B樣條曲線的研究及應用摘要：B樣條曲線是指在數(shù)學的子學科數(shù)值分析里的一種特殊表示形式，它由Bezier曲線衍生而來，是B-樣條基曲線的線性結點合。相較于Bezier曲線整體控制性較差的弊端，B樣條曲線更易于局部修改，是一種低階次曲線，計算使用上更加方便。B樣條曲線涉及的分類以及算法多種多樣，為了更好地開發(fā)B樣條曲線的應用價值和推廣價值，本文擬研究帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線曲面以及它適用的范圍和條件，在MATLAB軟件編程輔助下利用該方法進行繪圖，改變參數(shù)觀察圖像的變化。預期MATLAB編程計算研究對帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線進行理論分析，為B樣條方法的使用起到指導性的意義。關鍵詞：B樣條曲線；曲線插值；曲線擬合；MATLAB軟件目錄TOC\o"1-3"\h\u1前言 錯誤!未定義書簽。1.1課題研究背景………………錯誤!未定義書簽。1.2B樣條研究的歷史………………………31.3發(fā)展現(xiàn)狀…………………32B樣條曲線的介紹2.1.Bezier曲線的定義與性質(zhì) 錯誤!未定義書簽。2.2B樣條基函數(shù)的定義與性質(zhì) 錯誤!未定義書簽。2.3B樣條曲線的定義及性質(zhì) 錯誤!未定義書簽。3B樣條曲線類型的劃分 …………錯誤!未定義書簽。4帶形狀參數(shù)的B樣條曲線及其應用…………………164.1帶形狀參數(shù)的B樣條曲線………………………174.2帶形狀參數(shù)均勻B樣條曲線………………………錯誤!未定義書簽。4.3帶形狀參數(shù)均勻B樣條曲線………………錯誤!未定義書簽。4.4帶形狀參數(shù)的B樣條曲面…………錯誤!未定義書簽。4.5擴展曲線的應用………………………錯誤!未定義書簽。5總結…………………18參考文獻………………19致謝………………………19附錄………………………201前言 1.1課題研究背景樣條在實際的社會實踐中，是一根極具有彈性和柔韌性的木棍或者塑料棒。很久以前，航空業(yè)務、船舶業(yè)務方面和汽車的制造行業(yè)一直運用的是純手工來繪制的自由曲線。為了使曲線通過每一個給定的型值點，繪制曲線的人員必須要使用壓鐵來將樣條住，然后相應地去對壓鐵進行調(diào)整，使樣條形態(tài)達到改變的要求。這種方法工作量較大，并且不方便修改。為了解決這種操作量過大并且不太靈活的問題，計算機輔助設計與制造（CAD/CAM）應運而生。即就是把經(jīng)過了計算機輔助程序設計出來的產(chǎn)品，并且可以直接在由計算機來進行控制的生產(chǎn)車間里生產(chǎn)出來成型產(chǎn)品的軟件被稱為CAD/CAM。在設計方案的過程中，一般情況下，所有的方案都必須進行嚴密的計算和詳細的比較，求得一個最優(yōu)解；在電腦的內(nèi)存或者外存盤都存放著各種各樣的設計所需要的信息，比如，數(shù)字信息，文字信息，圖形信息等；最繁瑣的工作是將草圖轉化為工作圖，現(xiàn)在這個工作可以交給計算機，而設計師只需要進行草圖的設計；計算機的使用可以方便對圖形的各項操作和數(shù)據(jù)的加工工作。 樣條指的是經(jīng)過一些特定的值點所構成的曲線的柔韌帶，這種方式所繪制的曲線被稱作樣條曲線。這種曲線在它的連接處具有連續(xù)的倒數(shù)，數(shù)學方面對這曲線的描繪一般用分段的三次多項式。還有這樣定義，將多項式函數(shù)所生成的曲線段進行連接所得到的曲線稱之為樣條曲線，而且在每一段的邊界位置都會滿足一些必須的條件?；ハ噙M行正交的樣條曲線也可以對樣條曲線進行描述。在CAD方面，樣條的應用比如有：飛機的艙體和外表面設計。樣條可以對某一種具有連續(xù)階的參數(shù)的曲線進行簡單的構造，但是它的具體形狀不太好，因為它不具有自由度去對曲線的局部形狀來進行調(diào)整。 貝塞爾方法是由雷諾公司的成員Bézier所提出的，目的是為了定義一個可以由多邊形來進行曲線定義的新方法。大概的過程是：首先在草圖上或者模型上獲得數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)繪出曲線圖，將貝塞爾曲線所控制得多邊個控制頂點的坐標值進行標注，為了達到目的，可以對多邊形的各個頂點進行控制，并且繼續(xù)將它輸入計算機中來完成交互設計，最后再用機器對曲線進行描繪。這種方法對形狀的控制問題有著比較好的解決辦法，使設計方法邁出了關鍵的一步，Bézier曲線在得到相應的曲線方面是運用了對多邊形進行控制的方法，但是還有一些缺點，例局部修改性，不管曲線中的哪一個點做出改變，那么相應的對曲線都會產(chǎn)生一定的影響。隨著相應的的多邊形的總邊數(shù)的增加，曲線所對應的次數(shù)太高，導致了控制整條曲線的能力都被減弱。在19世紀，Riesenfeld等人發(fā)現(xiàn)了一種新的曲線：就是Bernstein基函數(shù)被B–樣條基函數(shù)所代替之后會得到的一個曲線被命名為B–樣條曲線，它對Bezier本身存在的缺陷進行了改良，并且包含了Bezier具有的所有優(yōu)點，對曲線有關局部修改的方面有很好的幫助。1.2B樣條研究的歷史CAGD中曲線曲線最常用的工具之一是b樣條[1]?？紤]到b樣條的許多優(yōu)良性質(zhì)，本文采用b樣條方法來表示插值曲線。 美國的Ferguson找到了一種用參數(shù)的向量函數(shù)來表示曲線和曲面的方法。他使用的第一個參數(shù)曲線是由Ferguson的雙三次曲面貼片生成的三次曲線。然后，根據(jù)三次曲線中研究和所使用到的參數(shù)描述了一種形狀數(shù)學的標準形式。1964年，庫恩斯發(fā)表了一種描述一般表面的方法。三年后，他推廣了這種方法。在實際應用中，最常用的是庫恩描述，弗格森描述。最大的區(qū)別是只有對角線上的點在這里被扭曲，一個使用零向量另一個使用非零向量。 1964年，Schoenberg于1964年提出了樣條函數(shù)，但缺乏整體調(diào)整的自由，局部形狀無法調(diào)整[2]。1971年，貝塞爾發(fā)現(xiàn)可以通過控制多邊形來定義一條曲線，這就是Bezier曲線[1]。通過對基于貝齊爾表示的深入研究，對控制頂點定義的常用Bernstein基表達式進行了重寫[1]。貝塞爾法簡便易行，但在局部修正中仍存在一些問題。貝塞爾發(fā)現(xiàn)可以通過控制多邊形來確定一條曲線，為了解決這些不足，deBoor和Cox在1972年使用遞歸定義來總結點b樣條的標準算法，即deBoor-Cox遞歸公式[1]。兩年后，美國的Gordon和Lissenfeld通過對b樣條曲線的理解，他對連接問題進行了解決，Ziel法的切割優(yōu)勢幾乎總是被b樣條法繼承，b樣條法具有良好的連接和控制問題。解決相應的更重要的技術是節(jié)點插入。Boone和Cohen在1980年都發(fā)現(xiàn)了節(jié)點插入技術。森林和地塊都發(fā)現(xiàn)了提升技術。以上研究成果主要針對非有理曲線和曲面。1975年，F(xiàn)ospri提出了一種有理b樣條曲線來精確表示二次曲線。在此基礎上，主要通過Piegl、Tiller和Farlin對其進行改良。1980年，曲面采用統(tǒng)一標準的數(shù)學表示方法，即NURBS法。1.3發(fā)展現(xiàn)狀在經(jīng)過長期的發(fā)展之后，CAD學科已經(jīng)很廣泛的在應用了，而研究重點就是被人們認為是發(fā)展前景極大地B樣條。在以往的自由曲面研究過程中具有很大歷史性的進程，Bezier方法是在工程應用中使用比較多的，因為它定義曲線只需要控制網(wǎng)格就可以，而且想改變形狀的話，可以通過修改頂點的位置來完成，而且形狀的改變是可以進行預測的，充分的克服了形狀的修改問題。同年，De－Boor公布了針對B樣條的標準算法。在這基礎上，戈登及李森菲爾德提出了在形狀的描述上進行應用，不在保證參數(shù)連接性完好的情況下實現(xiàn)對形狀的局部修改。從這以后，B樣條的整套的研究理論框架逐步形成。福斯普利爾在非均勻B樣條上應用了B樣條來進行研究。經(jīng)過很多人的分析與研究以后，曲線以及曲面的非均勻有理B樣條在1991年被評為國際標準，用途是定義很多工業(yè)產(chǎn)品的形狀，被CAD/CAM軟件操作系統(tǒng)進行應用開發(fā)，通過在全球范圍內(nèi)工業(yè)進行生產(chǎn)應用，曲線造型技術快速的走向成熟。盡管自由曲線有很多的研究方法，但目前看來不管用哪種方法，該技術研究的重點都在于如何建立數(shù)學模型，在允許的公差范圍內(nèi)，構造能夠替代原模型的新模型。2B樣條曲線的介紹2.1Bezier曲線的定義和性質(zhì)給定空間中的個點，控制點，由這些控制點定義的貝塞爾曲線是其中系數(shù)定義如下：因此，對應于貝塞爾曲線上的的點是所有控制點的“加權”平均值，其中權重是系數(shù)。以此順序連接的線段形成控制折線。許多作者更喜歡將此控制折線稱為控制多邊形。函數(shù)，，被稱為貝塞爾基函數(shù)或

伯恩斯坦多項式。請注意，的域是[0,1]。因此，所有基函數(shù)都是非負的。在上面，由于和都可以為零，和也是如此，我們采用0

0為1

的約定。下面顯示由11個控制點定義的Bézier曲線，其中藍點是曲線上的一個點，對應于

=0.4。如圖所示，曲線或多或少遵循折線。性質(zhì)1.由個控制點定義的Bézier曲線的度數(shù)是：

在每個基函數(shù)中，的指數(shù)是。因此，曲線的程度是。2.通過和：

如上圖所示。曲線通過第一個和最后一個控制點。請用一些簡單的代數(shù)操作來驗證這一點。3.非消極性：

所有基函數(shù)都是非負的。我們之前已提到這一點。4.Unity的分區(qū)：

固定的基函數(shù)之和為1.不難確定基函數(shù)是表達式的二項式展開中的系數(shù)。因此，他們的總和就是一個。此外，由于它們是非負的，我們得出結點論，任何基函數(shù)的值都在0和1的范圍內(nèi)。5.凸殼屬性：

這意味著由給定的個控制點定義的Bézier曲線

完全位于給定控制點的凸包中。一組點的凸包是包含所有點的最小凸集。在下圖中，11個控制點的凸包以灰色顯示。請注意，并非所有控制點都位于凸包的邊界上。例如，控制點3,4,5,6,8和9位于內(nèi)部。除前兩個端點外，曲線完全位于凸包中。此屬性很重要，因為我們保證生成的曲線將位于可理解且可計算的區(qū)域中，并且不會超出它。變化減少屬性：

如果曲線在平面中，這意味著

沒有直線與Bézier曲線相交的次數(shù)多于它與曲線的控制折線相交的次數(shù)。仿射不變性：

如果將仿射變換應用于貝塞爾曲線，則可以從其控制點的仿射圖像構造結點果。這是一個不錯的酒店。當我們想要將幾何或甚至仿射變換應用于Bézier曲線時，該屬性表明我們可以將變換應用于控制點，這非常容易，并且一旦獲得變換的控制點，變換的Bézier曲線就是定義的曲線。通過這些新點。因此，我們不必改變曲線。2.2B樣條基函數(shù)的定義與性質(zhì)Bézier基函數(shù)用作權重。B樣條基函數(shù)將以相同的方式使用;但是，它們要復雜得多。有兩個有趣的屬性不是Bézier基函數(shù)的一部分，即：（1）域被節(jié)點細分，（2）基函數(shù)在整個定義區(qū)間內(nèi)并不是非零。實際上，每個B樣條基函數(shù)在幾個相鄰的子區(qū)間上都是非零的，因此，B樣條基函數(shù)非?！熬植俊?。設是一組個非遞減數(shù)，

。所述的被稱為結點點，該組的節(jié)點矢量和半開區(qū)間的個結點跨度。請注意，由于一些的可能是平等的，有些結點跨度可能不存在。如果一個結點看來

時間，其中，是多個結點的多個，寫為

。否則，如果只出現(xiàn)一次，那么它就只是一個簡單的結點點。如果結點間距相等（即，是的常數(shù)-1），結點矢量或結點序列都被當做均勻;否則，它是不均勻的。結點可以被認為是將區(qū)間

細分為結點跨度的分割點。所有B樣條基函數(shù)都應該在上有它們的域。在本文中，我們經(jīng)常使用

和

，因為這里的定義域是閉區(qū)間[0,1]。要定義B樣條基函數(shù)，我們需要一個參數(shù)，這些基函數(shù)的度數(shù)的第個B樣條基函數(shù)，寫為，它的遞歸定義如下：以上通常稱為

Cox-deBoor遞歸公式這組基函數(shù)具有以下屬性，其中許多屬于貝塞爾基函數(shù)。是度在多項式非負性-對于所有，和，是非負的支持-是

上的非零多項式。在任何跨度上，至多度基函數(shù)是非零的。Unity的劃分-

span

上所有非零度基函數(shù)的總和為1如果結點的數(shù)量是，則基函數(shù)的度數(shù)是，并且度數(shù)基函數(shù)的數(shù)量是，則。

基函數(shù)是次多項式的復合曲線，在

的節(jié)點處具有連接點。在多重的結點處，基函數(shù)

是

連續(xù)的。

因此，增加多樣性會降低連續(xù)性，而增加程度會增加連續(xù)性。前面所說的二次基函數(shù)在結點2和3處是連續(xù)的，因為它們是屬于簡單的結點點（=1）。2.3B樣條曲線的定義及性質(zhì)給定個控制點和一個結點矢量由這些定義的度的B樣條曲線控制點和結點矢量是其中是度的B樣條基函數(shù)。B樣條曲線的形式與Bézier曲線的形式非常相似。與Bézier曲線不同，B樣條曲線涉及更多信息，即：一組個控制點，節(jié)的結點矢量和度。注意，，必須滿足.更確切地說，如果我們想要定義具有個控制點的度的B樣條曲線，我們必須提供節(jié)。另一方面，如果給出節(jié)的結點矢量和個控制點，則B樣條曲線的度數(shù)為.曲線上對應于結點的點。因此，結點點將B樣條曲線劃分為曲線段，每個曲線段在結點跨度上定義。我們將證明這些曲線段都是Bézier度曲線在曲線細分頁面上。盡管看起來像

，B樣條基函數(shù)的程度是輸入，而Bézier基函數(shù)的程度取決于控制點的數(shù)量。要更改B樣條曲線的形狀，可以修改這些控制參數(shù)中的一個或多個：控制點的位置，結點的位置和曲線的程度。如果結點矢量沒有任何特定結點構，則生成的曲線將不會觸及控制折線的第一個和最后一個，如下圖左圖所示。這種類型的B樣條曲線稱為開放的B樣條曲線。我們可能想要將曲線鉗位，使其分別與第一個和最后一個控制點的第一個和最后一個邊相切，如Bézier曲線所做的那樣。為此，第一個結點點和最后一個點結點必須具有多重。這將產(chǎn)生所謂的夾緊B樣條曲線。見下圖中間的圖。通過重復一些結點和控制點，生成的曲線可以是閉合的一。在這種情況下，生成的曲線的開始和結點束連接在一起形成一個閉環(huán)，如右圖所示。性質(zhì)：B樣條曲線與Bézier曲線共享許多重要屬性，因為前者是后者的推廣。此外，B樣條曲線比Bézier曲線具有更多所需的特性。下面的列表顯示了B樣條曲線的一些最重要的屬性。在下文中，我們假設度的B樣條曲線由個控制點和結點矢量定義，第一個和最后一個節(jié)“被鉗制”。1.B樣條曲線是分段曲線，每個分量是度數(shù)的曲線。如前面所述，可視為每個結點跨度上定義的曲線段的并集。在下圖中，在n=10，m=14和p=3的情況下，前四個節(jié)點和最后四個節(jié)點被夾緊，并且7個內(nèi)部節(jié)點均勻間隔。有八個結點跨度，每個結點對應一個曲線段。在下圖中，這些結點點顯示為三角形。這個不錯的屬性允許我們用低次多項式設計復雜的形狀。例如，下圖右側顯示了具有相同控制點集的Bézier曲線。即使它的度數(shù)是10，它仍然不能很好地遵循控制折線！通常，程度越低，B樣條曲線越接近其對照折線。下面的圖都使用相同的控制折線，并且結點被夾緊并均勻間隔。第一個數(shù)字為7度，中間數(shù)字為5度，右側數(shù)字為3度。因此，隨著度數(shù)減小，生成的B樣條曲線移近其控制折線。2.必須滿足等式。

由于每個控制點需要基函數(shù)，并且基函數(shù)的數(shù)量滿足。3.夾緊的B樣條曲線通過兩個末端控制點和

。

注意，基函數(shù)是控制點的系數(shù)，并且在上不為零。由于對于鉗位B樣條曲線，，因此

為零，只有為非零。因此，如果，則為1并且。類似的討論可以顯示。4.強凸殼特性：B樣條曲線包含在其控制折線的凸包中。更具體地，如果

在結點跨度中，則在控制點

的凸包中

。

如果處于結點跨度，則只有基函數(shù)在該結點跨度上非零。由于是控制點的系數(shù)，因此只有控制點具有非零系數(shù)。由于在這個結點跨度上基函數(shù)是非零且總和為1，它們的“加權”平均值必須位于由控制點

定義的凸包中。雖然仍然位于由所有控制點定義的凸包中

，但它位于更小的一個中。上述兩個B樣條曲線具有11個的控制點（即，

=10），3度（即，）和15節(jié)與前四個和最后四個結點夾緊。因此，結點跨度的數(shù)量等于曲線段的數(shù)量。結點矢量是左圖具有在結點跨度=[0.12,0.25）和相應的點（即

）在所述第二曲線段。因此，存在的基函數(shù)上這個結點跨度非零和相應的控制點是。陰影區(qū)域是由這四個點定義的凸包。很明顯，位于這個凸包中。右圖中的B樣條曲線以相同的方式定義。但是，在=[0.75,0.87]，非零基函數(shù)和

。相應的控制點是。因此，當從0移動到1并且越過結點時，基函數(shù)變?yōu)榱悴⑶倚碌姆橇慊瘮?shù)變得有效。結點果，系數(shù)變?yōu)榱愕囊粋€控制點將留下當前凸包的定義，并被系數(shù)變?yōu)榉橇愕男驴刂泣c替換。局部修改方案：

改變控制點的位置僅影響區(qū)間

上的曲線

。

這是B樣條基函數(shù)的另一個重要特性?；叵胍幌略趨^(qū)間上是非零的。如果你不在這個區(qū)間，

對計算沒有影響，因為為零。另一方面，如果在指示的間隔中，則不為零。如果改變其位置，則改變

，從而改變。上述B樣條曲線的定義與前一個凸包示例中的參數(shù)相同。我們打算移動控制點。該控制點的系數(shù)是，該系數(shù)非零的區(qū)間是。由于，只有三個段對應于（第一曲線片段的域），（第二曲線片段的域）和（第三曲線片段的域）將受到影響。右圖顯示了將移動到右下角的結點果。如您所見，只有第一，第二和第三曲線段改變了它們的形狀，所有剩余的曲線段保持原始位置而沒有任何變化。6.變差縮減性：

變化減少財產(chǎn)也適用于B樣條曲線。如果曲線在一個平面（相應的空間）中，這意味著沒有直線（相應的，平面）與B樣條曲線相交的次數(shù)多于它與曲線的控制折線相交的次數(shù)。在上圖中，藍線與控制折線和B樣條曲線相交6次，而黃線也與控制折線和B樣條曲線相交5次。但是，橙色線與控制折線相交6次，曲線相交4次7.Bézier曲線是B樣條曲線的特例。

如果（即，B樣條曲線的等級等于，控制點的數(shù)量減去1），并且有個結點，它們的每一端夾緊，這個B樣條曲線減小到Bézier曲線。8仿射不變性

仿射不變性屬性也適用于B樣條曲線。如果將仿射變換應用于B樣條曲線，則可以從其控制點的仿射圖像構造結點果。這是一個不錯的酒店。當我們想要將幾何或甚至仿射變換應用于B樣條曲線時，該屬性表明我們可以將變換應用于控制點，這很容易，并且一旦獲得變換的控制點，就可以得到變換的B樣條曲線。是由這些新點定義的那個。因此，我們不必改變曲線。3B樣條曲線類型的劃分

假定控制多邊形的頂點為,階數(shù)為(次數(shù)為)，則節(jié)點矢量是。B樣條曲線的類型可以根據(jù)節(jié)點的分布情況劃分為以下四種：

（1）均勻B樣條曲線節(jié)點矢量中的區(qū)間長度全部為常數(shù)，節(jié)點到節(jié)點之間的距離是相等的并且都沿參數(shù)軸分散。B樣條基就是通過這些節(jié)點矢量來確定的。（2）準均勻B樣條曲線顯而易見，在準均勻B樣條曲線中兩端節(jié)點出現(xiàn)的次數(shù)（即重復度）是不同于均勻B樣條曲線的。準均勻B樣條基是通過這些節(jié)點矢量來確定的。以致于準均勻B樣條曲線具有均勻的B樣條曲線所沒有的幾何特性（貝塞爾曲線所具有的）。例如:

（3）分段貝塞爾曲線兩端節(jié)點在節(jié)點矢量中具有重復度，所有內(nèi)節(jié)點重復度為,分段的Bernstein基是通過這些節(jié)點矢量來決定的。分段貝塞爾曲線被用來表示B樣條曲線之后，每一條曲線段之間都是毫無關聯(lián)的，盡管對其中的一個節(jié)點進行移動控制，也不會對其它曲線段的形狀產(chǎn)生影響。例如:

（4）非均勻貝塞爾曲線

可以選擇任意分布的節(jié)點向量，，只要它們在數(shù)學上滿足條件（節(jié)點序列保持不變或者遞增，兩端節(jié)點以及內(nèi)部節(jié)點的可重復性）。非均勻B樣條基是通過這些節(jié)點矢量來定義的。例如：

4帶形狀參數(shù)的B樣條曲線曲面及應用由Bernstein基函數(shù)構造的貝塞爾曲線因為其結點構比較簡單，成為在計算機幾何設計中重要的工具之一。在確定了控制點后，也就順便對Bézier曲線進行了確定;如果要對曲線形狀進行修改，我們就需要調(diào)整其他控制頂點。隨著工業(yè)的發(fā)展，其要求也越來越高，這樣的方式已經(jīng)達不到設計要求了，如果對一個點進行改動，則改變的是曲線的整體形狀。因此很多專家教授開始對帶參數(shù)Bézier曲線進行研究[34,43]，可以在不改動控制點的情況下，修改其中的參數(shù)，達到修改形狀的目的，但是這樣還是缺乏靈活性，對一些特殊曲線無法進行描繪。B樣條曲線充實了來研究幾何造型的研究工具，然而它自身同樣具有極大地缺點，就是在統(tǒng)一條件下，不帶參數(shù)的B樣條曲線和帶形狀參數(shù)的B樣條曲線相比較起來，表現(xiàn)力相差甚遠[3]。4.1帶形狀參數(shù)B樣條曲線第一步需要介紹的是帶參數(shù)的二次B樣條曲線定義性質(zhì)，在本篇文章中被稱為三階B樣條曲線。4.1.1B樣條曲線的定義我們將關于的多項式稱為帶參數(shù)的三次基函數(shù)；我們將關于的多項式稱為帶參數(shù)i的四次基函數(shù)，兩個多項式中。上面的式子（4.1）、（4.2）的具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)2.非負性對于有這里滿足。說明：直接計算就可以驗證性質(zhì)1，n次多項式的性質(zhì)（非負充分性）可以表示性質(zhì)2[3]。二次、三次基函數(shù)的擴展都屬于二次均勻B樣條基函數(shù)，因為當為0時，三次就可以變成二次B樣條的基函數(shù)。對于給定的控制頂點，當時對于已經(jīng)給定的多項式曲線，我們將它稱之為是三階樣條曲線4.1.2三階樣條曲線的性質(zhì)性質(zhì)1.當時，那么曲線則是連續(xù)的，特別地，當時，那么曲線達到連續(xù)。性質(zhì)2.當時，那么曲線則是連續(xù)的，特別地，當時，那么曲線達到連續(xù)。對于一般的n次調(diào)配基函數(shù)這種情況文獻[3]也已經(jīng)給出，并且用n次調(diào)配基函數(shù)定義出了與之相對應的曲線形式，并且三次和四次的數(shù)值例子都是利用構造的曲線給出的，這里就不再做過多闡述。4.2帶形狀參數(shù)均勻B樣條曲線通常將是定義在區(qū)間上階帶形狀參數(shù)均勻B樣條的空間，可以設很明顯可以看到是空間上的一組基，故可以利用函數(shù)將上的曲線表示成（3.6）這里是控制頂點。和均勻B樣條曲線相似，帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線也具有以下幾點性質(zhì)。性質(zhì)1.凸包性定義在上的一段曲線位于個控制頂點構成的凸包內(nèi)。性質(zhì)2.幾何不變性無論坐標的值為多少，曲線的形狀都不會改變。性質(zhì)3.局部性即改變一個控制頂點，曲線上至多有個曲線段的形狀變化，剩下的部分固定不變。性質(zhì)4.對稱性分別以為控制頂點和以為控制頂點的k階帶形狀參數(shù)的B樣條曲線，他們的曲線基本上沒什么差別。下面是在前面的基礎上進行的研究，給出帶2個帶有形狀參數(shù)的樣條基函數(shù)，并且用這個函數(shù)確定的曲線可以更好地調(diào)整曲線的形狀，擁有更強的靈活性，當形狀參數(shù)都是固定的時候，文獻[3]是其一個特例。4.3帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線4.3.1帶形狀參數(shù)的基函數(shù)的定義定義1對任意，稱關于t的多項式是帶形狀參數(shù),的三次基函數(shù)。定義2對任意，，稱關于的多項式為帶形狀參數(shù)，的四次基函數(shù)。定理1對上述定義的式子（3.7）、（3.8）中所給出的基函數(shù)有如下的結點論：時，同時四次基函數(shù)變成了時的三次基函數(shù)，事實上當時，三次基函數(shù)就會變?yōu)槎尉鶆駼樣條基函數(shù)。因此定義1的三次其實就是二次的一個擴展，相應的四次就變成了時的三次。 因而它們都可以看成是二次均勻B樣條基函數(shù)的擴展。利用三次基函數(shù)的定義，分別給出,取不同值時的基函數(shù)的圖像圖3-2實線表示的基函數(shù)圖3-3實線表示的基函數(shù)虛線表示時（即二次均勻B樣條）的基函數(shù)虛線表示時的基函數(shù)定義3對，。稱關于的多項式：為帶參數(shù)，的n次基函數(shù)。定理2對基函數(shù)（3.11）式，我們可以得出以下的結點論：，4.3.2帶形狀參數(shù)均勻B樣條曲線的構造及性質(zhì)由定義1可以定義帶有局部形狀控制參數(shù),的多項式曲線。定義4給定控制頂點和節(jié)點對，定義多項式曲線段：上式中為式（3.7）所定義的三次調(diào)配函數(shù)，定義多項式曲線上式中。曲線是定義在上的帶局部參數(shù),的分段三次多項式曲線，它是二次均勻B樣條曲線的擴展，同樣利用四次調(diào)配基函數(shù)也可以定義四次多項式曲線。定義5給定控制頂點節(jié)點對，定義多項式曲線段：上式中為式（3.8）所定義的四次調(diào)配函數(shù)。利用（3.11）式來定義定義n次多項式曲線，，其中的是（3.11）式所定義的。定理3當時，曲線是連續(xù)的，若曲線每相鄰兩段的形狀參數(shù)滿足,則是連續(xù)的。證明:由（3.7）（3.14）式直接計算得；顯然，當時，且其中，故其是連續(xù)的。若則從而是連續(xù)的。證畢。從上面所敘述可以看出曲線是在曲線的基礎上對二次B樣條曲線的進一步擴展定理4當時，曲線是連續(xù)的。證明：由（3.8）（3.16）直接計算可得顯然，當時，且其中，進一步計算若令，則當時有等式從而曲線是連續(xù)的。證畢。由定理3,4可以看出當滿足一定關系時，，可以分別達到,連續(xù)，這里就不在贅述。而且，它們也與分段二次B樣條曲線的結點構相同。通過定理可知四次曲線在將三次曲線的連續(xù)性提高了一階。4.3.3形狀參數(shù)的幾何意義當固定，參數(shù)逐漸增大（或者減?。r，曲線逐漸靠近（或者遠離）控制多邊形的邊，如圖3-4。同樣當固定，參數(shù)逐漸增大（或者減小）時，曲線逐漸靠近（或者遠離）控制多邊形的邊，圖略去。圖3-4固定，從下到上依次是時的曲線如果想要變得更加靈活，可以讓兩個參數(shù)進行同時改變，同時增大或者減小，或者一大一小。我們可以按照要求完成更加復雜的曲線。定理5以為控制頂點的三次曲線段和以為控制頂點的三次貝塞爾曲線可以表示同一條曲線。其中它們的控制頂點滿足下面的關系下面舉出一個實例，來說明方法的有效性，先給出樣條曲線的三個控制頂點，利用（3.22）式，我們可以得出相應Bézier曲線的控制頂點，，這里我們?nèi)?那么可以得到如下圖3-5。圖3-5和貝塞爾曲線表示同一條曲線當時，我們同樣可以到的貝塞爾曲線的一組控制頂點：圖3-6和Bézier曲線表示同一條曲線上面的舉例我們可以得出，當帶參數(shù)的B樣條曲線和相應的貝塞爾曲線相同時，則樣條的控制頂點肯定不變。4.4帶形狀參數(shù)的B樣條曲面4.4.1樣條曲面的定義多項式給定個控制網(wǎng)格頂點，和節(jié)點矢量其中對于定義與曲線段式子（3.14）相對應的張量積區(qū)面片為其中，是等式（3.7）所定義的。它是對雙二次均勻B樣條的擴展，而且以這個為特例，他們的性質(zhì)是基本相似的。有一種靈活的方式去改變曲面的形狀，就是改變形狀參數(shù)。根據(jù)上面的概念，根據(jù)式子（3.26），得出現(xiàn)在的9個控制點：下圖就是當取不同值時次的B樣條曲面的圖形如下圖3-7至圖3-10。圖3-7時B樣條曲面圖3-7時B樣條曲面圖3-7時B樣條曲面圖3-7時B樣條曲面4.5擴展曲線的應用運用定義1的三次調(diào)配基函數(shù)得到的圖形如下圖3-11，可以通過改變形狀參數(shù)來改變分段曲線的形狀。與二次均勻B樣條進行比較，即當時為二次均勻B樣條曲線。下圖的控制頂點參考了文獻的數(shù)據(jù)。圖3-11參數(shù)取不同值的曲線：曲線1,2,3所取的,的值為：曲線1：曲線2：曲線3：對于確定的控制點，選擇合適的參數(shù)取值可以畫出如下的花瓶圖形如下圖3-12。（2）圖3-12參數(shù)的曲線構成的花瓶和曲線（4）圖3-13參數(shù)，的曲線構成的花瓶5總結點2019年1月份，我開始了我的論文撰寫工作。歷時4個多月，終于將其完成。選擇這個題目的初衷是想學到更多理論，拓展自己的知識面。但一著手資料的搜索，我發(fā)現(xiàn)并不是我想象中那么簡單。因為B樣條的相關知識屬于數(shù)學方面的內(nèi)容，我作為一個計算機的學生，以前并沒有接觸過這方面的知識，所以我感到前所未有的迷茫。就在這時候，我和室友一起去找了我們的指導老師，他給了我們一些實質(zhì)性的建議，并給我們發(fā)了資料，讓我們作為參考。老師的建議讓我對自己的論文有了更進一步的認識。我才明白不光要學習B樣條相關的理論，并且要能夠利用B樣條曲線的特性在MATLAB上繪圖?；厝ブ?，我認真翻閱了老師給的資料，努力學習理論知識，充實自己的論文，邊寫邊修改。并在網(wǎng)上搜索MATLAB相關的教學視頻，下載了MATLAB軟件，將自己學到的內(nèi)容運用到實際操作中。經(jīng)過我的努力，終于完成了整篇論文。這次的課題研究，使我受益匪淺。知識以及能力方面：（1）基本掌握了之前沒有學習過的數(shù)學方面部分知識B樣條曲線，并理解了其性質(zhì)及其部分算法；（2）論文要研究的內(nèi)容涉及到了MATLAB軟件，對其進行了學習，能夠利用它進行簡單的繪圖；（3）在整個學習過程中，從剛開始的一無所知到最后滿載而歸，我的自我學習能力和動手能力都得到了提高。在這個過程也遇到了很多問題，在通過老師的指導和不斷地查閱資料，問題都被一一解決。做人做事方面：通過此次課題研究，我懂得了交流的重要性。不懂就要問，要及時與指導老師進行溝通，有什么問題也可以詢問學長學姐，或者跟室友和同學多交流，討論和論文相關的內(nèi)容。很多事情光憑個人力量是無法完成的，只有多跟身邊的人學習，借鑒他們的經(jīng)驗，才能做得更好。當然也存在一些不足之處：在課題研究初期，因為難度較大，我的態(tài)度有些不端正，懶得動腦子，導致后期時間比較緊張。我以后一定會改正這種不好的行為，積極面對學習和生活中的困難，努力做得更好。 參考文獻星蓉生.B樣條曲線插值數(shù)據(jù)點及其切矢的PIA算法[D].福建師范大學,2014.魏峰.三次B樣條曲線在嵌入式可重構系統(tǒng)中的實現(xiàn)研究[D].山東科技大學,2017.郭懷天.B樣條曲線及曲面研究[D].合肥工業(yè)大學,2012.嚴蘭蘭,韓旭里.三次均勻B樣條曲線的保形擴展[J].計算機應用研究,2017,34(01):295-301.張永華,杜煜,潘峰,魏岳.基于三次B樣條曲線擬合的智能車軌跡跟蹤算法的實現(xiàn)[J/OL].計算機應用:1-7[2019-05-10]./kcms/detail/51.1307.TP.20180126.1633.008.html.郭懷天,黃有度.二次均勻B樣條曲線的新擴展及應用[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2012,35(01):138-140.謝宇迪,蔣新昕.非均勻節(jié)點情形下的一類三角B樣條曲線[J].微型機與應用,2017,36(07):46-49.穆國旺,張志偉,臧婷,戴士杰.基于和參考曲線相似性的B樣條曲線延拓[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2018,30(09):1705-1711.Sio-SongIeng.BridgeInfluenceLineEstimationforBridgeWeigh-in-MotionSystem[J].JournalofComputinginCivilEngineering,2014.Zhi-WeiChen,SongyeZhu,You-LinXu,QiLi,Qin-LinCai.DamageDetectioninLongSuspensionBridgesUsingStressInfluenceLines[J].JournalofBridgeEngineering,2014.ResearchandapplicationofB-splinecurveMajor:networkengineeringName:ChenweirongStudentID:15407404 Supervisor:ShangguanjintaiSummary:B-splinecurvereferstoaspecialrepresentationinmathem