2025—2026學(xué)年度上學(xué)期2025級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：冷勁松審題人：郭松考試時(shí)間：2025年11月13日一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．集，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．5C．6 D．82．“”是“”的(

)A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．若，則（）A． B．C． D．4．命題：，使得,成立．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．5．函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)的值域?yàn)?，那么?shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．7．定義在上的奇函數(shù)，且，且對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集為()A．B．C．D．8．已知函數(shù)．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列四個(gè)命題是真命題的是（）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)f（x）滿足，則C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若二次函數(shù)，實(shí)數(shù)，則10．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為5C．的最小值為D．若，則的最小值為11．已知為定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．在區(qū)間最多有三個(gè)解C．的最小值為D．在區(qū)間最多有五個(gè)解三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.13．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________．14．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）（1）已知，求的值；（2）計(jì)算：；（3）已知，求的值．16．（15分）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，恒有，且時(shí)，．（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性并證明；（3）解不等式：．17．（15分）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米隨著時(shí)間（單位：天）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．精確到，參考數(shù)據(jù)：取18．（17分）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）令，若對(duì),恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（17分）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為如下結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（2）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，且當(dāng)時(shí)，．（?。┣蠛瘮?shù)的解析式；（ⅱ）若函數(shù)滿足：當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，若函數(shù)在上存在保值區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)答案題號(hào)12345678910答案DCCBCABAADACD題號(hào)11答案ABC12．13．14．8．【詳解】當(dāng)時(shí)，由，若時(shí)，，即，故；若時(shí)，，即，故；此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，所以或，即或（舍），若時(shí)，，即，顯然無(wú)解；若時(shí)，，即，故；此時(shí)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A10．D選項(xiàng)【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．又因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得．又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上，的最小值為，．11．【詳解】由，令，則，則關(guān)于對(duì)稱，又為定義在上的奇函數(shù)，，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故，即，函數(shù)周期為4．對(duì)于A，，A對(duì)；對(duì)C，，，，由關(guān)于對(duì)稱且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，又周期為4，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)BD，，且單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，則且單調(diào)遞增，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由可得①，設(shè)解為，且，則，由得或，（1）當(dāng)時(shí)，，①式可解得，即在區(qū)間無(wú)解，又過(guò)，，結(jié)合的單調(diào)性及對(duì)稱性可得，在區(qū)間有三個(gè)解為、0、1；（2）當(dāng)時(shí)，，，則，又時(shí)代入方程組得，故，即在區(qū)間有1個(gè)解，又，，結(jié)合的單調(diào)性及對(duì)稱性可得在區(qū)間少于三個(gè)解；（3）當(dāng)時(shí)，①式可解得，即在區(qū)間無(wú)解，又，結(jié)合的單調(diào)性及對(duì)稱性可得在區(qū)間少于三個(gè)解；（4）當(dāng)時(shí)，，則，又，即在區(qū)間無(wú)解，又，結(jié)合的單調(diào)性及對(duì)稱性可得在區(qū)間少于三個(gè)解；（5）當(dāng)時(shí)，由的中心對(duì)稱性可得在區(qū)間最多三個(gè)解；故B對(duì)D錯(cuò)．故選：ABC14．【詳解】設(shè)，，令，則，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，時(shí)，，，由于對(duì)任意的，，，都有成立，所以，，解得，的取值范圍為15．【詳解】（1），又，（2）；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以?6．【小問(wèn)1詳解】令，則，故；【小問(wèn)2詳解】在上為減函數(shù)，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即在上為減函數(shù)；【小問(wèn)3詳解】，，則，在上為減函數(shù)，，解得，所以，不等式的解集為．17．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度可表示為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以得，綜合得，故若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天．【小問(wèn)2詳解】設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，因?yàn)?，而，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為，令，解得，所以a的最小值為18．【小問(wèn)1詳解】又是奇函數(shù)，則，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，，，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，．【小問(wèn)2詳解】方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問(wèn)3詳解】由題意知，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴∵函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，又∵對(duì)都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴的取值范圍是．19．(1)設(shè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則函數(shù)為奇函數(shù)，，則有，，則，，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是．（2）（?。┮?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，所以為奇函數(shù)，所以，，即，當(dāng)時(shí)，，所以所以

．（ⅱ），①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，即方程在上有兩個(gè)不