廣東省領(lǐng)航高中聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知一組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為3，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．23．設(shè)，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知為等比數(shù)列，為其公比，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)是兩個相交但不垂直的平面，直線，則與的關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．與相交但不垂直6．已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，且，則（

）A． B．或 C． D．或7．已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，線段與交于點，則（

）A． B． C． D．8．某地區(qū)舉辦演唱會時，舉辦方為防止觀眾私自攜帶燈牌等應(yīng)援物品，使用了安檢門進(jìn)行輔助檢測.依照以往數(shù)據(jù)，任一觀眾私自攜帶應(yīng)援物品的概率為，若觀眾確實攜帶，安檢門亮燈提示的概率為；若觀眾沒有攜帶，安檢門依舊有的概率因誤檢其他物品而亮燈提示.若某觀眾通過安檢門時被亮燈提示，則該觀眾確實私自攜帶應(yīng)援物品的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，則下列命題一定為真命題的有（

）A．B．若，則C．D．若，則10．已知向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．11．設(shè)函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù).若，則（

）A． B．可能為2C． D．可能為0三、填空題12．已知拋物線，則以的焦點為圓心，且與的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知函數(shù)的最大值為2，最小值為0，則函數(shù)的最小正周期為.14．在三棱錐中，，直線與平面所成的角為，則三棱錐體積的最大值為.四、解答題15．某研究院種植了一種特殊作物，為了解該種特殊作物成熟期的高度，隨機(jī)調(diào)查了1000棵成熟期作物的高度并繪制成如下頻率分布直方圖.

(1)求的值及這1000棵成熟期作物的平均高度（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；(2)以這1000棵成熟期作物的高度的頻率估計所有該特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的該種特殊作物中隨機(jī)抽取20棵，記高度在區(qū)間內(nèi)的棵數(shù)為，求的期望和方差.16．在中，設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，滿足的面積為.(1)求；(2)若，求的外接圓的面積.17．如圖，在圓柱中，分別為上?下底面直徑，連接，作于點，，記實數(shù).(1)若，求；(2)記平面與圓所在平面的夾角為，若，求.18．已知橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點.當(dāng)為的上頂點時，.(1)求的方程；(2)過點作的垂線，垂足為.（i）證明：直線過定點；（ii）若的斜率不為0，記的中點為，（i）中的定點為的斜率為的斜率為，證明：是定值.19．設(shè)函數(shù).(1)若，證明：當(dāng)時，；(2)若，證明：；(3)若存在，使得當(dāng)且僅當(dāng)時，，求的取值范圍.

參考答案及解析1．答案：C解析：若，則其分位數(shù)為；若，則分位數(shù)為；若，則分位數(shù)為3；若，則分位數(shù)為；若，則分位數(shù)為，綜上，.故選：C.2．答案：C解析：由于，故，由知或，即或，注意到，故由元素互異性知，故，故選：C．3．答案：A解析：因為，故，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.故選：A.4．答案：D解析：當(dāng)時，，此時，不滿足，故充分性不成立；若，此時滿足，但，故必要性不成立，故甲是乙的既不充分也不必要條件.故選：D.5．答案：C解析：在平面外取平行于和的交線即可，故A可能；在平面內(nèi)取平行于和的交線即可，故B可能；若且，則，與條件矛盾，故C不可能；除去和的情況D都成立，故D可能.故選C.6．答案：B解析：設(shè)數(shù)列的公差為，又，即，整理得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，又，因此或.故選：B.7．答案：A解析：由題意得的半焦距，如圖，其中，作于點，且設(shè)，

而由銳角三角函數(shù)的定義得，解得，故，代入，得，化簡得，而，解得（其它根舍去）由題意得，得到.故選：A.8．答案：B解析：設(shè)事件：該觀眾私自攜帶應(yīng)援物品；事件：安檢門亮燈提示，則.某觀眾通過安檢門時被亮燈提示，則該觀眾確實私自攜帶應(yīng)援物品的概率為所以.故選:B.9．答案：ACD解析：對于A，因為函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由不等式的傳遞性可知，故C正確；對于D，由得，又，所以，即.又，即，則，即，又，故，故D正確.故選：ACD.10．答案：ABD解析：若，則，所以，故A正確；因為，而，所以，故B正確；取，則，此時，，故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABD.11．答案：AD解析：對于A，設(shè)，因為為奇函數(shù)，所以，且，即.令，則，則的圖象關(guān)于點對稱.設(shè)，故，即，可得為偶函數(shù)，令，則，則的圖象關(guān)于直線對稱，若，則即是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故只能有，即對任意成立，則對任意成立，與矛盾，故，故A正確；對于B，由于，若，則，與2矛盾，故B錯誤；對于D，取，則的圖象關(guān)于點對稱，，即存在使得為0，故D正確；對于C，取，則的圖象關(guān)于直線對稱，故，令，有，由D得，故存在使得不為，故C錯誤.故選：AD.12．答案：解析：由題意得的焦點為，準(zhǔn)線為，故圓的圓心為，則半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.13．答案：/解析：易得，故的最大值為，最小值為，則解得，故，則其最小正周期.故答案為：.14．答案：/解析：不妨設(shè)，由中，可得，又由，故點在以為焦點，且2為長半軸長的橢圓上，當(dāng)在該橢圓的上頂點時，的面積最大，此時，取的中點，可得，則，設(shè)點到平面的距離為，因為直線與平面所成的角為，可得，所以，設(shè)且，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，等號成立，所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：

15．答案：(1)，101厘米(2)解析：（1）由，得，這1000棵成熟期作物的平均高度為厘米.（2）高度在區(qū)間內(nèi)的頻率為，由樣本估計總體知，高度在區(qū)間的概率為0.3，因為，所以.16．答案：(1)(2)解析：（1）由余弦定理得，由面積公式得，兩式作比，得，即，由得.（2）代入，有，而，得到，記的外接圓半徑為，由正弦定理得，故的外接圓的面積為.17．答案：(1)(2)或解析：（1）因為，所以，記在下底面的投影為，則，平面，又平面，.因此，又因為在圓上，故有，故，則.（2）以為原點，所在直線分別為軸，過點且垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，易知，當(dāng)時，此時平面與圓所在平面的夾角，，不符題意.因此，由對稱性，不妨設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量，則，得，令，則，因此可取.易知圓所在平面的一個法向量為，則，解得，即.設(shè)，易知，則，又，則.

①當(dāng)時，，由可得，即，解得，又，解得；②當(dāng)時，，由可得，即，解得，又，解得.綜上所述，或.18．答案：(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析解析：（1）記的半焦距為，顯然，而，故，于是的方程為.（2）（i）證明：解法一：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，聯(lián)立，得，可得.易知，故直線可表示為，顯然，故當(dāng)時，，故直線過定點.當(dāng)直線的斜率為0時，易知過點.綜上所述，直線過定點.解法二：由解法一得，直線可表示為，顯然，當(dāng)時，，故直線過定點.當(dāng)直線的斜率為0時，易知過點.綜上所述，直線過定點.（ii）證明：由題意，而，則，則，故，為定值.

19．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析(3)解析：（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.（2）證法一：當(dāng)時，.當(dāng)時，，此時；設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，因此存在唯一的，使得，即，即，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.由.由且，得.故，要證等價于證明，即證.因為，所以，不等式成立，即得證.解法二：由（1）知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以在區(qū)間上恒成立，所以當(dāng)時，，由于前面的等號在處取到，后面的等號在處取到，所以，即.（3）設(shè)，不等式等價于，故題目等價于：對所有恒成立，且對所有恒成立，由于的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，故由所有恒成立可知必有