解方程$\frac{2}{x}=\frac{2}{x}+1$，去分母得$2=2+x$→$x=0$，但$x=0$使原分母為0，且整式方程的解只有$x=0$，因此原方程無解?；蛘吒苯拥睦樱航夥匠?\frac{1}{x}+1=\frac{1}{x}+2$，去分母得$1+x=1+2x$→$x=0$，但$x=0$是增根，原方程無解。總結(jié)：分式方程無解的兩種情況是——（1）整式方程有解，但所有解都是增根；（2）整式方程本身無解（即化簡后得到矛盾式）。03增根與無解的聯(lián)系與區(qū)別：從“特殊”到“一般”聯(lián)系增根是導(dǎo)致分式方程無解的“直接原因”之一。當(dāng)整式方程的所有解都是增根時，分式方程無解；當(dāng)整式方程本身無解時，分式方程也無解。因此，增根的存在可能導(dǎo)致無解，但無解不一定是因?yàn)樵龈ㄈ缯椒匠瘫旧頍o解）。區(qū)別|概念|本質(zhì)|表現(xiàn)形式|與整式方程的關(guān)系||------------|--------------------------|------------------------------|--------------------------------||增根|整式方程的解，但不滿足原方程定義域|代入原分母為0|一定是整式方程的解||分式方程無解|原方程無有效解|（1）整式方程的解全是增根；（2）整式方程無解|可能與增根有關(guān)，也可能無關(guān)|典型誤區(qū)辨析學(xué)生常犯的誤區(qū)有：認(rèn)為“有增根就一定無解”：錯誤。若整式方程有多個解，其中部分是增根，部分是有效解，則原方程有解。例如解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}$，去分母得$x+1=2+(x-1)$→$x+1=x+1$，即$0=0$，此時整式方程的解為所有實(shí)數(shù)（除使分母為0的$x=1$和$x=-1$），因此原方程的解為$x≠1$且$x≠-1$的所有實(shí)數(shù)。認(rèn)為“無解就是有增根”：錯誤。整式方程本身無解時（如化簡后得“0=1”），原方程也無解，但此時沒有增根。04實(shí)戰(zhàn)演練：在題目中深化理解實(shí)戰(zhàn)演練：在題目中深化理解為了鞏固知識，我們通過幾道典型題目進(jìn)行訓(xùn)練?；A(chǔ)題：判斷增根題目1：解方程$\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x-2}+1$，得到解$x=4$，檢驗(yàn)時發(fā)現(xiàn)$x=4$代入分母$x-2=2≠0$，因此$x=4$是有效解。若解得$x=2$，則代入分母為0，是增根。題目2：已知關(guān)于$x$的分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{kx}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}$有增根，求$k$的值。分析：增根是使分母為0的解，即$x=1$或$x=-1$。去分母得$2(x+1)+kx=3(x-1)$；整理整式方程：$2x+2+kx=3x-3$→$(k-1)x=-5$；基礎(chǔ)題：判斷增根若增根為$x=1$，代入整式方程得$(k-1)×1=-5$→$k=-4$；若增根為$x=-1$，代入整式方程得$(k-1)×(-1)=-5$→$k-1=5$→$k=6$；因此，$k=-4$或$k=6$。提升題：判斷無解題目3：解方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{m}{x-3}$（$m$為常數(shù)），當(dāng)$m$為何值時，方程無解？分析：去分母得$x=2(x-3)+m$→$x=2x-6+m$→$x=6-m$；若方程無解，則$x=6-m$是增根，即$6-m=3$→$m=3$；此外，若整式方程本身無解，需看是否存在$m$使整式方程矛盾。但此整式方程是一元一次方程，必有解，因此僅當(dāng)$m=3$時，原方程無解。提升題：判斷無解題目4：解方程$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{k}{x^2